高二A-等比数列-教师-(四).doc
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其他更多更好的资料见公众号或小编空间初中/高中数学备课组教师 班级 学生 日期 上课时间 学生情况：主课题： 等比数列的概念与性质教学目标：1、理解等比数列、公比与等比中项的概念；2.熟练运用等比数列的通项公式及其性质解决相关数列问题；3.培养学生观察、分析和计算能力教学重点：等比数列的等比中项的概念教学难点：等比数列的证明和通项公式的求解考点及考试要求：数列是高中数学的一项重要内容，也是高考中的一个重点和难点，常与函数、不等式等知识有联系，也经常以压轴题的形式出现教学内容【知识精要】1． 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）注： （1） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 （2）q= 1时，{an}为常数；既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2. 等比数列的通项公式: = 注：在函数意义下，等比数列对应的函数为：，其中3. 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）注：（1）任意两个数的等差中项存在且唯一，但任意两个数的等比中项不一定存在且不唯一 （2）是成等比数列的必要非充分条件4．等比数列的性质：(1) 在等比数列｛｝中，（2）等比数列的增减性：当q>1, >0或0
答案与提示：利用等比数列的定义进行证明点拔：依据等比数列的定义变式：1）、已知数列为等比数列，，求证：数列为等比数列答案与提示：利用整体思想2）、已知数列的递推公式为①、求证：等比数列； ②、求答案与提示：15. 已知数列中，，且对任意非零自然数n都有数列对任意非零自然数n都有1）、求证：数列是等比数列2）、求数列的通项公式答案：（1）、提示：是公比为的等比数列精解名题】1.等比数列的概念问题例1 若为等比数列，判断下列命题的真假（1）一定不是等差数列 （2）若公比,则为单调递减数列（3）对任意， （4） （5）若，则解：（1）错 （2）错 （3）对 （4）对 （5）错2. 等比数列的基本计算题例2 等比数列中，已知，求数列的通项公式解：例3 有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，若第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数解：设前三个数为：，则第四个数为由题意得，3. 等比数列的判定例4 已知是等比数列（1）若，则一定是等比数列吗？（2）若，求证：数列是等比数列解：（1）q=-1时不是等比数列 （2）设公比为q，又=常数，所以是等比数列4. 等比数列的性质及应用例5（1）已知等比数列的各项均为正数，且，求的值解：10（2）设数列是等比数列，若，，求解：当p=0时，可得公比为-1, 则=0； 当时，可利用等比数列性质得=例6 设是等差数列，，求数列的通项公式解：由题意可得，所以或5. 等差数列与等比数列的综合题例7已知等比数列{an}的首项为a1＝，公比q满足q＞0且q≠1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝log3，求＋＋…＋【解】 (1)∵2×5a3＝a1＋9a5，∴10a1q2＝a1＋9a1q4，∴9q4－10q2＋1＝0，∵q＞0且q≠1，∴q＝，∴an＝a1qn－1＝3－n.(2)∵bn＝log3＝log33n＝n，＝＝－.∴＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.例8 已知在公差的等差数列{an}以及等比数列中，（1） 求等差数列{an}的公差d和等比数列的公比q（2） 是否存在常数，使得对于一切自然数n，都有成立？解：(1)由题意可得d=5, q=6 (2) ,设存在常数，使对一切都成立则（对一切都成立）6. 等差、等比型应用题数列中的变量n在现实生活中具有广泛的实际意义，因此数列应用题就具有较强的现实背景，如金融还款问题、环保问题、人口控制问题等解数列应用题，一般有下面两种模型：（1）等差数列或等比数列模型 （2）递推关系模型例9 某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．由题可知：，所以，当时，，两式作差得：又， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列． 所以， 由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%． （Ⅱ）令，得，由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．验证可知：当时，均有，而当时，，由指数函数的单调性可知：当时，均有．所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．例10某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。
经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且，化简可得. 解得.所以能完成任务7. 等比差数列的应用等比差数列：① 当p=1，q为常数或q=0,p为非0常数，则为等差数列或等比数列② 当p,q都是常数（），称为常系数等比差数列③ 当p,q为变量p(n)，q(n)，称为变系数等比差数列例11 设数列满足（1） 求以及的通项公式（2） 若要使，求n的取值范围解：（1） （2）所以例12 数列满足，求通项解：由题意可得，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，所以【备选例题】1. 设是等差数列，公差，中的部分项组成的数列恰成等比数列，其中1）、求的值； （2）、求答案与提示：（1）、； （2）、2. 已知数列的通项公式分别为：，将数列的公共项按它们在原数列中的前后顺序排成一个新的数列，求的通项公式解: 是以为首项，的等比数列【巩固练习】1. 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)，求数列{an}的通项公式解：∵a3·a4＝a1·a6＝，由条件知：a1，a6是方程x2－11x＋＝0的两根，解得x＝或x＝.又0＜q＜1，∴a1＝，a6＝，∴q5＝＝，q＝，从而an＝a6·qn－6＝·n－6.2．已知数列{an}满足（1）证明数列是等比数列（2）求数列{an}的通项公式解：（1）略 （2）3. 在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，求a＋b＋c的值 121abc 解：14. 数列中，，求的通项公式解：取倒数可得5. 已知数列，，（1）若成等比数列，求常数p （2）确定常数p的值，使为等比数列解：（1）p=2 or 3 (2) 在（1）的基础上证明即可6. 装有a升纯酒精的容器，每次倒出1升，再用水加满，再倒出1升再用水加满，如此继续下去，则第n次倒出1升后，容器里还剩多少纯酒精 解：7. 数列的前n项和为，数列中，若。
1）、设，求证：数列是等比数列；（2）、求数列的通项公式答案与提示：1）、观察已知式，通过换元构造一个新的等比数列，用等比数列的知识解决问题，这是求数列通项公式的常用方法 2）、注意分类讨论思想的使用自我测试】1.已知-4，x,y,z,-324成等比数列，则x+y+z=__-156或84____2.三个正数成等比数列，且，则这三个正数为___3. 若成等差数列，则x=_______4．已知是由实数组成的等比数列，若，则=___-3_____5. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则= 6. 若数列为等比数列，其中是方程的两根，且，则实数k=___ __。
