平面向量的正交分解及坐标表示.ppt

2.3.3 平面向量的坐标平面向量的坐标运算运算学习目标1.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法，减法，实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，，λ2 使a= λ1 e1+ λ2 e2(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、e2唯一确定的数量a= λ1 e1+ λ2 e2复习复习G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?把一个向量分解为两个互相 垂直的向量 ,叫做把向量 正正交交分分解解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2 a2F1F2G正交分解正交分解ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得a= x i+y j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a = ( x, y )其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

i=j=0=( 1, 0 )( 0, 1 )( 0, 0 )ayOxxiyjjia = ( x, y )yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量a、、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=( x,y )yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标练习练习: :在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .解：解：如图，用基底i，，j分别表示向量a、、b、、c、、d ,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3 -2 -154321-1-2-3-4-5ji1 2 3 4由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)例例1.用基底用基底 i , j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4AB12-2-1xy453BB标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、、(m-i,n-j) B(m-i,n-j) B、、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、、(m+i,n+j) D(m+i,n+j) D、、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A随堂练习随堂练习坐标是坐标是A A、、(3,2) B(3,2) B、、(2,3) C(2,3) C、、(-3,-2) D(-3,-2) D、、(-2,-3)(-2,-3)BA A、、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、、x=3,y=1x=3,y=1C C、、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、、x=5,y=-1x=5,y=-1B标标坐标为坐标为A A、、(x-2,y+1) B(x-2,y+1) B、、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、、(-2-x,1-y) D(-2-x,1-y) D、、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C两个向量和与差的坐标分别等于两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差这两向量相应坐标的和与差1.已知已知a ，，b ，求，求a+b，，a-b．．解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )=（（ + )i+（（ + )j即即a + b同理可得同理可得a - b1.如图，用基底如图，用基底 分别表示向量分别表示向量 并求出它们的坐标。

并求出它们的坐标解：由图可知解：由图可知 =AA1+AA2 =∴∴ =(2,3)同理，同理， =(-2,3)(-2,3) =(-2,-3)(-2,-3) =(2,-3)(2,-3)形成练习形成练习 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．向量的相应坐标．2．已知．已知 ．求．求xyO解：解： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．的坐标减去始点的坐标． 你能在图中标出坐标为你能在图中标出坐标为 的的P点吗点吗?思考思考:解：解： a+b=（（2，，1））+（（-3，，4））=（（-1，，5）；）；a-b=（（2，，1））-（（-3，，4））=（（5，，-3）；）；3a+4b=3（（2，，1））+4（（-3，，4）） =（（6，，3））+（（-12，，16）） =（（-6，，19）） 例例2．已知．已知a=（（2，，1），），b=（（-3，，4），），求求a+b，，a-b，，3a+4b的坐标．的坐标．解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，，y）） 例例3．． 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、、B、、C的坐的坐标分别为（－标分别为（－2，，1）、（）、（ －－1，，3）、（）、（3，，4），求），求顶点顶点D的坐标．的坐标．小结小结:1.向量坐标的定义向量坐标的定义;2.两个向量相等的条件两个向量相等的条件;3.平面向量的坐平面向量的坐 标运算标运算向量加法与减法向量加法与减法实数与向量的积实数与向量的积向量坐标与表示向量的有向线向量坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的坐标之间的段的起点、终点的坐标之间的关系关系。