数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（一） 新人教B版必修5.ppt

第二章——数列2.3　等比数列2.3.1　等比数列(一)[学习目标]1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程.1预习导学￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿挑战自我，点点落实2课堂讲义￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿重点难点，个个击破3当堂检测￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿当堂训练，体验成功[知识链接]下列判断正确的是________.(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列；(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列；(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零；(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋).(1)(3)(4)[预习导引]1.等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于_______ ，那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项如果三个数a、G、b组成等比数列，则G叫做a与b的 .根据定义得G2＝ab，G＝± ，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们 这一点与等差数列不同.互为相反数比同一个常数q(q≠0)等比中项3.等比数列的通项公式等比数列{an}的通项公式为 ，其中a1与 均不为0.qan＝a1qn－1要点一　等比数列通项公式的基本量的求解例1　在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；∴32×( )n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6.方法二　∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝ .由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；(3)a3＝2，a2＋a4＝ ，求an.规律方法　a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.当q＝ 时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.∴an＝－16·( )n－1或an＝2n－1.(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.要点二　等比中项的应用例2　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则 等于多少？解　由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a ＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，规律方法　由等比中项的定义可知： ⇒G2＝ab⇒G＝± .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则 ，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0).要点三　等比数列的判定例3　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；解　a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列.(2)求an.解　由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.规律方法　判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法： ＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法：＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列.跟踪演练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式.解　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴ ＝2，∴{an}是等比数列.∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.要点四　由递推公式构造等比数列求通项例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明　∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.(2)求数列{bn}的通项公式.规律方法　(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝ ，这样就构造了等比数列{an＋λ}.1.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)A.16 B. 16或－16C. 32 D. 32或－32解析　由a4＝a1 q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝a1q2＝8×4＝32.C123452.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)A.4 B.6 C.5 D.32解析　由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.B123453.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)A.64 B.81 C.128 D.243解析　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.A123454.45和80的等比中项为________.解析　设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.12345－60或605.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么1234512345课堂小结1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.(2) 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.2.等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列.3.等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列.(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.。