高量8-狄拉克方程.ppt

这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/2） 的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子 力学为主主要内容有：1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步 学习全面的相对论理论打基础；2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉 克方程的严格解在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场 处理第三章 狄拉克方程§15 电子的相对论运动方程1§15.2 克莱因-高登方程和狄拉克方程不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个原理中的运动方程，使之符合相对论的要求在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中， 只有原理4，即微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定 谔方程2将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式一.克莱因-高登方程的推导按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换 下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题相比较，发现 与 相对应，而 与 相对应在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而 得到的3根据相对论关系并考虑上述对应关系这个方程称为克莱因-高登方程。

在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题：(1) 不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；(令 ,若对任意 , 则 为正定)并对任意波函数发生作用，有4(5)这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方程的形式2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成严重的困难因为在量子理论中存在自发跃迁的概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐射到 的能级；(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需要初始时刻的 外, 还需要 作为初始条件；(4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好；5总之，克-高方程无法纳入现有量子力学的框架，而 且至少对于电子是不适用的然而又不能简单地否定 因为：（1）这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程（2）从这一方程可以导出一个连续性方程其中6而上述流密度表达式与非相对论的表达式十分相似如此看来，既然克莱因-高登方程符合相对论的要 求，那么很可能是态函数不对：即态函数虽然满足克-高方程，但还要满足另一个比 此方程要求更高的方程。

这个要求更高的方程就是狄拉克方程7二. 狄拉克方程基于克-高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这 个方程的工作他希望（1）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入 已有的量子力学框架；（2）同时又要求它的解仍然满足克-高方程于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下 列形式：或简写成8式中 和 是四个与时间和位置无关的待 定常量,c是光速引人c的目的是保证 无量纲为了使满足此方程的态函数仍能满足克-高方程，用从左边作用到（15.5）上，并与克-高方程（V=A=0）相比较，得待定常数应满足9其中对于自由电子，有既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克-高方程具体过程看曾谨言《量子力学》卷II p349）在此情况下, 式上式就称为狄拉克方程写成含时薛定谔方程形式为10若 不含时间，则狄拉克方程也有定态解而 满足从（15.9）式可以看出， 显然不可能是普通 的数，除了满足下式，还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性对电磁场中的电子，有11由于哈密顿算符的构成单元 与单电子 哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算 符 的作用空间显然不是单电子的函数空间，而 是另外一个新的空间。

这样，电子的态函数 应是在单电子的函 数空间和这新的空间的直积空间中的矢量下一节 我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的以后我们把 笼统地写成 ，以强调它不 是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间 和另一个空间的直积空间中的矢量﹟12三. 狄拉克方程的协变形式概念：(1)罗仑兹变换在洛仑兹变换下具有确定的变换性质2)协变为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协 变的形式为此，令13（这些算符在后面的推导中非常重要）将狄拉克方程写成如下形式定义4D形式的动量算符为并且定义四个新的算符用 左乘（15.12）式，利用14可证明（这里不证）Dirac方程在洛伦兹变换、空 间反演和时间反演下确实是协变的这样就得到狄拉克方程的协变形式式引进的四个新算符 满足以下关系15﹟再定义 ：则有称为 算符由于常以矩阵的形式出现，又常之 为 矩阵既然 都是厄米算符，根据前面的定义， 算符 和 算符也是厄米的此外由厄米性及式可知四个 算符以及 都是幺正的15.13)式代入16§15.3 自旋算符前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符 ， 这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。

一. 自旋算符的寻找1. 从对易关系入手设电子的自旋算符为S，它应满足角动量对易关系和自旋算符的反对易关系令 ，则 的三个分量应满足17为了寻找满足这些关系的Σ（也称自旋算符）， 试用 来构造 由前面所得结论可知，算符 满足但不满足若取两个 的乘积，肯定满足（15.19）式：注意：c 是待定常数，不是光速！为使（15.18）式得到满足，c可以是±i 18对于因为所以只要取 ，则找到了满足正确对易关系的自旋 算符：也可写成紧凑的形式容易验证，上式即19利用式可推知反过来的关系对于上面给出的算符，容易证明2.一些算符的关系此外，有20利用﹟设A,B是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符 对易，即以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较 容易推出另外还有211.自旋角动量是否守恒量？二. 自由电子的守恒量已知自由电子的哈密顿为所以自由电子的自旋并不是守恒量利用利用222. 轨道角动量是否守恒量？所以自由电子的轨道角动量不是守恒量233. 总角动量是否守恒量？由前可知，对角动量所以总角动量是守恒量对于自由电子，这是一个必然的结果，这说明自旋算符的构造 是正确的。

4. 自由电子的动量P是否守恒量？由 前可知故自由电子的动量P显然是守恒量24﹟利用5. 自由电子的螺旋度是否守恒量？定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即所以自由电子的螺旋度是一个守恒量25§16 矩阵§16.1 矩阵的维数求自旋空间的维数，可借助于有限群的知识，这里只做简单的介绍以 算符乘法为群乘，以 为生成元，取它们的各种乘积为群元，由 满足下列关系在建立狄拉克方程的过程中，出现了一个新的 空间—自旋空间这一节我们从五个 算符的对易关系入手找出这个空间的维数，进一步求出这 些算符的矩阵表示26由群论的不可约表示（不再介绍）方法，可以发现 这个狄拉克群有一个4维的不可约表示这个4维的表示空间正是我们所寻找的 算符所在的自旋空间群元肯定是有限个按照群元的构成分，可写为一共32个这32个元构成一个群，称为Dirac群﹟ ﹟ 27§16.2 矩阵的各种表示一. 矩阵构造的准备工作 前面所介绍的泡利矩阵满足下面的关系上一节我们已经知道 算符所在的空间是4D的， 算符 的表示都应是 4×4 矩阵。

下面用一个比较系统的方法求出 矩阵的各种表示28我们的目的是寻找四个矩阵，使之满足式这时应把Pauli矩阵理解为三个形式不变的矩阵，而 脱离与自旋的关系因为Pauli 矩阵是在Sz表象中给出的，表象不同，表示当然也不同现在不可能再找出一个2×2矩阵与Pauli矩阵满足反对 易关系, 但可以利用矩阵直积构造几个4×4矩阵以求得 29上两式中，处于矩阵元地位的 是2×2矩阵(Pauli)， 1代表2×2单位矩阵，而i代表2×2单位矩阵乘以i升格为4×4矩阵后，可以验证三个 仍是平方为 1和反对易的，三个 也是如此下面证明：30利用矩阵直积运算规则，有可见同理有而且﹟ ﹟31二. 矩阵的构造利用前面所得的4×4矩阵 ，寻找四个平方为1而又互相对易的矩阵方法如下：1.写出 的9个乘积：显然，由于 都是对易的，上面的三个横行中， 每行的三个矩阵都是彼此反对易而平方为1,三个竖列中每列的三个矩阵也是如此例如第一行，令32则但所以各矩阵平方和为1.即A1，A2是反对易的332. 补齐上述乘积中各行、列的元素 在第一行中再加入一矩阵 它与前面的三个矩阵互相反对易，且 再在后面加一个矩阵它与原有的三个矩阵及 都反对易，且这样在第一行中，我们找到了5个平方为1，互为反 对易的4×4矩阵。

34其它各行、列都可以分别补上两个矩阵，成为5个 一组的平方为1、互相反对易的矩阵赋予其中四个以 ，剩下的那个冠以正负号就是 详见下表：35456123在上表中，我们把第1、2、3行称为第1、2、3组， 而把第1、2、3列称为第4、5、6组，每组有5个平方 为1而又互相反对易的4×4矩阵,每个矩阵都是厄米和幺 正的，而每一组中的5个矩阵都可以随意令它们为 （加以适当的正负号）矩 阵 的 各 种 表 示36三. 矩阵的确定在不同的文献中，不同的表象选用不同的 矩阵，教材中都有介绍这里介绍两组比较通用的标准表 象或Pauli-Dirac表象，其中第一组给 ，第二组给出 见下表Pauli-Dirac表象中的37注意教材中的符号错误Pauli-Dirac表象中的上表所确定的 矩阵是比较常用的，称为Pauli- Dirac表象或标准表象，其特点是 是对角的：而 矩阵具有下列形式38﹟可得自旋算符的矩阵形式是对角的：利用注意：算符 代表物理量，在不同表象中矩阵形式是 不同的，与前面提到的形式不变的4×4 矩阵不同。

在讨论单电子的Dirac方程时，绝大多数使用Dirac- Pauli表象，其它表象多用在量子场论中39§17 自由电子Dirac方程的严格解一. Dirac-Pauli表象下的算符和态矢量在 Dirac-Pauli表象下，写成4D形式，有40若有外场，则Dirac方程可以写为自旋算符写为在Dirac-Pauli表象中，上面的Dirac方程中态函数 是函数空间与4D的自旋空间二者直积空间中的矢量， 其一般形式可写成一列矩阵，矩阵元是x,y,z 的函数:41对自由电子， ，Dirac方程变为1. 厄米算符完备组的确定(17.6)式形式的量为旋量,而(17.5)式形式的量为双旋量有时也把4D的一列矩阵写成一个二维矩阵，其两个矩 阵元 又分别是两2D矩阵：二. 自由电子的Dirac方程的求解42因V=0，故可令代入上式，得 满足的定态狄拉克方程的本征矢量即 是自由电子哈密顿然而对于自由电子来说，这样的本征矢量是高度简 并的, 为求出确切的态矢量, 应当找一组包括H 在内的 厄米算符完备组,去求这组厄米算符的共同本征矢量43前面我们讲过，自由电子的动量 和螺旋度 都是守 恒量，其中这样可以选择包括 在内的厄米算符完备组。

位 置空间和自旋空间的自由度都包括了2. 共同本征矢量的求解①先求 的本征函数即44在xyz表象中，取 。