拉普拉斯变换及逆变换.docx

第 十 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 及 逆 变 换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析本章将扼要地介绍拉普 拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数 N这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法一、拉氏变换的基本概念定义12.1设函数f (t)当t > 0时有定义，若广义积分厂"f (t)e-Ptdt在P的某一区域内收敛，则此积分 0 就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即F(P)」中 f (t) e-ptdt0 (12.1 )称(12.1)式为函数f (t)的拉氏变换式，用记号L[f (t)] = F(P)表示函数F(P)称为f (t)的拉氏变换 (Laplace)(或称为f (t)的象函数)函数f (t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数)，记作L-i[F (P)] = f (t)，即 f (t)二 L-i[F (P)]。

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求f (t)在t > 0时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t < 0时, f (t) = 02) 在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用3) 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科 学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的例12・1求斜坡函数f (t) = at (t > 0，a为常数)的拉氏变换解：L[at ]=J+8 ate - ptdt = ——S+x td (e - pt) = [ — — e - pt ]+« + 土 卜^ e - ptdt0 p 0 p 0 p 0二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t = 0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即i(t)=也 dtlim Q (t + &) - Q (t)△ t0 M所以，当t丰0时，i(t) = 0 ;当t = 0时,i(0)== lim(-Mt T0lim Q(0 + At) - Q(0)△tT0 M上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一 个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。

定义 12.20, t < 0设 5e (t)n丄，0 < t "，当 £ t 0 时，5 (t)的极限 5 (t) = lim 5 (t) ££0, t >£称为狄拉克(Dirac )函数，简称为》-函数当t丰0时，8 (t)的值为o；当t = 0时，5 (t)的值为无穷大，即5 (t) = \ ' a,显然，对任何£ > 0，有 J+"5 (t)dt = J£ 丄dt = 1，所以J +"5 (t)dt =1—" £ 0 £ —"工程技术中，常将5 —函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将5 —函数用一个长度等于1的有向线段 来表示，这个线段的长度表示5 —函数的积分，叫做5 —函数的强度例12.2求单位脉冲信号5 (t)的拉氏变换 解：根据拉氏变换的定义，有L[5(t)]=01 e—pt=lim [— - ]£= — lim£t0 £ p 0+c° 5(t)e-ptdt = J (lim£-)e-ptdt + limJ " 0 - e-ptdt = limJ — e—pt dt£ t0 £=丄 lim(1 — e - p£)' = 1 limp £T0 (£)' p £T0 10 £ t0 £ £ t0 £ £ t0 0 £=11“ 1 — e—p£ 1 (1 — e—p£)' 1 pe—p£L — —L[5 (t)]二 1ot < 0t >0，求其拉氏变换。

1p £ t 0 £10, 例12.3现有一单位阶跃输入u(t)二<解.L[u(t)] = J+8u(t)e-ptdt = J+"1g-ptdt =[—丄e-pt]+« = —， (p > 0)0 0 p 0 p例12・4求指数函数f (t) = eat ( a为常数)的拉氏变换解：L[eat ] = J*"eat ge—ptdt = J+"e—(p—a)tdt = —-—， (p > a)，即0 0 p —a类似可得 L[sin wt] = (p > 0) ； L[cos wt] = —- (p > 0)p 2 + w 2 p 2 + w 2三、拉氏变换的性质 拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换性质12.1 (线性性质)若a，a是常数，且L[f (t)] = F (p)，L[f (t)] = F (p)，则12.2)1 2 1 1 2 L[af(t)+a f (t)] = a L[ f (t)] + a L[ f (t)]=aF(P)+aF(p) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 证明：例12.5求函数f (t) = (1— e-a )的拉氏变换a解：性质12・2 (平移性质)若L[f (t)] = F[p]，贝ij12.3)L[eatf (t)]二 F(p — a)( a 为常数)证明：位移性质表明：象原函数乘以eat等于其象函数左右平移I a I个单位。

例 12.6 求 L[teat ]， L[e—at sin & t]和 L[e—at cos & t]解 因为L[t]=丄，L[sinwt] = ，L[coswt]= - ，由位移性质即得p 2 p 2 +W 2 p 2 +W 2性质12.3 (滞后性质)若L[ f (t)] = F[p]，贝证明：L[ f (t - a)J+8f (t - a) e-ptdt J f (t - a)e-ptdt + ^° f (t - a)e-ptdt0 = 0 a ，在拉氏变换的定义说明中已指出，当t < 0时，f (t) = 0因此，对于函数f (t-a)，当t-a < 0 (即 t < a)时，f (t -a) = 0，所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分，令t — a =工，贝滞后性质指出：象函数乘以e-ap等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位由于函数f (t-a)是当t > a时才有非零数值故与f (t)相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道 理，我们才称它为滞后性质•在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在f (t-a)这个函数上再乘 u(t-a)，所以滞后性质也表示为例 12・7 求 L[u(t - a)]。

解：因为L[u(t)]=—，由滞后性质得L[u(t -a)] = e一a - pp例 12・8 求 L[e«(t-T)u(t -t )]解：因为 L[eat]= ，所以 L[ea(t-t)u(t -t )]=p - a 「 0,e -t p—-— , (p > a)p - a例 12.9 已知 /(t)= 3a解：f (t)可用单位阶梯函数表示为f (t) = cu(t) + cu(t - a) - 2cu(t - 3a)，于是c c c c= + e-ap — 2 ——e-3ap = (1 + eap — 2e -3ap )p p p p ，由拉氏变换定义来验证：cc= (1 — e-ap + 2e -ap — 2e -3ap ) = (1 + e -ap — 2e -3ap )p p 12.5)性质12.4 (微分性质)若L[f (t)] = F[p]，并设f (t)在[0, + s )上连续，f'(t)为分段连续，则 L[f '(t)]二 pF (p) - f (0)证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得L[f'(t)]=厂8 f'(t)e-ptdt = [f(t)e-pt]+^+ 刃用 f(t)e-ptdt0 0 0 ，可以证明，在L[f (t)]存在的条件下，必有lim f (t)e-” = 0。

因此，t — +w 微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 p ，再减去函数的初始 值应用上述结果，对二阶导数可以推得同理，可得以此类推，可得+sL[ f(n)(t)]二 pnF(p) - {pn-if (0) + pn-2f '(0) + A f(n-1) (0)} (12 6)由此可见，f (t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F[p]的代数式表示出来•特别是当初值 f (0)二 f '(0)二 f "(0)二 f (n-1)(0)二 0 时，有更简单的结果12.7)L[f (n)(t)]二 pnF(p), (n = 1,2,A )利用这个性质，可将f (t)的微分方程转化为F(p)的代数方程例12.10利用微分性质求L[sin w t]和L[cos w t]式，得解：令 f (t) = sin w t，则 /(t)二 sin wf (0)二 0, f'(0) = w，f"(0) = —W2sin wt，由(12.6)L[-w 2 sin w t]二 L[f 〃(t)]二 p2L[ f (t)] - pf (0) - f'(0)，即-w 2 L[sin w t ] = p 2 L[sin w t ] -w，移项化简得利用上述结果cos wt = (sin wt)'w及(12.5)式，可得1w—{P '-w p 2 + w 20}性质 12.5(积分性质)若 L[ f (t)] = F (p)(p丰0)，且设f (t)连续，则Lp tf (x)dx] =也12.8 )证明：令9 (t) = J tf (x)dt，显见9 (0) = 0，且因9 '(t) = f (t)，由微分性质，得 0L[9'(t)] = pL[9(t)] -9(0)，而 L[9 '(t)] = L[f (t)] = F(p)，所以有F(p) = pL[9 (t)] = pL卩 tf (x)dx]，即 L卩 tf (x)dx] = — F(p) o 0p等于这个函数的象函数除以参数 po0 积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换 例 12.11 求 L[tn](n 是正整数)。

解：因为t = J 1dx012 = L 2xdx, 13 = J03x2dx0tn = J t nxn-1dx0所以由(12.8)式即得 一般地，有性质 12.6 若 L[f (t)] = F[p],性质 12.7 若 L[f (t)] = F[p]，性质 12.8 若 L[。