数学自主招生试卷及答案.pdf

1 重点中学提前招生试卷（数学模拟卷）(90 分钟满分 120 分) 一、选择题（共9题，每题4 分，共 36 分）1二次函数2yaxbxc的图像如右图所示，则化简二次根式22()()acbc的结果是（）A a+b B -a-b Ca-b+2c D-a+b-2c 2.有 4支队伍进行4 项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、 2、1 分每队的4 项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（）A7 B8 C9 D10 3已知 a是方程3310 xx的一个实数根，则直线1yaxa不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4有一种长方体集装箱，其内空长为5 米，高 4.5 米，宽 3.4 米，用这样的集装箱运长为5 米，横截面的外圆直径为0.8 米的圆柱形钢管，最多能运（）根A 20 根 B21 根 C24 根 D 25 根5 将 5 个相同的球放入位于一排的8 个格子中， 每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是 （）A328 B528 C356 D5566用 x 表示不大于x 的最大整数，则方程2230 xx的解的个数是（）A 1 B 2 C3 D4 7 观察图 (1) ， 容易发现图 (2) 中的 1=2+3 把图 (2) 推广到图 (3) ， 其中有 8 个角：1， 2， , ，8可以验证 1=2+5+8 成立除此之外，恰好还有一组正整数x，y，z，满足 2xyz8，使得 1=x+y+z，那么这组正整数(x ，y，z)= ( ) A （3，4，7）B. （3，5，7） C. （3，3，7）D. （4，6，7）8. 若对于所有的实数x，22xaxb恒为负数，且22222123Mbbabab，则 M 的值为（）A3B3 C223abD47b2 A B C D E F G 第 11题9如图， 边长为 1 的正方形EFGH 在边长为3 的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF/AB. 线段 CF 的中点为 M， DH 的中点为 N，则线段 MN 的长为（）A10B17C172D2 103二、填空题（共6题，每题5 分，共 30 分）10. 已知21()()4bcab ca，且 a0, 则bca= 。

11 如图 ，正方形 ABCD 及正方形 AEFG，连结 BE、CF、DG，则 BE：CF：DG 12. 已知 a、 b、 c 都是实数， 且满足 abc,a+b+c=0.那么，ca的取值范围是13如图，在正九边形ABCDEFGHI 中，若 AB+AC=3 ，则对角线AE= 14对于一切不小于 2的自然数 n，关于 x 的一元二次方程22(2)20 xnxn的两个根记作,nna b(n 2), 则223311(2)(2)(2)(2)abab,200720071(2)(2)ab= 15. 设 抛 物 线25(21)2(4yxaxaa为常数）的 图 象 与x轴 只 有 一 个 交 点 ， 则186323aa= 三、解答题（本题有4 小题，共54 分）16.（12 分）虽 然 七 巧 板 可 以 拼 出 多 种 多 样 的 图 案 ， 但 是 凸 多 边 形 并 不 多 ， 1942年 我 国数 学 学 者 浙江大学的王福纯和向全启将证明的结论发表在美国数学月刊上，他们证明出总共只有13 种，其中凸四边形总共有六种，请画出其中周长不同的三种，并写出相应的周长设图中最小的正方形的边长为1）17. (14 分)已知： AD 是 RtABC 斜边的高，角平分线BE交 AD 于 F. 求证： AE2=AB2BE BF. 第 9题NMHGDCBAEF第 13 题3 18.（14 分）喜欢钻研的小亮对75角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角 有 着 密 切 的 关 系 ， 能 否 通 过 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 75 的 正 弦 值 呢 ？ 经 研 究 ，他 发 现 ： sin75 =sin(45 +30 )=sin45 cos30 +cos45 sin30 , 于 是 他 大 胆 猜 想 ：sin(+)=sincos+cossin（和为锐角）。

将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图 2（b）如图 , 锐角为的直角三角形斜边为 m，锐角为的直角三角形斜边为n，请你借助图2（a）和图 2（b）证明上述猜想能成立19.（14 分）已知：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y=kx+b 与 x 轴、 y 轴分别相交于点A、B，与双曲线myx相交于 C、D 两点，且点D 的坐标为（ 1,6） 1）如图 1（1） ，当点 C 的横坐标为2 时，求点C 的坐标和CDAB的值2）如图 1（2） ，当点 A 落在 x 轴的负半轴时，过点C 作 x 轴的垂线，垂足为E，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为F，连结 EF判断 EF 与 CD 是否平行，并说明理由；当CDAB=2 时，求点 C 的坐标和tan OAB 的值3）若 tanOAB=17，请直接写出CDAB的值（不必书写解题过程）4 重点中学提前招生试卷（数学）答案一、选择题1. C 2. B 3. D 4.B 5. A 6. C 7.C 8.A 9.B 二、填空题10. 2 ；11. 1：2：1； 12. 1-2-2ca； 13.3 ; 14.10034016； 15. 5796 三、解答题16. 图例：5 周长 12 周长 8+4 2周长 8+4 2周长 10+2 2周长 4+6 217. 分析：根据等角的余角相等，可证AE=AF. 由射影定理AB2=BDBC. 故，要证AE2=AB2 BEBF，只需证 AEAFBD BCBEBF 如图：创造应用切割线定理的条件：作ABC 的外接圆并延长BE 交圆于 G，得 F、 D、 C、G 四点共圆 . BD BC=BF BG. 右边 = BD BCBEBF =BF BG. BEBF =BF(BG BE) =BF EG 从而转为要证AEAF= BF EG. 只要证 AEG BFA 即可。

18. 如图 2(a)，原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m，n 为相邻两边，其夹角为 ，得它的面积是mnsin( )（其中 m 、 n 分6 别是相邻两个直角三角形斜边的长度）如图2(b)，原来的两个小正方形变成了两个矩形，其面积之和是 msin ncos mcos nsin 与上面一样，图2(a)与图 2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin( )msin ncos mcos nsin ，化简得sin( ) sin cos sin cos 19 （1）C（2,3）求直线 AB 的解析式为y=-3x+9. 得 A(3,0 ) B(0,9) 如图 2，过点 C、D 分别作 y 轴、 x 轴的垂线，两垂线相交于点P，则 CDP AOB, 13CDCPABAO(2) EFCD 理由： 易证 EFC 的面积和 EFD 的面积都等于132k，分别过 E、F 作 CD 的垂线， 垂线段平行且相等，故EF CD 由知四边形BCEF和四边形EFDA都是平行四边形，证: AEC DFB 得 AC=BD2CDAB,AB=2AC=2BD. 易证 AEC AOB DFB, OB=2BF,即 BF=CE=2. OA=2AE=2DF=2 ，即 OE=3，点 C 的坐标为（ -3，-2）tanOAB= tanBDF=2 (3) 若点 C在第三象限，点A可能落在 x 轴的正半轴或负半轴上。

当点 A落在 x 轴的正半轴时，点B一定落在y 轴的负半轴上，由1tanOAB7可知， BF=17，此时点 B落在 y 轴的正半轴上，说明点A不可能落在x 轴的正半轴上当点 A落在 x 轴的负半轴时， 如图 3， 过点 C、 D分别作 y 轴、 x 轴的垂线， 垂足分别是1C、1D,1CC、1DD相交于点Q ，在 Rt1AD D中，11tantan7D ADOAB,1DD=6 1AD=42 易证 CDQ ABO,114341ADAEADDFCDCQABAOAOAO若点 C 在第一象限，同理可得4143CDAB所以，当1tanOAB7时，CDAB的值为41434341或。