《高等代数》课程学习指导.doc

《高等代数》课程学习指导———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 14 个人收集整理 勿做商业用途《高等代数》课程学习指导一、课程介绍1．导 言 高等代数是数学教育专业的基础课,是中学代数的继续和提高也是高等师范院校数学系数学与应用数学专业学生的必修课目，属基础课程，修读期为一年本课程教材为北京大学王鄂芳编著的《高等代数》（第二版）高等代数的基础知识，是学习掌握其它数学学科的基础我们知道，经典代数学的研究课题是各类代数方程的求解问题但是很容易看出,线性方程组的解本质上是向量空间和矩阵理论的一个简单的应用现在人们逐渐认识到，代数的基本研究对象应当是各类代数系统及其相互关系(态射)高等代数作为代数学的入门课程，应当是以中学代数知识（即经典代数学中方程的求解问题）为出发点,将学生逐步引导到现代代数学的基本研究对象上来通过教学，应使学生理解具体与抽象、特殊与一般、有限与一般等辨证关系,提高抽象思维,逻辑推理及运算能力.初步掌握基本的,系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法.以加深对中学数学的理解，并为进一步学习打下基础。

2．本课程目的本课程旨在帮助学生对现代代数学的研究对象,基本思想和基本方法有一个初步但又是清楚的认识，并以中小学课程中阐述的数及其四则运算的初等理论以及由之产生的各类代数方程的初等理论为基础，从理论上提升一步，引导学生进入现代代数学的研究领域：各类代数系统及其相互关系的理论，使学生对于代数学的基本思想和基本方法有一个初步的了解并接受抽象代数学基本方法的初步训练.且在本课程的教学中尝试和采用“以活动为主的参与式教学"方式让学生能围绕一些实际问题的解决，展开讨论，在问题的解决中提炼、归纳、抽象附加数学概念并建立数学理论，接受“以活动为主的参与式教学”方式并能真正贯穿于未来中学数学教学实践中,对中学数学教学进行全新的体验和改革我们希望在学习本课程的同时，能够尽快接受和领会“以活动为主的参与式教学”方式的真正内涵，通常坚持以“活动”的方式进行教学,即在教学活动中通过学习者的主观努力和积极参与，在讲授者的引导之下,获得对所要求知识的了解、掌握和应用，并能贯穿于未来的教学活动中去同时希望在教学活动中，学习者在知识认知过程中，敢干创新,教学互长3．本课程目标通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业,等)，使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论"及其思想方法有较深的认识和理解，了解《高等代数》所研究的对象、内容、方法和所能解决的实际问题,以及它与后继学科的关联.从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题，解决问题的能力。

作为大学低年级的入门课程,其理论的阐述应当符合人的认识规律，即由浅入深，从具体到抽象,由形象直观到理性思维,例如，通过分析线性方程组结构的直观上的特点导出向量空间和矩阵及其运算的基本理论,以具体的齐次线性方程组有无非零解来导出向量组线性相关与无关的抽象概念等等.在学生熟悉了具体的向量空间和矩阵之后,再过渡到抽象的线性空间和线性映射理论.在教学中，我们要遵循这个原则来处理各个章节中基本概念的引入及基本理论的展开.4．本课程简介本课程主要分为两部分:多项式理论，线性代数.多项式理论以数域上一元多项式的因式分解理论为中心；线性代数主要讲授矩阵和线性方程组理论，向量空间和线性变换在讲授某些内容时,应注意与其它课程的联系在教材中适当加入一些实际应用的知识和好的例题是必要的，也有助于学生提高本课程的积极性和兴趣但它作为一年级的基础课程，仍应以基本知识和基本方法的训练为主，以期提高学生的整体素质在本课程中不可能也没有必要花过多的精力去研究实际问题的应用 为了体现少而精的原则，本课程着重于基础知识和基本理论的讲授和基本技能的培养．并尽可能联系实际，不追求内容上的完备和全面．5．本课程所使用教材本课程所使用教材：《高等代数》第二版 王鄂芳编，高等教育出版社. 本教材适用范围广泛,它不仅可作为师范院校数学专业本科的教材，也可供师范专科学校、教育学院、函授师范大学等选作教材或参考书。

本教材获第一届国家教委高等学校优秀教材一等奖，截止目前它是本学科最好的教材6．本课程学习时间和学习进度修读本课程共需180个学时，修读时间为一年,共二学期，每学期教学时数都是90学时学习进度按课程简介分为两部分来完成，(第三部分不作要求）7．本课程学习资源和方法高等代数课程组将为你推荐下列学习材料：1）北京师范大学数学系编，《高等代数》第四版，高等教育出版社，2）杨子胥编,《高等代数》,高等教育出版社，1992年3）魏献祝主编．《高等代数》，华东师大出版社，1999年学习方法:在该教材中，学生除了接受与其他数学课程共同的基本训练（如逻辑思维能力)之外,从高等代数课程本身的特点来看，以下几个方面是最主要的,应当贯穿课程始终 1)代数学基本思想的训练代数学具有高度抽象性和一般性所研究的代数系统，其元素及代数运算都未有具体内容,而仅要求满足一定的运算法则，这是概括了许多具体的客观事物的共性之后形成的非常一般的规律，从而有广泛的应用这种抽象思维的训练，不但在数学各个方向是需要的，在其他学科及实际工作中也都是很重要的这是提高学生素质的一个重要方面从事抽象思维训练，是代数学特有的优点，在本课程中应当紧紧抓住这一点。

2）代数学基本方法的训练培养学生在抽象线性空间内处理理论问题的能力.能把较具体的问题如线性方程组，矩阵领域的问题转化为抽象线性空间和线性变换的问题来处理；又会把抽象领域的问题具体化(如计算线性变换特征值转化为解代数方程）3）线性代数基本计算，特别是计算行列式，求解线性方程组，求逆矩阵，求线性变换特征值与特征向量,用正交变换化实对称矩阵成对角形等等数字计算训练 4)矩阵与多项式技巧的运用，特别分块矩阵的使用5）综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练 6)学习者应在学习指导手册的指导下学习本课程，参考学习时间表和学习进度表，作好个人学习计划,有目地有步骤地进行自学 7）学习过程中,认真阅读课本，学完每一节、每一章后都要总结，学完指定内容后做作业,以强化、巩固所学内容，完成作业后再很快地回顾一遍所学内容，看看它与前一部分有何联系，对后一部分的学习有何帮助 8）本课程教学提倡“少”而“精"及参与式，对本学科内容的难点与框架作一剖析,从而为学习者的自学作好指导，学习过程中如有疑问或见解，可通过作业、E—mail、信件、等方式与任课教师联系9）做作业是学好本课程的非常有效的方法，建议你边读边做。

你也可以在本手册的指导下进一步细化你的“读-做”方案二、课程内容纲要第一章多项式 本章主要介绍数域上一元多项式的概念、运算、整除性最大公因式的求法与唯一因式分解定理和有理系数多项式的可约性判定及有理根的求法，是中学数学有关知识的加深和扩充应熟练掌握两多项式最大公因式的求法，理解多项式唯一因式分解定理及特殊数域上多项式的典型分解式，掌握带余除法、因式定理、综合除法等技巧，熟练掌握整系数多项式可约性的判定和有理根的求法第一节 多项式概念及运算（2课时)第二节 整数与多项式的整除法(3课时)第三节 最大公因式（4课时)第四节 因式分解定理与重因式(2课时)第五节 多项式函数与多项式的根（2课时）第六节 实系数和复系数多项式的因式分解定理（2课时)第七节 有理系数多项式（4课时）本章教学重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复(实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法第二章 行列式 行列式是线性方程组理论的一个组成部分,是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具，通过学习应掌握n阶行列式的概念与性质和计算方法第一节 二阶、三阶行列式与排列(2课时）第二节 n阶行列式的概念（2课时)第三节 行列式的性质(2课时）第四节 行列式的依行依列展开式（2课时）第五节 Cramer法则，拉普拉斯(Laplace)定理的结论(2课时）第六节 行列式的计算（2课时）本章教学重点及难点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆（Cramer）法则、拉普拉斯（Laplace）定理。

第三章线性方程组本章在理论上解决了线性方程组有无解的判定，解的个数与求法，对中学数学教学有直接的指导意义,另外，它在本课程及数学的其它分支.生产实践及科学技术中有着较广泛的应用.第一节 线性方程组的高斯消元法及矩阵概念（2课时)第二节n元向量及n维行向量空间. (2课时）第三节.线性方程组有解的判别法（2课时）第四节 线性方程组解的结构(2课时）本章教学重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解第四章 矩阵 线性方程组与矩阵是线性代数的主要研究对象,本章通过对矩阵的运算，可逆矩阵，矩阵的秩,逆矩阵的求法及矩阵乘积行列式的学习.利用矩阵理论解决线性方程组有无解的判别法、解的个数、解的求法，它们对中学数学教学有直接的指导意义第一节 矩阵的运算（3课时）第二节 可逆矩阵（2课时）第三节 初等矩阵及性质（4课时）第四节 逆矩阵的求法及矩阵乘积行列式(4课时）第五节 矩阵的秩及求法（2课时）第六节 分块矩阵及其应用（4课时)本章教学重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆;第五章二次型(12学时）二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关教材的深入与提高，也是线性代数的一个主要研究对象，本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判定．1。

掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系了解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法 3.掌握矩阵的合同概念及性质 4.掌握正定二次型的概念和判别法.第一节 二次型的矩阵表示 第二节 标准形第三节 正定二次型本章教学重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型。