概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第三章课件.ppt

3.1 多维随机变量及其联合分布 3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.3 多维随机变量函数的分布 3.4 多维随机变量的特征数 3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,3.1 多维随机变量及其联合分布,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y, 称,注意：,F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.,,,,,X1,,,X2,x1,x2,,(x1, x2),联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增.,(2) 0 F(x, y) 1，且,F(, y) = F(x, ) =0，,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.,(4) 当a

求 (X, Y) 的联合分布列.,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0, Y=4)=,P(X=2, Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3, Y=1)=,=1/4,P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16,P(X=1, Y=3)=,0.54=1/16,解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为:,其对应的概率分别为：,,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,,,,列表为：,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,例3.1.2 设随机变量 Y N(0, 1),,解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：,P(X1=0, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|2),= 2 2(2) = 0.0455,P(X1=0, X2=1) = P(|Y|1, |Y|<2),= P(1|Y|<2),= 2(2) (1),= 0.2719,P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|2) = 0,P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2),= P(|Y|<1),= 0.6826,求,,的联合分布列.,列表为：,X1 0 1,X2 0 1,,,,0.0455 0.2719 0 0.6826,课堂练习,设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。

试求（X, Y）的联合分布列.,设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得,3.1.4 联合密度函数,则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量称p(x, y) 为联合密度函数联合密度函数的基本性质,(1) p(x, y) 0. (非负性),(2),注意：,(正则性),一、多项分布,3.1.5 常用多维分布,若每次试验有r 种结果：A1, A2, , Ar,记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r,记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,二、多维超几何分布,从中任取 n 只，,记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球，分成 r 类 第 i 种球有 Ni 只， N1+N2++Nr = N.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布，,记为 (X, Y) U (D) .,其中SD为D的面积.,四、二维正态分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从二维正态分布，,记为 (X, Y) N ( ) .,例3.1.3,若 (X, Y) ,试求常数 A.,解:,所以, A=6,=A/6,例3.1.4,若 (X, Y) ,试求 P X< 2, Y< 1.,,解: P X<2, Y<1,,,2,1,,x<2, y<1,例3.1.5,若 (X, Y) ,试求 P(X, Y)D, 其中D为 2x+3y6.,,,3,2,2x+3y=6,,,,解:,3.2 边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 X 和 Y 各自的分布？,3.2.1 边际分布函数,巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，,则,Y FY (y) = F(+ , y).,X FX (x) = F(x, +),,3.2.2 边际分布列,巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，,则,X 的分布列为：,Y 的分布列为：,,,,X,Y,,,3.2.3 边际密度函数,巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，,则,X 的密度函数为 ：,Y 的密度函数为 ：,由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点 (1),二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，,注 意 点 (2),则 X N ( )，,Y N ( ).,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,,例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D=(x, y), x2+y2 <1 上的均匀分布，求X 的边际密度p(x).,解: 由题意得,-1,1,,,,当|x|1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0,当|x|1时,,,,不是均匀分布,例3.2.2 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,求概率PX+Y1.,解:,,PX+Y1=,,,,,y=x,x+y=1,,1/2,若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的，,3.2.4 随机变量间的独立性,(1) X 与Y是独立的其本质是：,注 意 点,任对实数a, b, c, d，有,(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,例3.2.3,(X, Y) 的联合分布列为:,问 X与Y 是否独立？,,解: 边际分布列分别为:,,,X 0 1 P 0.7 0.3,,,Y 0 1 P 0.5 0.5,因为,所以不独立,例3.2.4,已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,,所以X 与Y 独立。

注意：p(x, y) 可分离变量.,解: 边际分布密度分别为:,注 意 点 (1),(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子,(3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.,注 意 点 (2),(4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立习题3.2 16题),(5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.,3.3 多维随机变量函数的分布,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 Z=g (X, Y)的分布？,(1) 设(X1, X2, , Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, , Xn) 是一维离散随机变量.,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的：,i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值.,ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.,3.3.2 最大值与最小值分布,例3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.,解:,,,X 0 1 P 1/2 1/2,Y 0 1 P 1/2 1/2,,,Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1,P(Z=0) = P(X=0, Y=0),= P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1),= 3/4,设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x).,一般情况,若记,Y = max (X1, X2, Xn),,Z = min (X1, X2, Xn),则,Y 的分布函数为:,FY (y) = FX(y)n,Y 的密度函数为:,pY(y) = nFX(y)n1 pX(y),Z 的分布函数为:,FZ(z) = 11 FX(z)n,Z 的密度函数为:,pZ(z) = n1 FX(z)n1 pX(z),3.3.3 连续场合的卷积公式,定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为,离散场合的卷积公式,设离散随机变量 X 与 Y 独立， 则 Z=X+ Y 的分布列为,卷积公式的应用,例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.,解：,,所以 Z = X+ Y N(0, 2).,进一步的结论见后,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，,注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,且独立，,则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,泊松分布的可加性,若 X P(1) ，Y P(2)，,注意： X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y P(1+2).,正态分布的可加性,若 X N( )，Y N( ) ，,注意： X Y 不服从 N( ).,且独立，,则 Z = X Y N( ).,X Y N( ).,独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i, i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则,伽玛分布的可加性,若 X。