立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算专题学案汇编.docx

全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解) 立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算班级： 姓名： 小组：【学习目标】(1) 理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念.(2) 掌握各种距离的计算方法.【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用. 难点：把空间距离转化为向量知识求解.【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距 离.其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化 为点到面的距离，用向量法来求解预习感知】1. 两点间的距离的求法.设 a= (a『a2, a3)，贝9|a|= ，若 A(x.,y1，Z1), B(x2, y2, Z2),贝 s dAB=IAB| = •答案： pa1+ a2 + a； p(xi — X2f + (y — + (旨一 zf2. 点到直线距离的求法 设I是过点P平行于向量s的直线，A是直线I外定点.作AA'丄I,垂足为A',则点A到直线I的距离d等于线段AA'的长度，而向量PA在s上的投影的大小|PAso|等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点A到直线I的距离d = d= ；|PA|2- |PASQ|2.3•点到平面的距离的求法设n是过点P垂直于向量n的平面，A是平面n外一定点•作AA'丄n,垂足为a，则点A到平面n的距离d等于线段AA'的长度，而向量PA在n上的投影的大小| PAn°|等于线段AA'的长度，所以点A到平面n的距离d= ,d= IPA %1・【预习检测】1•已知直线I过定点A(2,3,1),且方向向量为n = (0,1,1),则点P(4,3,2)到I的距d= PA|2 -叫制 2** ■离为( )B・才C•今D. 2~> n 1【解PA= (— 2,0,— 1), |PA|=. 5, PAR|=・‘2，则点卩到直线1的距离【答案】A图 2— 6 一 42•如图2— 6— 4所示，正方体ABCD — A1B1CQ1的棱长为1,0是底面A1B1CQ11 V2的中心,员so到羊面ABC1D1的距离是（【解析】建立如图所示坐标系，则D（0,0,0）,舛仇0」）,0(2 Ji),则 DAi = (i,0,i),• •—i iAiO=(—2, 2, 0),由题意知DR为12 2平面ABCp的法向量，=2-4二0到平面ABC.D.的距离为“ IDA AQ|d=- =IDA』【答案】B3.已知长方体ABCD-A.B.C.D.中，AB= 6, BC= 4, BB. = 3,则点片到平面A.BC.的距离为【解析】 如图所示建立空间直角坐标系， 贝S A,(4f0,3), Bj(4,6,3), B(4,6,0),Ci(0,6f3),A.C. = (— 4,6 , 0), AjB= (0,6—3),BCj = ( — 4f0f3), A.B. = (0f6f0),IA1B1 n[_ 1A/29 I n A1C1= 0,设平面ABC的法向量为 n= (x, y, z),由一n A1B = 0,2 4解=(1z 2, g)・【答【自主探究】12 2929求点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD, AB= 1, BC= 1, AA = 2, 求点B到直线AC的距离.［分析］可利用坐标向量法求出点B到直线A'C的距离.BrA：因为AB=1,［解析］画出空间直角坐标系如图,C= 1.AA' = 2,所以 A (0,0,2), C(1,1,0), B(1,O,0)・计算直线A C的方向向量A C= (1,1, — 2);找到直线A C 上—点C(1,1,0)； 求点 B(1,0,0)到直线 A C 上一点 C(1,1,0)的向量 BC= (0,1,0)；BC在a C上的投影为BCI=(O,农°Jl'l,-2 吒12 + 12 + - 2 2|A' C|所以点B到宀 A' C2IBc|2-|Bc「J、/i-6=6 二爷.点面距已知正方形ABCD的边长为4, E、F分别是AB、AD的中点，GC丄平面且|GC|= 2, ABCD, 求点B到平面EFG的距离.［分析］在用向量方法求证垂直问题或求距离时， 可以建立空间直角坐标系， 通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解.还可利用等积法求解.［解析］解法一：（转化法）连接AC, BD交于点0,设AC与EF交于H ,连接GH,VE> F分别为AB. AD的中点，二EF // BD.•/ BD G 平面 GEF , 二BD 〃平面GEF・…点B到平面EFG的距离即为点0到平面EFG的距离.v ABCD是正方形，• AC丄BD,「・EF丄AC・v GC 丄平面 ABCD, 又 EF u 平面 ABCD,A…GC丄EF，_ EF丄平面GCH.v EF 面 GEF ,•平面GEF丄平面GCH.B过O点作OM丄GH于M ,B点到平面则OM丄平面GEF，因此OM是O点到平面GEF的距离，也等于 GEF的距离.v正方形ABCD边长为4,•- |CH| = 4AC| = 4 乂 4 2= 3 2.v |GC| = 2,且 GC 丄 CA,「・ |GH|= 4 + 18 = 22.v Rf OMH s Rt △ GCH ,• IOM1=1GC1 血•|OH| —|GH|，…Iom卜 ii .…点B到平面EFG的距离为211解法二：（等体积法）连接BG, BF，可知 VGGG BEF ~ VB GEF >v E为AB的中点，• SABEF = 2S'ABF = }2X 2X 4= 2.连接AC交EF于H ,连接GH ,v EF 丄 AC, GC 丄 EF，二 EF 丄平面 GCH，二 EF 丄 GH.3 v|GC|= 2, |AC|= 42,A |CH|= 4X 4 2= 3 2, ••• |GH|= GC2+ CH2= 4+18= 22.1iSYEF = 2X |EF|X |GH|= 2人 2 2X 22= 2.11 设点 B 到平面 GEF 距离为 h由 VG-BEF = vB-GEF，得 3 人 |GCI X S° BEF = 3 h X SAGEF 7•-3X 2X 2= hx 2A/11,解得 h二二；i.• B点到平面GEF的距离为U -解法三：（向量法）如图所示，以C为原点，分别以CD、CB、CG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则 B(0,4,0), E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2)・•GF= (4,2,- 2), EF= (2, - 2,0),设平面GEF的法向量为n = （x, y, z）,2X+ y-Z= 0 ?y= X,x—「Tn GF= 0则Tnn EF= 0令 x= 1■，得 n= (1,1>3).X。