第5讲实数的完备性.doc

第五讲 实数的完备性I 基本概念与主要结果一 实数空间 1 无理数的定义人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题 毕达哥拉斯（公元前约580~约500）：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个“联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义．在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决．发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义．事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分．为了让实数与数轴上的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法．方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限不循环小数定义为无理数．一个无限不循环小数，取其位小数的不足近似值与过剩近似值，与均为有理数，且（），．可见以无限不循环小数定义无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理，即承认它是正确的．历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有理数列的基本序列法．戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置，假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集．如果折断处是有理点，那么它不在左子集，就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，即的最大数或的最小数．如果中没有最大数，中也没有最小数，这个分割就确定了直线上的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社，1986年）．康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近代数学中是十分有用的，影响深远 从古至今，数学的发展大致经历了五个时期：（1）萌芽时期（公元前600年以前）；（2）初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）：欧氏几何、算术、初等代数、三角等；（3）变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）：微积分的建立、解析几何、运动观点等；（4）近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）；（日前大学中的主要数学课程）（5）现代数学时期（20世纪40年代以来）：显著特点：计算机的广泛应用．．定义1 有理数列称为是基本列，若，，当时，有 （1）定义2 两个有理数基本序列和称为是等价的，若 （2）将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数可表为基本列的极限，如常数列．这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理数时，称之为无理数．此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性，称这种性质为完备性．2 实数空间的定义公理1 （域公理），有（1）交换律：，；（2）结合律：，；（3）分配律：；（4）两个特殊元素0与1：，有，；（5）每个，关于“+”的逆元，关于“·”的逆元（此时），有，公理2（全序公理）与“+”、“·”运算相容的全序公理（1），下列三种关系，，有且仅有一个成立；（2）传递性：若，，则；（3）与“+”相容性：若，则，有；（4）与“·”相容性：若，，则．公理3（阿基米德（Archimedes）公理），，，使得．公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界．由此可定义：定义3 实数空间是这样的集合，在其上定义了“+”、“·”运算，以及序关系“<”，满足上述四组公理，中的元素称为实数．二 实数基本定理1 基本定理定理1（Dedekind确界定理）任何非空数集，若它有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界．定理2（单调有界定理）单调有界数列必收敛．定理3（Cauchy收敛准则）数列收敛的充要条件是：，，当时，有．定理4（Bolzano-Weierstrass致密性定理）有界数列必有收敛子列．定理5（Weierstrass聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点．定理6（Cantor区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点．定理7（Heine-Borel有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖．说明：定理1~6属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种“点”的存在．这种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理7属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式，不论用前6个定理来分别证明定理7，还是用定理7分别证明前6个定理，都可用反证法来证明，而前6个定理都可以直接推出．2 重要概念定义1（确界）设，若满足：（1），，即是的上界；（2），，使得，即不是的上界．则称是的上确界，记为．若，满足：（1），有；（2），，有；则称是的下确界，记作． 即：上确界是最小的上界，下确界是最大的下界．定义2 设闭区间列具有如下性质：（1），；（2）；则称为闭区间套，简称区间套．定义3 设，若，使的任何邻域均含有中无穷多个点，称为的一个聚点．定义3＇ 设，，若的任何去心领域内都含有中异于的点，即，称是的一个聚点．定义3〃 设，若存在彼此互异的点列，使得，称为的一个聚点．定义4 设，为开区间构成的集合．若中任何一点都含在中至少一个开区间内，即，，使，称是的一个开覆盖，或称覆盖．若中开区间的个数是无限（有限）的，称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．3 七个定理的环路证明例1 确界定理单调有界定理．证 不妨设数列是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为，显然就是其极限．事实上，，由上确界定义知，，使，由单增性知，当时，有，，即 ．例2 单调有界定理闭区间套定理．证 设是一区间套，则单增有上界，由单调有界定理知有极限，且，．由区间套的定义知，又单减有下界，所以 ，．此说明，．下证是唯一的，设变满足上式，即，，则有（）．即．例3 闭区间套定理有限覆盖定理．证 设为的一个无限开覆盖，假设定理结论不成立，即不能用中有限个开区间覆盖．将等分成两个子区间，则其中至少有一个半区间不能被中有限个区间覆盖，记之为，将等分成两个小区间，则其中至少有一个半区间不能被中有限个区间覆盖，记之为，如此下去便得一闭区间套，其中每一个区间不能被中有限个开区间所覆盖．由闭区间套定理，存在唯一的点，．由于是的覆盖，故，使得，由保序性立得：当充分大时，，即，这与的构造相矛盾，故命题为真．例4 有限覆盖定理聚点定理．证 设是有界无限点集，则，为有限实常数，使得．若存在聚点，则该聚点必属于（容易证明之外任何一点都不是的聚点，因此只需证明：若不存在聚点，则矛盾．事实上，假设不存在聚点，即中任一点都不是的聚点，由聚点定义，，，使得中只含有中有限个点，记，显然是的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个邻域覆盖，从而亦覆盖了．由的性质立得中只有有限个点，矛盾．例5 聚点定理柯西收敛准则．证 设是中任一数列，满足条件：，，，有． （3）由此易证是有界的（事实上，对 当时，有， 从而 ，取，则），记，则S为有界集．若为有限集，则中至少有一个元素在中出现无限多次，取此构成一常数子列，则它是收敛的，设其极限为a，即，由条件（3）可得数列收敛于a．若是无限集，则由聚点定理知至少有一个聚点，设为，则有．事实上，由聚点的等价定义知，存在中彼此互异的点列（从而是的一子列），有．又，由（3）式立得．例6 聚点定理致密性定理．证 设是有界数列，记，若为有限集，则由例5的证明过程知存在收敛子列．若为无限集，则存在聚点，由聚点的等价定义立明（过程如例5）．例7 致密性定理柯西收敛准则．证 设满足柯西收敛准则中的条件，则是有界数列，则必存在收敛子列，由此可证整个数列收敛（参见例5）．例8 柯西收敛准则确界定理．证 设为非空有上界数列，由实数的阿基米德性质，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即，使得．今分别取，，则存在，使得为的上界，但不是的上界．于是，，， （4），，有， （5）由此易得，于是，，，，有，由柯西收敛准则知收敛，记．下证是上确界．由（4）易得是其上界．其次，，由得，当，有，由（5）知：，有．此说明为的上确界．4 闭区间上连续函数性质的证明定理1（有界性定理）若函数在上连续，则在上有界．证 由连续函数的局部有界定理：，及，有，，构造开覆盖，由有限覆盖定理立明．定理2（最值定理）若函数在上连续，则在上有最大、最小值．证 由定理1知在上有界，故由确界定理，在的值域有上确界，下证：，使．若不然，则，有．令，易见为上正的连续函数，故在上有上界，设为，则有，．解之得 ，．这与为在上的上确界矛盾．定理3（零点定理）设在上连续，且，则，使．证 不妨设（则）．记，显然非空，且是有界集，从而有下确界，记．下证．事实上，由极限保号性知：，使，；（），；（）由此易得，即．其次，若，不妨设，则由连续函数的局部保号性得： ，使在其内，特别地，，这与是的下确界矛盾．故必有．思考题（哈尔滨工大2002）设.证明：，使得定理4（一致连续定理）若在上连续，则在上一致连续．证 由在上连续知，，，，，有 （5）构造的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在的一个子覆盖，覆盖了，记，于是，对任何，则必属于中某个开区间，设，即，此时有由（5）得，，从而得．4 例题选讲例9 用区间套定理证明定理1-5．证 都可用二等分方法证明．（1）确界定理设为非空有上界数集，为的一个上界．若有最大值，则最大值即为上确界，若无最大值，任取，将二等分，若右半区间中含有中点，则记右半区间，否则记左半区间为，然后将二等分得，则至少有一个半区间含有E中点，记之为，如此下去，得一闭区间套，其每一闭区间均含有中点，由闭区间套定理，存在唯一的公共点，．下证．由的构造知：，有，，即是的上界；又，，则，使，由的构造知：，，，此说明．（2）单调有界定理设，则，用同样的方法割分即可证之．（3）Cauchy收敛准则满足Cauchy收敛准则条件的数列（基本列）一定是有界数列，即，使，．然后对进行二等分，选含有无穷多项的那一半区间为，如此下去，由闭区间套立明．（4）致密性定理同方法（3）．（5）聚点定理同方法（3）．例10 用定理1—5证明区间套定理．证（1）利用确界定理设是一区间套，则单增且有界，从而有上确界，由单调有界定理的证明知 ，．（2）利用单调有界定理由单调有界定理知，且，．再证唯一性即可．（3）Cauchy准则的充分性由知满足柯西定理的条件（这是因为当时，由区间套定义知），从。