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制作与设计 贾启芬第第5 5章章 多自由度系统的数值计算方法多自由度系统的数值计算方法 Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动第5章多自由度系统的数值计算方法 5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.5 5.5 子空间迭代法子空间迭代法5.6 5.6 传递矩阵法传递矩阵法 Mechanical and Structural Vibration第5章多自由度系统的数值计算方法 5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法Mechanical and Structural Vibration5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.1瑞利第一商 5.1.2瑞利第二商 Mechanical and Structural Vibration5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.1瑞利第一商设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。

Mechanical and Structural Vibration5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 瑞利商的平方根是基频p1的近似值假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果 Mechanical and Structural Vibration用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1 这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值 由于 ＞15.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即前乘以同理，若A是任意的n矢量，则有称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则 是基频 的近似值 给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算 的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些 Mechanical and Structural Vibration5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 例5-1 用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估 值。

已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I 解：系统的质量矩阵和刚度矩 阵为逆矩阵计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型Mechanical and Structural Vibration5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率 ，精确到第四位值的比较误差较大Mechanical and Structural Vibration5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型， 设显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得 到很好的第一阶固有频率的近似值Mechanical and Structural Vibration第5章多自由度系统的数值计算方法 5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主 振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。

李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频 值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相 应的主振型 在李兹法中，系统的近似主振型假设为是选取的s个线性独立的假设振型矩阵s维待定系数Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法由于 在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各 阶固有频率的平方 ，所以a的各元素由下式确定Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法n个自由度缩减至s 自由度刚度矩阵质量矩阵Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法频率方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型正交性Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法对于瑞利第二商利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式特征方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。

解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法例5-2 用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及 主振型 解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵设振型Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法求出求出2个固有频率，即4自由度系统的前4阶固有频率Mechanical and Structural Vibration5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法求出系统的前二阶主振型Mechanical and Structural Vibration第5章多自由度系统的数值计算方法 5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法Mechanical and Structural Vibration5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种 方法。

当其它各阶频率远远高于基频时，利用此法估算基频较 为方便 由表示位移方程得到的频率方程，即并展开得令根为式又可写成各因式连乘积的形式，即展开得Mechanical and Structural Vibration5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法比较，得到若基频p1远低于高阶频率，即kii是第i个质量产生单位位移时，在第i个质量上所需加的力 Mechanical and Structural Vibration5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法称为邓克莱公式由于略去了高阶频率的成分，所以求得的基频总是低于精确值 pii表示只有mi存在时，系统的固有频率Mechanical and Structural Vibration5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法例5-3 用邓克莱公式计算例5-1中的三圆盘转轴系统的基频解：由例5-1所解可知显然用邓克莱法求基频十分方便，但误差较大，故仅适用于 初步估算Mechanical and Structural Vibration第5章多自由度系统的数值计算方法 5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型矩阵迭代法，亦称振型迭代法是采用逐步逼近的方法来确定 系统的主振型和频率。

系统的动力矩阵求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是由位移方程，即用动力矩阵D前乘以假设振型A0 ，然后归一化，可得A1，即矩阵迭代法的过程是：（1）选取某个经过归一化的假设振型A0Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型（2）如果 ，就再以A1为假设振型进行迭代，并且归 一化得到A2，（3）若 ，则继续重复上述迭代步骤，得直至 时停止第一阶主振型Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型可以看出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶主振型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐 渐增强，最终收敛于第一阶主振型假设振型越接近A(1)则迭代过程快；假设振型与A(1)相差较大则迭代过程收敛的慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零， 则收敛于第二阶主振型；如果前s 阶主振型的分量为零，则收敛于第s+1阶主振型。

应当指出，若用作用力方程进行迭代，则收敛于最高固有频率和最高阶主振型 Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型例5-4 用矩阵迭代法求例5-1所示系统的第一阶固有频率及振型 解： 由例5-1中计算的结果可得到动力矩阵取初始假设振型进行迭代，经过第一次迭代后，得Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型第二次迭代继续迭代下去Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型与之对应的第一阶主振型为Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 当需用矩阵迭代法求第二阶、第三阶等高阶频率及振 型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振 型的成分由展开定理由正交性前乘Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 如果要在A中消去A(1)的成分，则只需取假设振型为其中称为前P阶清除矩阵。

应用QP A作为假设振型进行迭代，将得到第P+1阶固有频率及主振型 Mechanical and Structural Vibration5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 应当注意到，在运算中不可避免地存在舍入误差，即在迭代过 程中难免会引入一些低阶主振型分量，所以在每一次迭代前都 必须重新进行清除运算实际上，可以。