内蒙古大学06-07学年第2学期常微分方程期末考试试卷(A)及参考答案.pdf

内 蒙 古 大 学 理 工 学 院 数学 系 06-07 学年第 2 学期 常微分方程 期末考试试卷（A） 学号 姓名 专业 年级 2005 重修标记 闭卷 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、（30 分） 求下列方程的通解 1、 )1 (dd2yxxyy= 2、 2)(ddxyxyxy= 3、xyxy2e3dd=+ 二、 （15 分） 解方程组： tezyxzzyyx+=6116,三、 （15 分） 设，是方程 )(1xy)(2xy0)()(=+ yxqyxpy 的解，且满足=0，)(01xy)(02xy0)(1xy，这里在)(),(xqxp),(+上连续，),(0+x试证明：存在常数 C 使得=C )(2xy)(1xy四、 （15 分） 求 Clairaut 方程 的通解及奇解 五、证明题 1、 （10 分） 试证:若已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求它的通解 2、 （15 分） 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明：一阶线性方程 1 )()(xQyxPdxdy+= 当, 在 ,( )P x( )Q x 上连续时，其解存在唯一 注：请在答题纸上作答注：请在答题纸上作答。

2 06-07 学年第 2 学期 常微分方程 期末考试试卷（A） （参考答案） 一、求下列方程的通解（30 分） 1解 当时，分离变量得 1yxxyyydd12= 等式两端积分得 12dd1Cxxyyy+= 122211ln21Cxy+= 1222e,e1CxCCy= 方程的通积分为 2e12xCy= 2解 令xuy =，则xuxuydd+=，代入原方程，得 2dduuxuxu=+，2dduxux= 当时，分离变量，再积分，得 0uCxxuu+=dd2 Cxu+= ln1，Cxu+=ln1 即通积分为：Cxxy+=ln 3解 齐次方程的通解为 xCy3e= 令非齐次方程的特解为 xxCy3e )(= 代入原方程，确定出 CxCx+=5e51)( 原方程的通解为 xCy3e=+x2e51 二、解：原方程可化为： =+=teyxzDzDyyDx116)6(00 1消去yx,可得： tezDDD=+)6116(23， 由得齐方程的基本解组为： 0)6116(23=+zDDD,32ttteee 其特解为： ttteeDDDz=+=21)3)(2)(1(1， 所以 ttttteecececz+=2133221， 代入第一、二个方程得： ttttteteecececy=2121312133221 ttttteteecececx+=21914133221 方程组的通解为： tttececetcx332219141) 121(+= tttececetcy332213121)2121(+= tttececetcz33221)21(+=。

三、证明 设，是方程的两个解，则它们在)(1xy)(2xy),(+上有定义，其朗斯基行列式为 )()()()()(2121xyxyxyxyxW= 由已知条件，得 0)()(00)()()()()(0201020102010=xyxyxyxyxyxyxW 故这两个解是线性相关的由线性相关定义，存在不全为零的常数21，使得 0)()(2211=+xyxy， ),(+x 由于， 可知0)(1xy02 否则， 若02=， 则有0)(11=xy， 而， 则0)(1xy01=，这与，线性相关矛盾故 )(1xy)(2xy)()()(11212xCyxyxy= 四、通解 , 奇解 . 五、1、证明: 设黎卡提方程的一个特解为 yy = 令 yzy+= , dxyddxdzdxdy+= 又 )()()(2xryxqyxpdxdy+= 2dxydxryzxqyzxpdxdz+=)()()(2 由假设 )()()(2xryxqyxpdxyd+= 得 zxqyxpzxpdxdz)()(2)(2+= 此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解 2=n2 证明: 令R : x, , Ry. , 在)(xP)(xQ,上连续, 则 )()(),(xQyxPyxf+= 显然在R上连续 ,因为 为)(xP,上的连续函数,故)(xP在,上也连续且存在最大植 , 记为 L, 即 )(xPL , x, 1y, Ry 22121)()(),(),(yxPyxPyxfyxf=)(xP21yy 21yyL 因此, 一阶线性方程当, 在)(xP)(xQ,上连续时,其解存在唯一. 3。