从不同的角度看矩阵的行秩与列秩.doc

是从 到 的线性映射，则 的对偶映射 是从 到 的满足 的线性映射这是很好理解的，即使不知道什么是对偶空间及对偶映射，单单从矩阵乘法的性质中也很容易看出A和A的共轭转置之间的这种关系这样就把A的共轭转置和A之间的关系赋予了几何的意义，因为内积正好包含向量的角度信息，并且当一组非零向量两两内积为0时，它们线性无关A和A的共轭转置的列向量的秩分别对应于 T 和 T* 的值域的维度，能不能就此证明它们相等？从而至少可以证明实数矩阵行秩等于列秩这就是下面的：定理1：线性映射 的值域和其对偶映射 的值域有相同的维数证明：设 T 是从 U 到 V 的线性映射，则 T 的对偶映射 T* 是从 V 到 U 的线性映射设 T 与 T* 的值域的维数分别为r,s，假设s

证明：以 a1,a2,…,an 为系数矩阵的方程组 k1a1+k2a2+…+knan=0 两边取共轭即得到一个以a1,a2,…,an 的共轭为系数的线性方程组，这两个方程组同时有或没有非零解这样就彻底完全地证明出了矩阵的行秩与列秩相等这个证明的思路中就明显地带有几何的启示，因此我觉得它更能让我看到矩阵行向量和列向量的本质然而虽然这个证明带有很强的几何色彩，但终究还是觉得有些抽象，还是没有道出行列向量之间的关系来经过对这个问题持续的思考，和对方程组 AX=0 从不同的角度去解释，发现如果我们竖着看 AX，我们看到一个线性映射，它列向量的秩是它值域的维数；然而如果我们横着看 AX=0，又可得到 A 的每个行向量与 X 的内积是0（这里以实数矩阵为例，至于复数矩阵则可以利用上面的“命题1”），也就是说，A的每个行向量和 AX=0 的解都垂直，用映射的观点说，就是 A 的每个行向量都性映射的零空间的正交补空间中又 AX=0 的所有解的集合（零空间）是垂直于 A 的每个行向量的向量构成的集合，那么零空间和行空间应该互为正交补空间，它们的维数之和是定义域的维数那么事情就清楚了，根据秩-零度定理，dim rangeT+dim nullT是 T 定义域的维数，而行空间维数又与零空间维数互补，因此行空间维数等于值域维数，即行秩等于列秩。

应该说，这才是行向量和列向量真正的本质关系，可惜的是，直到毕业的三年多之后我才自己发现了这个关系其实，如果考虑对偶映射，也可以轻而易举地得出结论：T* 的值域恰是 T 的零空间的正交补根据秩-零度定理也立即可以得出 T* 和 T 值域维数相等前面在证明“定理1”时没有用到它们值域和零空间的关系还有秩-零度定理，这里用了这两个定理之后，分析过程其实和上段分析 AX=0 方程组的过程本质上是一样的那时在网络上还查找到了一个利用了矩阵乘积的现代观点证明行秩等于列秩的文章，是在台湾博客“线代启示录”中看到的，抄录如下（注意在台湾，把竖着的叫行，把横着的叫列，与我们恰好相反）：假設 階矩陣 的行秩為 ，列秩為 可知 包含 個 —維線性獨立的行向量，它們足以擴張 的行空間將這些行向量收集起來組成一個 階矩陣 ，那麼 的任何一個行 都可以唯一表示為 的行向量 之線性組合，如下：將這 個式子的線性組合權重合併為一個 階矩陣 ，並利用以行為計算單元的矩陣乘法規則，就有接著再考慮矩陣 的第 列，以 表示，利用以列為計算單元的矩陣乘法規則，於是有矩陣 的每一列都可以寫為 D 的列向量之線性組合，因此 的列空間維度不大於 D 的列向量總數，即 ，也就是說 的列空間維度不大於 的行空間維度。

運用同樣的推論方式於 ，可推知 的列空間維度不大於 的行空間維度，但 的列空間即為 A 的行空間而 的行空間就是 的列空間，得知 綜合以上結果，證得 ，矩陣的行秩等於列秩這個證明方法表面看似平凡無奇，但它只利用矩陣乘法運算便將幾個重要的線性代數概念——線性組合、基底和擴張連結在一起，非常值得初學者細細品味这个证明虽然也是代数上的分析，但其巧妙的让人称奇的地方，就是把一个矩阵分解成了两个矩阵的乘积，其中左边的因子是列慢秩的，然后利用对两个矩阵乘积的不同的解释，把左面的列秩（也就是A的列秩）和右面的行秩联系起来了本来，有关矩阵列秩与行秩关系的问题讨论到这里也可以算是比较圆满了但是，在写这篇文章的时候，又无意间提出下面的一个问题：为什么如果矩阵A只有两行，哪怕它有100列，它的列向量的秩也最多是2？现在来看，这是个非常简单的问题，因为它的100个列向量都是二维的向量，这些二维向量再多，也至多可以找出两个线性无关的向量这是由向量空间的维数定理保证的：“有限维向量空间中任何极大线性无关组包含向量个数相同因此，一个矩阵，它的列秩不超过行数，行秩不超过列数那么，为了完成“列秩等于行秩”的证明，只需把列秩和行秩的大小范围估计得更精确一些，从“列秩小于等于行数”、“行秩小于等于列数”精确到“列秩小于等于行秩”、“行秩小于等于列秩”。

我们设想，如果一个 m*n 阶矩阵，它的行秩为 r，那么它的列向量虽然表面上看每个都是 m 维的，但实际上这些 m 维向量被限制在了一个 r 维的子空间中，实际属于 r 维向量为了看清楚这一点，我们可以有两条思路：第一条，既然 A 的行空间维数为 r，那么可以找到 r 个线性无关的行向量为基底，矩阵的 m 个行向量都可以用这 r 个向量线性表示，用矩阵的语言就是其中 D 就是从 A 的行向量中选取的线性无关行向量，B 的每一行是 A 的行向量按D中行向量线性表示的系数（坐标）那么，接下来还是两条路：第一，按维数定理，D 的列秩不超过其行数 r，且 A 的值域维数不大于 D 的值域维数（因为 A 的维数就是把 D 的值域再用 B 映射到 m 维空间，值域的维数是递减的），因此 A 的列秩不大于 r，这实质上是北大《线性代数》中的证明；第二，B 的列秩不超过 B 的列数 r，这样就变成了“线代启示录”的证明，因此“线代启示录”上的证明思路也就是如此第二条，我们可以实际地找出 列空间的基底因为 行秩为 ，即可以选取 个行向量 ，使得其它行向量都可以用这 个行向量线性表示，不妨记为 ，那么就代表 的列向量的坐标都具有如下。