一元二次方程判别式与韦达定理完美版概要.ppt

一元二次方程判别式与韦一元二次方程判别式与韦达定理达定理------完美版概要完美版概要一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：X=(b2-4ac≥0)复习巩固复习巩固:（（1））( 2 ) ( 3 ) 利用利用求根公式求根公式解下列方程：解下列方程：通过上面几个方程的解的情况，你发现了什么结论？通过上面几个方程的解的情况，你发现了什么结论？对于一元二次方程axax2 2＋＋bxbx＋＋c c＝＝0 0（（a≠0a≠0）来说，）来说， b b2 2－－4ac4ac称为称为根的判别式根的判别式，记为：，记为：△△=b2－－4ac （（1）当）当△△=b2－－4ac＞＞0时时，，原方程有原方程有两个不相等两个不相等实实数根数根 x1，，2＝＝（（2）当）当△△=b2－－4ac＝＝0时时，，原方程有原方程有两个相等两个相等实实数根数根 x1＝＝x2＝－＝－（（3）当）当△△=b2－－4ac＜＜0时时，，原方程原方程没有没有实实数根．数根．例例1 、、 判定方程根的情况（其中判定方程根的情况（其中a为常数）为常数）如果方程有实数根，写出方程的实数根．如果方程有实数根，写出方程的实数根． （（1））x2－－ax－－1＝＝0 （（2））x2－－2x＋＋a＝＝0．．解（解（1））Δ＝＝a2－－4×1×(－－1)＝＝a2＋＋4＞＞0，， 所以方程一定有两个不等的实数根所以方程一定有两个不等的实数根（（2））Δ＝＝22－－4×1×a＝＝4－－4a＝＝4(1－－a)，，①①当当Δ＞＞0，即，即a＜＜1时时，方程有两个不等，方程有两个不等实实根根 ，， ②②当当Δ＝＝0，即，即a＝＝1时时，方程有两个相等的，方程有两个相等的实实数根数根 x1＝＝x2＝＝1；； ③③当当Δ＜＜0，即，即a＞＞1时时，方程没有，方程没有实实数根．数根． 分分类讨论类讨论是初中数学中重要的思想方法是初中数学中重要的思想方法. （1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3- 4- 4-1--2根与系数的关系（韦达定理）的发现过程根与系数的关系（韦达定理）的发现过程通过上面几个方程的解的情况，你又发现了什么结论？通过上面几个方程的解的情况，你又发现了什么结论？X1+x2=+== -X1x2 =●===对于一元二次方程axax2 2＋＋bxbx＋＋c c＝＝0 0（（a≠0a≠0）来说，）来说， 当当△△= b= b2 2－－4ac4ac＞＞0时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 则则一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2= -注：能用公式的前提条件为注：能用公式的前提条件为b2-4ac≥0如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么 X1+X2= = X1X2 = =－Pq特殊情况：当二次项系数特殊情况：当二次项系数a=1 时时例例2 、已知方程、已知方程的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的的值值．．解法一：解法一：∵∵2是方程的一个根，是方程的一个根，∴∴5×22＋＋k×2－－6＝＝0，，k＝－＝－7．．方程方程为为5x2－－7x－－6＝＝0，解得，解得x1＝＝2，，x2＝－＝－所以，方程的另一个根所以，方程的另一个根为为－－解法二：设方程另一个根为解法二：设方程另一个根为x1，则，则 2x1＝－＝－∴∴x1＝－＝－由由 （－（－）＋）＋2＝－＝－，得，得 k＝－＝－7．．，，k的值为－的值为－7．．例例3、已知关于、已知关于x方程方程x2＋＋2(m－－2)x＋＋m2＋＋4＝＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大两个根的积大21，求，求m的值．的值．解：设解：设x1，，x2是方程的两根，由韦达定理，得是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋＋x2＝－＝－2(m－－2)，，x1·x2＝＝m2＋＋4．． ∵∵x12＋＋x22－－x1·x2＝＝21，， ∴∴(x1＋＋x2)2－－3 x1·x2＝＝21，，即即 [－－2(m－－2)]2－－3(m2＋＋4)＝＝21，，化简，得化简，得 m2－－16m－－17＝＝0，， 解得解得 m＝－＝－1，或，或m＝＝17．．当当m＝－＝－1时，方程为时，方程为x2＋＋6x＋＋5＝＝0，满足，满足Δ＞＞0；；当当m＝＝17时，方程为时，方程为x2＋＋30x＋＋293＝＝0，，Δ＜＜0(舍舍)．．综上，综上，m＝＝17．．例例4、若、若x1和和x2分别是方程分别是方程2x2＋＋5x－－3＝＝0的两根．的两根． （（1）求）求| x1－－x2|的值；的值； （（2）求）求（（3））求求x13＋＋x23的值；的值；的值；的值；37 9－－的值（（4）求）求例例5、若关于、若关于x的方程的方程x2－－x＋＋a－－4＝＝0的一根的一根大于零、另一根小于零，求实数大于零、另一根小于零，求实数a取值范围．取值范围．解：设解：设x1，，x2是方程的两根，则是方程的两根，则 x1x2＝＝a－－4＜＜0,得得 a＜＜4，， ∴∴a的取值范围是的取值范围是a＜＜4．．常用结论常用结论1:若若ax2 bx c 0 (a 0 0)时时（（1）若两根互为相反数）若两根互为相反数,则则b 0;（（2）若两根互为倒数）若两根互为倒数,则则a c;（（3）若一根为）若一根为0,则则c 0 ;（（4）若一根为）若一根为1,则则a b c 0 ;（（5）若一根为）若一根为 1,则则a b c 0;（（6）若）若a、、c异号异号,方程一定有两个实数根方程一定有两个实数根.解解:由已知由已知,△△={即即{m>0m-1<0∴∴0

的取值范围一正根，一正根，一负根一负根△△＞＞0X1X2＜＜0两个正根两个正根△△≥0X1X2＞＞0X1+X2＞＞0两个负根两个负根△≥△≥0 0X X1 1X X2 2＞＞0 0X X1 1+X+X2 2＜＜0 0{{{常用结论常用结论2：：结束结束。