微积分的创立、发展及意义.doc

1微积分的创立、发展及意义摘 要该文主要论述了微积分的创立过程、微积分的发展历程，以及微积分的重要意义在微积分的创立过程中，主要说明了创立背景、微积分的两位创始人独立创立微积分的过程以及微积分的基本内容及基本方法；其次，以欧拉为主要代表介绍了微积分的发展历程；最后论述了微积分对科学、社会、工业、航空等方面的影响及其深远意义关键词：微积分 数学史 创立 发展 意义 论文1、微积分的创立1.1 微积分的创立背景 [1]克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要两科学问题，即有四种主要类型的问题有待用微积分去解决第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响第三类：问题是求函数的极大极小值第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等首先对微积分的创造作出贡献的是开普勒和伽利略用无数个无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸收的，伽利略则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。

对于微积分的孕育有重要影响的是1635 年卡瓦列利 (B.Cavalieri 意大利)的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综合，并创立了一种简易形式的积分法 ——不可分量法，使卡瓦列利的不可分量更接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis） 瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人对微积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题 ——求极值的方法也是费马创造的在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿 (Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰牛顿、莱布尼茨的最大功绩在于能敏锐的从孕育微积分的各种"个例形态中 "洞察和清理出潜藏着的共性的东西 ——无穷小分析，并把它提升和确立为数学理论1.2 牛顿与莱布尼茨 [2]牛 顿 和 莱 布 尼 茨 都 是 他 们 时 代 的 巨 人 ， 就 微 积 分 的 创 立 而 言 ， 尽 管 在 背景 、 方 法 和 形 式 上 存 在 差 异 、 各 有 特 色 ， 但 二 者 的 功 绩 是 相 当 的 。

他 们 都 使2微 积 分 成 为 能 普 遍 适 用 的 算 法 ， 同 时 又 都 将 面 积 、 体 积 及 相 当 的 问 题 归 结为 反 切 线 （ 微 分 ） 运 算 应 该 说 ， 微 积 分 能 成 为 独 立 的 科 学 并 给 整 个 自 然 科学 带 来 革 命 性 的 影 响 ， 主 要 是 靠 了 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 的 工 作 在 科 学 史 上 ， 重大 的 真 理 往 往 在 条 件 成 熟 的 一 定 时 期 由 不 同 的 探 索 者 相 互 独 立 地 发 现 ， 微 积分 的 创 立 ， 情 形 也 是 如 此 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 建 立 微 积 分 的 出 发 点 是 直 观 的 无 穷 小 量 ， 因 此 这 门 学 科早 期 也 称 为 无 穷 小 分 析 ， 这 正 是 现 在 数 学 中 分 析 学 这 一 大 分 支 名 称 的 来 源 牛 顿 研 究 微 积 分 着 重 于 从 运 动 学 来 考 虑 ， 莱 布 尼 茨 却 是 侧 重 于 几 何 学 来 考虑 的 1.2.1 牛顿的微积分牛 顿 在 1671 年 写 了 《 流 数 法 和 无 穷 级 数 》 ， 这 本 书 直 到 1736 年 才 出 版 ，他 在 这 本 书 里 指 出 ， 变 量 是 由 点 、 线 、 面 的 连 续 运 动 产 生 的 ， 否 定 了 以 前 自己 认 为 的 变 量 是 无 穷 小 元 素 的 静 止 集 合 。

他 把 连 续 变 量 叫 做 流 动 量 ， 把 这 些流 动 量 的 导 数 叫 做 流 数 牛 顿 在 流 数 术 中 所 提 出 的 中 心 问 题 是 ： 已 知 连 续 运动 的 路 径 ， 求 给 定 时 刻 的 速 度 （ 微 分 法 ） ； 已 知 运 动 的 速 度 求 给 定 时 间 内 经过 的 路 程 (积 分 法 )1.2.2 莱布尼茨的微积分1684 年 ， 莱 布 尼 茨 发 表 了 他 的 第 一 篇 微 分 学 论 文 《 一 种 求 极 大 极 小 和切 线 的 新 方 法 》 （ 简 称 《 新 方 法 》 ） ， 刊 登 在 《 教 师 学 报 》 上 ， 这 也 是 数 学 史上 第 一 篇 正 式 发 表 的 微 积 分 文 献 该 文 是 莱 布 尼 茨 对 自 己 1673 年 以 来 微 分学 研 究 的 概 括 ， 其 中 定 义 了 微 分 并 广 泛 采 用 了 微 分 记 号 莱 布 尼 茨 假dyx,设 横 坐 标 的 微 分 是 任 意 的 量 ， 纵 坐 标 的 微 分 就 定 义 为 它 与 之 比xdyx等 于 纵 坐 标 与 次 切 距 之 比 的 那 个 量 。

若 记 次 切 距 为 ， 莱 布 尼 茨 就 是 用 等p式 来 定 义 微 分 这 个 定 义 在 逻 辑 上 假 定 切 线 已 先 有 定 义 ， 而pyd::y莱 布 尼 茨 将 切 线 定 义 为 连 接 曲 线 上 无 限 接 近 的 两 点 的 直 线 由 于 缺 乏 极 限 概念 ， 这 个 定 义 是 不 能 令 人 满 意 的 莱 布 尼 茨 后 来 还 努 力 要 给 出 高 阶 微 分 的 合适 定 义 ， 但 并 不 成 功 1686 年 ， 莱 布 尼 茨 发 表 了 他 的 第 一 篇 积 分 学 的 论 文 《 深 奥 的 几 何 与 不可 分 量 及 无 限 的 分 析 》 这 篇 论 文 初 步 论 述 了 积 分 或 求 积 问 题 与 微 分 或 切 线问 题 的 互 逆 关 系 正 式 在 这 篇 论 文 中 ， 积 分 号 ∫ 第 一 次 出 现 于 印 刷 出 版 物上 他 是 历 史 上 最 伟 大 的 符 号 学 者 之 一 ， 他 所 创 设 的 微 积 分 符 号 ， 远 远 优 于牛 顿 的 符 号 ， 这 对 微 积 分 的 发 展 有 极 大 的 影 响 。

现 在 我 们 使 用 的 微 积 分 通 用符 号 就 是 当 时 莱 布 尼 茨 精 心 选 用 的 1.3 微积分的基本内容1.3.1 数学分析研 究 函 数 ， 从 量 的 方 面 研 究 事 物 运 动 变 化 是 微 积 分 的 基 本 方 法 这 种 方法 叫 做 数 学 分 析 本 来 从 广 义 上 说 ， 数 学 分 析 包 括 微 积 分 、 函 数 论 等 许 多 分 支 学 科 ， 但 是3现 在 一 般 已 习 惯 于 把 数 学 分 析 和 微 积 分 等 同 起 来 ， 数 学 分 析 成 了 微 积 分 的同 义 词 ， 一 提 数 学 分 析 就 知 道 是 指 微 积 分 微 积 分 的 基 本 概 念 和 内 容 包 括 微分 学 和 积 分 学 1.3.2 微积分微 分 学 的 主 要 内 容 包 括 ： 极 限 理 论 、 导 数 、 微 分 等 ； 积 分 学 的 主 要 内容 包 括 ： 定 积 分 、 不 定 积 分 等 微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支它是数学的一个基础学科内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法微 积 分 学 是 微 分 学 和 积 分 学 的 总 称 它 是 一 种 数 学 思 想 ， “无 限 细 分 ”就 是 微 分 ， “无 限 求 和 ”就 是 积 分 十 七 世 纪 后 半 叶 ， 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 完 成了 许 多 数 学 家 都 参 加 过 准 备 的 工 作 ， 分 别 独 立 地 建 立 了 微 积 分 学 他 们 建 立微 积 分 的 出 发 点 是 直 观 的 无 穷 小 量 ， 但 是 理 论 基 础 是 不 牢 固 的 因 为 “无限 ”的 概 念 是 无 法 用 已 经 拥 有 的 代 数 公 式 进 行 演 算 ， 所 以 ， 直 到 十 九 世 纪 ，柯 西 和 维 尔 斯 特 拉 斯 建 立 了 极 限 理 论 ， 康 托 尔 等 建 立 了 严 格 的 实 数 理 论 ，这 门 学 科 才 得 以 严 密 化 1.4 求解微积分的基本方法根 据 微 积 分 的 基 本 原 理 可 以 知 道 求 导 和 积 分 是 互 逆 的 运 算 ， 微 积 分 的 精髓 告 诉 我 们 之 所 以 可 以 解 决 很 多 非 线 性 问 题 ， 本 质 的 原 因 在 于 我 们 化 曲 为 直了 ， 现 实 生 活 中 我 们 会 遇 到 很 多 非 线 性 问 题 ， 那 么 解 决 这 样 的 问 题 有 没 有 统一 的 方 法 呢 ？ 经 过 研 究 ， 求 解 微 积 分 的 基 本 方 法 在 于 ： 先 微 分 ， 后 积 分 。

2、微积分的发展历程 [2]在 18 世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析” 这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域在数学史上，18 世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期18 世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707—1783）作出的欧拉在 1748 年出版的《无限小分析引论》 （Introductio in Anclysin infinitorum）以及他随后发表的《微分学》 （Institutionis Calculi differentialis，1755）和《 积分学》 （Institutiones Calculi integralis，共 3 卷，1768—1770）是微积分史上里程碑式的著作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如： ()fxei函 数 符 号求 和 号自 然 对 数 底虚 数 号4等等，对分析表述的规范化起了重要作用18 世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。

在这方面，积分技术的推进尤为明显1720 年，尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli II 1687—1759）证明了函数fxy（ ， ）在一定条件下，对 xy， 求偏导数其结果与求导顺序无关欧拉在 1734年的一篇文章中也证明了同样的事实在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论1748 年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为 c的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分： 3/22cdxy积分区域由21xyab围成到 1770 年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序18 世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象这一转折首先也应归功于欧拉，欧拉在《无限小分析引论。