高中数学教学论文-例谈恒成立不等式的求解策略.doc

例谈恒成立不等式的求解策略含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点．这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径．通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．下面就其常见类型及解题策略举例说明．一﹑可化为一次不等式恒成立的问题例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．二﹑二次不等式恒成立问题例2．已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论．解：(1)当时，即或，显然时，符合条件， 不符合条件;(2) 当时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得，解得．综合(1)(2)得，实数的取值范围为．三﹑绝对值不等式恒成立问题例3．对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．分析1：把左边看作的函数关系，就可利用函数最值求解．解法1：设，则，，．分析2：利用绝对值的几何意义求解．解法2：设﹑﹑在数轴上对应点分别是﹑﹑，则当点段上时，;当点在点的左侧时， ;当点在点的右侧时， ;因此，无论点在何处，总有，所以当时， 恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立时，实数的取值范围为．分析3：利用绝对值不等式求解的最大值．解法3：设．且时等式成立， ，．四﹑含对数﹑指数﹑三角函数的不等式恒成立问题例4．当时，不等式恒成立，求的取值范围．分析：注意到函数，都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切，恒成立，只要在内， 的图象在图象的上方即可．显然，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即．解：设，，则要使对一切，恒成立，由图象可知，并且，故有，， 又 点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用．此外，从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小．五、形如“”型不等式形如“”或“”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则();在上恒成立，则()”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．例5．已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围．解：，， 即（1）当时，不等式显然成立， （2）当时，由得． ，，．又，，． ．综上得，的取值范围为．六、形如“”型不等式例6．已知函数，若对任意，都有成立，则的最小值为 ．解：对任意，不等式恒成立，，分别是的最小值和最大值．对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是2，即半个周期． 的最小值为2七、形如“”型不等式例7．在，，，这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是( ) (A) (B) (C) (D)解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数应是凸函数的性质，画草图即知，符合题意，故此题选（C）．八、形如“”型不等式例8．已知函数，，若当时，恒成立，求实数的取值范围．解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零．令， ， 即在上单调递减， 是最大值．，即．九、形如“”型不等式例9．已知函数，，若对任意，都有，求的范围．解：∵对任意，都有成立，．，令得或;得． 在为增函数，在为减函数． ，．。