人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：正余弦定理.docx

解三角形模块一：正余弦定理在△ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a，b，c表示．1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC=2R．① a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；② sinA=a2R ，sinB=b2R ，sinC=c2R ；③ a:b:c=sinA:sinB:sinC．④ 面积公式：S=12absinC=12bcsinA=12acsinB．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：&c2=a2+b2-2abcosC,&b2=a2+c2-2accosB,&a2=b2+c2-2bccosA. 变形式为：&cosC=a2+b2-c22ab,&cosB=a2+c2-b22ac,&cosA=b2+c2-a22bc.4．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：① 已知两边和任意一个内角解三角形；② 已知三角形的三边解三角形．考点1：正弦定理例1.（1）在中，角，，所对应的边分别为，，．若，，，则　　A．1 B． C．2 D．【解答】解：因为，，，所以，由正弦定理，可得：．故选：．（2）在中，，，，则等于　　A． B． C．3 D．【解答】解：中，，，，由正弦定理可得，，则故选：．例2.（1）在中，角，，对边分别为，，．已知，，则角　　A． B． C． D．【解答】解：在中，角，，对边分别为，，．已知，，则：，故：，整理得：，所以：，由于：，故：．，则：，故选：．（2）在中，，，分别是角，，的对边，且，则　　A． B． C． D．【解答】解：由，由正弦定理可得：，而，代入化简得，由于，，，所以，可得：．故选：．例3.（1）满足条件的三角形的个数是　　A．1个 B．2个 C．无数个 D．不存在【解答】解：由余弦定理得，即，即，或．故选：．（2）在中，若，，，那么满足条件的　　A．有一个 B．有两个 C．不存在 D．不能确定【解答】解：在中，，，，由余弦定理，得：，得，△，且两根之和、两根之积都为正数，方程有两个不相等的正实数根，即有两个边满足题中的条件，由此可得满足条件的有两个解．故选：．（3）满足下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中有两个解的是　　A．①② B．①④ C．①②③ D．③④【解答】解：①，，即，因此两解．同理可得：②两解；③一解，④无解．故选：．考点2：余弦定理例4.（1）中，角，，的对边分别为，，，若，．且，则的面积为　　A．2 B．3 C．4 D．【解答】解：中，，可得：，整理可得：，，，解得：，可得：，，．故选：．（2）在中，内角，，所对应的边分别是，，，已知，则的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：，已知等式利用正弦定理化简得：，即，，为三角形内角，．故选：．模块二：题型归纳1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用① A+B+C=π．② sinA+B=sinC；cosA+B=-cosC．③ sinA+B2=cosC2；cosA+B2=sinC2．④ a>b⇔A>B⇔sinA>sinB．2．与三角形形状相关的几个结论① 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；② 在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC为等边三角形；③ 在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；④ 在△ABC中，若acosB+bcosA=csinC，则△ABC为直角三角形；⑤ 在△ABC中，若sinAcosB+cosC=sinB+sinC，则△ABC为直角三角形．考点3：判断三角形形状例5.（1）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则一定是　　A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：在中，，，故由正弦定理可得，，，，． 即，由正弦定理可得，故的形状为等腰直角三角形，故选：．（2）在△ABC中，a=2bcosC，则这三角形一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形　　 D．等腰或直角三角形【解答】A（3）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则这三角形一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形　　 D．等腰或直角三角形【解答】D考点4：解决实际问题例6.（1）在一座高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为　　A． B． C． D． 【解答】解：如图，由已知可得：，，塔高为．故选：．（2）如图，A，B是海面上位于东西方向相距53+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与点B相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？【解答】1小时考点5：正余弦定理综合应用例7.（1）在中，角，，的对边分别为，，，，的外接圆半径为，则的值为　　A．1 B．2 C． D．【解答】解：，，即，，的外接圆半径，则由正弦定理可得，，．故选：．（2）在中，已知三个内角为，，满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：由正弦定理知，，，，，，设，，，，，．故选：．（3）已知的面积为，角，，的对边分别为，，，若，，则　　A．16 B．12 C．8 D．4【解答】解：，，可得：，可得：，可得：，，．，的面积为，可得：，由余弦定理可得：，解得：．故选：．（4）在中，，，其面积为，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：，解得：，根据余弦定理有：，所以，，根据正弦定理，则：，故选：．课后作业：1.的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　A．12 B．42 C．21 D．63【解答】解：由，，可得，，，由正弦定理可得．故选：．2.在中，，，分别是角，，的对边，且，则　　A． B． C． D．【解答】解：由，由正弦定理可得：，而，代入化简得，由于，，，所以，可得：．故选：．3.满足下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中有两个解的是　　A．①② B．①④ C．①②③ D．③④【解答】解：①，，即，因此两解．同理可得：②两解；③一解，④无解．故选：．4.在中，内角，，所对应的边分别是，，，已知，则的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：，已知等式利用正弦定理化简得：，即，，为三角形内角，．故选：．5.）在中，，，其面积为，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：，解得：，根据余弦定理有：，所以，，根据正弦定理，则：，故选：．。