二） ~时 ⑺ 为 常 数 ） ，若兀v ） 在区间［ 2 , +8） 上是增函数，则" 的取值范围是.⑵ 函数危） =（ 1）-/ +2 4+，的 单 调 减 区 间 为 .命题点3 函数的值域（ 或最值）例 5 （ 1 ） 函数一（ 分 +1 在区间［ - 3 , 2 ］ 上的值域是.（ 2 ） 如果函数y = / ' + 2 ，-l （ a > 0 , 且在区间［ -1 , 1 ］ 上的最大值是1 4 , 则a的值为思 维 升 华 （ 1 ） 在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；（ 2 ） 与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域（ 最值） 、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.听名师精讲课程罂—指数函数的图象与性质 窿 聚 ■ 掇回跟踪训练3 （ 1 ） 已知函数兀t ） =（ —5） ' 的值域是［ 一8 , 1 ］ ,则实数a的取值范围［ ―X2 + 2X, 0WXW4是（） A . ( - 8 , - 3 ] B . [- 3 , 0 )C. [—3 , -1 ] D. { —3 }( 2 ) ( 2 0 1 5 •福建) 若函数«r ) =2 仅 一 0 ( 〃 e R) 满足式1 + x) = > ( l —x) ,且於) 在[加，+ 8 ) 上单调递增,则实数m的 最 小 值 等 于 .现场纠错系列2 .指数函数底数的讨论典 例 ( 2 0 1 6 ・ 日照模拟) 已知函数y = b + a r + 2 x( a ，6为常数，且 a > 0 , a # l ) 在区间［ 一］ ,0 ］上有最大值3 , 最小值|,则 a , 6的值分别为.错解展示解 析 令 t= x +2 x = (x - \- 1 )2— 1 ,3V —，一 1 WW0 .:： . b + ^ b + a ^ b + l ,答 案 2 , 2现场纠错:纠错心得: 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 .(1即- 4 0没有意义/⑵ ，，arbr2 . (l)R (2)(0, + 8)(3)(0,1)(4)y>l 0<1 y>\ (6)增函数(7)减函数思考辨析(1)X (2)X (3)X (4)X (5)X (6)X考点自测1. B 2.B 3.D 4.25 . ( 一也 ，-1 )U (1 ,也)题型分类深度剖析例 1 (1)0 (2)：跟踪训练I |例 2 (1)B (2)D [(1)如图，观察易知，a , 人的关 系 为 从0 或 00,.•.0<2fl2c- 1,：.2a+2c< 2 ,故选 D.] 跟踪训练 2 ( 1 ) D ( 2 ) [ -1 ,1 ]解 析( 1 )由yu )=" T的图象可以观察出，函数式x)=" f在定义域上单调递减，所以o = 肃 + 纾 - 1 =， + 2 f— 1= ( f + 1 ) 2 -2 .当时，因为x G [ —L U，所以a ] ,又函数尸 。
+1产一2在 ，4上单调递增,所以为做=3 + 1 ) 2 — 2 = 1 4 ,解得4 = 3 (负值舍去 ) .当0 <火1时，因为x G [ - L l ] ,所以% ,又函数y = ( f+ l ) 2 - 2在[ a, 5上单调递增，则 y m a* = ( !+ l ) 2 -2 = 1 4 ,解得 =； ( 负值舍去 ) .综上，4 = 3或&=； .跟踪训练3 ( 1 ) B ( 2 ) 1解 析( 1 )当0WxW4时，段)e [ -8,1 ] ,当 a W x < 0 时， 贝x ) W [ —( 5 ° , -1 ) ,所以[ 一 表-1 ) [ -8,1 ] ,即一8 W—=< - l,即 -3《a<0 ,所以实数〃的取值范围是[ -3 ,0 ) .( 2 ) ：/ U + x ) = A l —x ) ,. \ / U )的对称轴为x = l ,* ' • a= 1 , y ( x ) = 2 " "，. •J U )的增区间为[ 1 , + ° ° ) ,'：[m, + 8) = [ i, +o o ),机21 .• •m 的最小值为1 .现场纠错系列现场纠错3-22-13或2 解析 令 t= x2-\-2x=(x+1 )2— 1,VxG[—0] , 1,0] .①若。
> 1 ,函数外)=6/ 在[ - 1,0] 上为增函数，/.a 1] , /?+〃 / + 2%0屹 + ： , b + 1] ,依题意得a+ 厂了解得1： 二;‘为+ 1 = 3 , 2・②若o 0 ，且 a W l ) , 那么数X叫做以〃为底N的对数，记作其中 叫做对数的底数，叫做真数.2 .对数的性质与运算法则( 1 ) 对数的运算法则如果 > 0 , 且 M> 0 , N > 0 ,那么① l og “ ( M 2 V ) =:③l og ” 时' =( « S R ) .( 2 ) 对数的性质① 小 ” =；g)lo g, xz" =( a> 0 ,且 a# l ) .⑶对数的换底公式l og „/ ? = j^ ^ ( a> 0 ,且c> 0 ,且 c r l ； b > 0 ) .3 . 对数函数的图象与性质y = l og( fxa > \0 <4 <1图象]X=1\ y=log/7KM) )X=17(1.0) _! y=logr定义域( 1 ) _ _ _ _ _ _ _ _值域⑵ _ _ _ _ _ _ _ _性质( 3 ) 过定点_ _ _ _ _ _ _ _( 4 ) 当 x > l 时，_ _ _ _ _ _ ；( 5 ) 当 x > l 时，_ _ _ _ _ _ _ _ ； 当 0 0 且 6 > 0 且 相，" C R .2 .对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y = l , 则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0 < c < d < l < a < b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.v.0gliX°-,o& x1 1 ^^.y-logjx【 思考辨析】判断下列结论是否正确( 请在括号中打“ J ”或 “ 义”)⑴若 MN>3 则 l o g “ ( M AO = k ) g a M + l o g 〃N . ( )( 2 ) l o g / - l o & / y =k > g a a + y ) . ( )⑶函数y =l o g 2 X及 y =l o g [ 3 x 都是对数函数.( )3( 4 ) 对数函数y =l o g , / m > 0 且 々 W 1) 在( 0 , + 8 ) 上是增函数. ( )] + 工( 5 ) 函数丁=1 7= 与 y =l n ( l + x ) - l n ( l —工) 的定义域相同. ( )( 6 ) 对数函数y =l o g M ( 〃 > 。
且〃W 1) 的图象过定点( L 0 ) 且过点( 〃 1) ， & - 1) ，函数图象只在第一、四象限.()2考点自测1 . （ 教材改编） （ l o g 2 9 > （ l o g 3 4 ） 等于（）A- 4 B2C . 2 D , 4 2 . 函数.*x)=lg(|x| - 1)的大致图象是( )A. a>b>c B. b>a>cC. a>c>b D. c>a>b4 . (2016•成都模拟) 函数y = )logo,5( 4x—3)的定义域为.5 . ( 教材改编) 若log*l(a>0且 a W l),则实数a 的取值范围是题型分类深度剖析题 型 一 对数的运算例 1 (1)己知 10ga2 = M 7, log“3 = " , 则 .,,v l w (l-lo g63)2+log62-log618⑵计算：- - - - - i ^ T ― = --------------思 维 升 华 对数运算的一般思路(1)拆： 首先利用蕊的运算把底数或真数进行变形， 化成分数指数赛的形式， 使赛的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、源的运算.跟踪训练 1 (1)若 a= log43,则 20+2 "=.(2)(2016•济南模拟" 。
帅 了 + 怆 ^2-lg 5+^/(lg V2)2- lg 2 + l =.题 型 二 对数函数的图象及应用例 2 (1)已知函数y=log“(x+c)3, c, 为常数，其中a>0, a # l) 的图象如图，则下列结论成立的是( ) A. a>\, c>l B. «>1,0\ D. 0 0 且 aW l） 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）(2)(2016•新疆乌鲁木齐一诊) 设K r)= |ln (x + l)|,已知, 八°) = / ( 勿3< 勿，则( )A. a+b>0 B. a-\-b>\C. 2a+b>0 D. 2a+h>\题 型 三 对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例 3 （ 2015•天津） 已知定义在R 上的函数4 0 = 2 广利一 1（ 机为实数） 为偶函数， 记 «=Alog0.53） ,fe=^log25） , c=fl,2m）, 则 a, b, c 的大小关系为（ ）A. a< b< c B. a
的取值范围是.1 3 " i ( xW 0 ) ,( 2 ) ( 2 0 1 6 •北京东城区模拟) 已知函数ZU)={ 1 则不等式凡r) > l的解集为_ _ _ _ _ _ _ _[ Io 药x( x> 0 ) ,命题点3 和对数函数有关的复合函数例 5 已知函数火x) = log 4 ( a x2 + 2 x+ 3 ) .⑴ 若 川 ) = 1 , 求人X ) 的单调区间;( 2 ) 是否存在实数a,使. / ( x) 的最小值为0 ?若存在，求出a的值：若不存在，请说明理由.思 维 升 华 ( 1 ) 对数值大小比较的主要方法①化同底数后利用函数的单调性；②化同真数后利用图象比较；③借用中间量( 0 或 1 等) 进行估值比较.( 2 ) 解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根 据 “ 同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题. 跟踪训练3 ( 1 ) 设函数yu ) = ' ' ' 则满足y( x) W 2 的X的取值范围是()[ 1 —log 2 X , x > \,A. [ - 1 , 2 ] B . [ 0 , 2 ]C . 1 1 , +8)D . [ 0 , + 8 )( 2 ) 若兀0=3"-2 以+ l+ a ) 在区间( - 8 , 1 ] 上递减，则 4的取值范围为( )A. [ 1 , 2 ) B . [ 1 , 2 ]C . [ 1 , + 8 ) D . [ 2 , + 8 )高频小考点3 . 比较指数式、对数式的大小考 点 分 析 比较大小问题是每年高考必考内容之一：( 1 ) 比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数彩结合的方法.( 2 ) 解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而 底数不同则构造赛函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一 般 选 0或 1 .典 例 （ 1 ） （ 206全国乙卷） 若公历> 0 , 0 < 。
< 1 , 贝 | J （ ）A. logf lcc B . l o g（ ch（ 2 ） （ 2 0 1 6 •河南八市质检） 若 a =2 0 3 , f e =l o g „3 , c=l o g 4 co s 1 0 0 , 则（ ）A . b > c > a B . b > a > cC. a > h > c D. c > a > b（ 3 ） 若实数a , b , c 满足Io g 〃2 v l o g b2 0) ，<0 (5 ) y <0 y >0(6 ) 增 函 数 (7 ) 减函数4 . y =l o g , x y =x思考辨析(1 ) X (2 ) X (3 ) X (4 ) X (5 ) V (6 ) V考点自测1 . D 2 . B 3 . C 4 . (1 ，1 ]5 (0 , 1 ) U (1 , + 8 )题型分类深度剖析例 1 (1 ) 1 2 (2 ) 1跟踪训练1 ⑴ 斗 ^ (2 ) 1例 2 (1 ) D (2 ) B [ (1 ) 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，. . . Ov zcl ,• . •图象与x轴的交点在区间(0 , 1 ) 之间，，该函数的图象是由函数y =l o g 环的图象向左平移不到 1 个单位后得到的，. \ 0
> 1 时不满足条件，当0 <〃<1 时，画出两个函数在(0 ,百上的图象，可 知 舄 <焉 ) ，即 2 挈所以”的取值范围 为 * ，1 ) . ]跟踪训练2 (1 ) B (2 ) A [ ⑴由题意y =l o g / (a >0 且 a W l ) 的图象过(3 , 1 ) 点，可解得 = 3 . 选项 A 中，y = 3- - ( 1 r ) 显然图象错误；选 项 B中，> - = ? , 由森函数图象性质可知正确；选 项 C 中，y =(- x ) 3 =—显然与所画图象不符；选项D 中，y =l o g 3 (- x ) 的图象与y =l o g 3 X的图象关于y轴对称，显然不符，故选B .(2 ) 作出函数/ (x ) =| l n (x +l ) | 的图象如图所示，由式a ) =_ / g ) , 得一l n (n +l ) =l n (〃+1 ) , 即必+ a/ । i x 2+/ ? =0 . 0 = 6 + +/ ? < + + 4 >, 即(〃+6 ) (〃+力+4 ) >0 , 显然一l 0 ,・•・〃 +力 +4 >0 , . *. « +/ ? >0 , 故选 A . ]例 3 C ［ 由兀0 = 2-制 - 1 是偶函数可知机=0 ,所以为) =2 忖- 1 .所以 a =X l o g o ,53 ) =2 | l o g0. 5 3 | - 1=2 1 o g23 - l =2 ,b =/ (l o g 2 5 ) —2 | l o g 2 5 1 — 1 =2 1 o g 2 5 —1 =4 ,c=/ (0 ) =2 划一1 = 0,所以 c
> 1 时，函数 尸心以户在定义域内为增函数，所以l o g 国总成立.当0 <〃<1 时，函数y =l o g / 在定义域内是减函数，由l o g 铲l o g / , 得吟 ,± c2故 0 cq 可2综上，的取值范围为(0 , ^ ) 0 (1 , +° ° ) .(2 ) 若 x W O , 则不等式#工) >1 可转化为3 " 】 > 1 =>犬+1 >0 =>%>- 1 ,・・・一 1 <%<0 ；若 x >0 , 则不等式/ ( » 1 可转化为l o g | x > 1， 〈 耳. 综上，不等式於) >1 的解集是(一 1 , 1 ) .例 5 解⑴ 因 为 川 ) =1 ,所以 l o g 4 (a +5 )= 19因此 +5 =4 , t z= -1 , 这时 = l o g4(—X2+ 2X+3 ) .由一f + 2 x + 3 > 0 , 得一l 0 ,即儿 一 1 解得[丁 =葭 2故 存 在 实 数 吏| x ) 的最小值为0 .跟踪训练3 (1 ) D (2 ) A [ ⑴当正琉1 时 , 2 —2,解得x 2 0 ,所以 O W x W l ；当 Q 1 时，1 —l o g 2 x W 2 ,解得x* ，所以第>1 . 综上可知x 2 0 .(2 ) 令函数 g(x)=jr—2ax+1 +a=(x—a)2+1 + a ~ a2,对称轴为 x = a ,要使函数在(- 8, 1 ]似 D>0 ，上递减，则 有 、“ 2,解得l W a <2 ,即 4 G 口 , 2 ) , 故选 A . ]高频小考点典 例 (1 ) B (2 ) C (3 ) A [ (1 ) 对 A： l o g “ c = ^, l o g 〃c=Q ,因为0 b>0,所以 1 g a >l g b,但不能确定I g a 、l g i > 的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；H D 1 I g Q , , 1g b对 B ： l og 4 一电 c , l og /一吆 0 ， 而l g a > l g ,两边同乘以一个负数七 改 变 不等号方向，所以B正确；对C:由》 = / 在第一象限内是增函数，即可得 到 〃 所 以C错；对D：由y = (/ 在R上为减函数，得C&J,所以D错 . 故 选B .( 2 )因为 2。
3> 2 °= 1 , 0 = 1 0 8万1 < 1 0 8兀3< 1 0 8视 =1 , l og 4c os 1 0 0 < l og 41 = 0 ,所以a > b > c ,故选C .⑶ 由l ogr t2 < l og / , 2 < l ogc2的大小关系， 可知 ，c有如下四种可能： ①l〈c < A v〃 ； ②③O v b < a < l〈c ；④O < c < 6 < a v l .对照选项可知A中关系不可能成立. ] § 2 .7 函数的图象基础知识自主学习H知识梳理1 .描点法作图方法步骤：( 1 ) 确定函数的定义域；( 2 ) 化简函数的解析式；( 3 ) 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值( 甚至变化趋势) ；( 4 ) 描点连线，画出函数的图象.2 .图象变换( 1 ) 平移变换( 2 ) 对称变换G 0、关于X轴对称① 尸 穴 X) -----------------► )=6 „、关于V 轴对称@y=Ax);------③ 产 於@y=dx (a>0 且 a W l )关于y=x对称-------------------- > y =( 3 ) 伸缩变换a > \,横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变横坐标而长为原来的*纵坐标不变y② y=/W纵坐标伸长为原来的0倍，横坐标不变 , =纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变^- - - - - - - - - - -( 4 ) 翻折变换®y=fix)保留X 轴上方图象 ，,将X 轴下方图象翻折上去~② y = /2保留y轴右边图象，并作其，, =关于) • 轴对称的图象_> ) ’ 一 【 知识拓展】1 .函数对称的重要结论( 1 ) 函数y = / ( x ) 与 y = / ( 2 a —x ) 的图象关于直线x = ”对称.( 2 ) 函数y = / ( x ) 与 y = 2 6 一 火 2 ” 一x ) 的图象关于点3 ,份中心对称.( 3) 若函数y = « r ) 对定义域内任意自变量x满足：J(a +x ') = f ia —x ) ,则函数y = « r ) 的图象关于直线x = q 对称.2 .函数图象平移变换八字方针( 1 ) “ 左加右减”，要注意加减指的是自变量.( 2 ) “ 上加下减”，要注意加减指的是函数值.【 思考辨析】判断下列结论是否正确( 请在括号中打“ J ”或 “ X ”)( 1 ) 当》 《( 0 , + 8 ) 时，函数y = | / ( x ) | 与) ， = 川动的图象相同. ( )⑵函数y = q* x ) 与 ) = . / ( 办) 3> 0 且 a Wl ) 的图象相同.()( 3) 函数y = / ( x ) 与丫= 一兀1 ) 的图象关于原点对称. ( )( 4) 若函数y = / ( x ) 满足. / U+ x ) = / ( l —x ) , 则函数, / ( x ) 的图象关于直线x = l 对 称 . ( )( 5 ) 将函数y = A —x ) 的图象向右平移1 个单位得到函数) ， = 八一x - l ) 的图象. ( )2考点自测I . ( 教材改编)函数兀0 = x + 9 的图象关于()A . y轴 对 称 B . x轴对称C.原点对称 D.直线y = x 对称2 . (2 0 1 6 •全国乙卷)函数)， = 2 * —/在［ —2 , 2 ］ 上 的 图 象 大 致 为 ()3 .函数; (x )的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线)， = 炉关于)， 轴对称，则段)的解析式为()A . / x )= e *” B . 犬 x )= e ' TC . 於 尸 e e l D.危 尸 e - i4 .函数丫= 段)在彳6［ —2 , 2 ］ 上的图象如图所示，则当X © ［ —2 , 2 ］ 时， /x) +X- x) =. 5 . 已知函数式x)=Iog2x(x>0),2'QWO),范围是_ _ _ _ _ _ _ _且关于x 的方程_/U)—4 = 0 有两个实根，则实数a的取值题型分类深度剖析题 型 一 作函数的图象例 1作出下列函数的图象.⑴y=(护;(2)y=|log2(x+ l)|；2x-l(3)y=—:(4)y=f-2|x| — l.思 维 升 华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、形如y= x+ 1的函数.(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.跟踪训练1作出下列函数的图象.⑴ y=|x—2|-(x+l)；x+2⑵尸 干 .题 型 二 识图与辨图jr jr例 2 (1)(2016•甘 1郸模拟)函数1 x)=2x-tanx在(一》 2)上 的 图 象 大 致 为 ()AB (2 )已知定义在区间［ 0 , 2 ］上的函数y = / (x )的图象如图所示，则y = -/ (2 -x )的 图 象 为 ( )思 维 升 华 函数图象的识辨可从以下方面入手:⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置;(2 )从函数的单调性，判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,(5 )从函数的特征点,判断图象的循环往复;排除不合要求的图象.跟踪训练2 ⑴(2 0 1 6・武 汉 模 拟 )函 数 产 的 图 象 大 致 为 ()⑵ 已 知 所 任(—2，x 。
依—］ ;＜无1＜0则下列函数的图象错误的是() 产嗔-x） 的图象y=<|x|） 的图象D题型三函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例 3 （ 1 ） 已知函数/X） =X|M -2JC,则下列结论正确的是（）A . / U ） 是偶函数，递增区间是（ 0,十8）B . / （ x ） 是偶函数，递减区间是（ - 8,1 ）C . / （ X ） 是奇函数，递减区间是（ 一1 , 1 ）D . 於 ） 是奇函数，递增区间是（ 一8 , 0 ）（ 2 ） 若函数y = / （ 2 x + l ） 是偶函数，则函数y = / （ x ） 图象的对称轴方程是（ ）A . x=\ B . x = 1C . x = 2 D . x— - 2命题点2 解不等式例 4函数大幻是定义域为（ - 8 , o ） u（ o , +8） 的奇函数，在（ 0 , +8） 上单调递增，图象如图所示，若式—x ） ] < 0 , 则x的 取 值 范 围 为 .命题点3求解函数零点问题例 5 （ 2 0 1 6 ・ 山东） 已知函数｛x ） =匕、, 其中山> 0 , 若存在实数从使得[ X — 2mx+4m, x>m,关于x的方程式x ） =b有三个不同的根，则m的 取 值 范 围 是 .思 维 升 华 （ 1 ） 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（ 单调性、奇偶性、周期性、最值（ 值域） 、零点） 常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.（ 2 ） 利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程, / （ x ） = g （ x ） 的根就是函数/ U ） 与 g(x)图象交点的横坐标；不等式Xx)＜ g(x)的解集是函数式处的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.跟踪训练3 (1)函数兀V ) 是定义在［ -4 ,4］ 上的偶函数，其在［ 0,4］ 上的图象如图所示，那么不等式 悬 ＜0的解集为(2)已知函数＜x) = |x -2 |+ l, g(x)=H. 若方程_/U)=g(x)有两个不相等的实根，则实数/ 的取值 范 围 是 ( )A. (0, 2) B. (1, 1)C. (1,2) D. (2, + 8 )高频小考点4 . 高考中的函数图象及应用问题考 点 分 析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决. 熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提.一、已知函数解析式确定函数图象典 例 1兀且xWO)的图象可能为()二、函数图象的变换问题典例2若函数y=/(x)的图象如图所示，则函数y = -/(x + l)的图象大致为( ) 三、函数图象的应用典例3 ⑴ 己 知 以 尸f位| l g x，\fx Wx >。
0，, 则函数y = 2 / （ x ） ］ 2 —训 幻 + 1 的零点个数是（ 2 ） （ 2 0 1 5 •北京） 如图，函数段） 的图象为折线A C B , 则不等式火x ） 》l o g 2 （ x + l ） 的解集是（）A . { x | - l V x W 0 } B . { x | — I WXW I }C . { x | — I V x W l } D . { x | - l < x W 2 }⑶ （ 2 0 1 6 •吉林三校联考） 若函数< x ） =§ 誉的图象如图所示，则机的取值范围为（）A . ( - 8 , - 1 ) B . ( - 1 , 2 )C . ( 0 , 2 ) D . ( 1 , 2 ) 答案精析基础知识自主学习知识梳理2 . (\) f ix ) +k j{ x +h ) J(x —h ) f ix ) —k ( 2 ) ①一 7 ( x ) ( 2 ) / ( —x )③一八一x)④1 & 内( > 0且 划)( 3 ) ①A * ②句( x ) ( 4 ) ① 师 ) | ②/ ( | x | )思考辨析( 1 ) X ( 2 ) X ( 3 ) X ( 4 ) 7 ( 5 ) X考点自测1 . C 2 . D 3 . D 4 . 0 5 . ( 0 , 1 ]题型分类深度剖析例 1 解 ⑴ 作 出尸 针 的图象，保留y = ( 暴 的图象中Q 0 的部分，加上y = ( 力 的 图象中x > 0 部分关于y轴的对称部分，即得y= /严的图象，如图①实线部分.① ②( 2) 将函数y =l og2X的图象向左平移1 个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y =| l og2( x+ l ) | 的图象，如图②.( 3) ：> = 二二丁=2 + 士，故函数图象可由、 = ( 的图象向右平移1 个单位，再向上平移2 个X I X I 兀单位而得，如图③.( 4 ) ：y = 2i. 八 且函数为偶函数，先用描点法作出[ 0 , + 8 ) 上的图象，再根据l x + 2 x ~ 1, x< 0 ,对称性作出( - 8 , 0 ) 上的图象，如图④.跟踪训练1解 ⑴ 当 x 2 2 ,即x -2 2 0时，y =( x—2) ( x+ l ) =f —x—2 当x v 2 , 即工 一 2< 0 时，y = ( x—2) ( x+ 1) = —X2+X+ 2/ k2 I 9= ~ U-2 )+ 不{1 7 9( x—x22,I , 9一。
一2 r + 1 ，x <2 .这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出( 如图) .( 2 ) y = W 1 = i —工，该函数图象可由函数丫=一!向左平移3 个单位，再向上平移1 个单位X I J X I J 人得到，如图所示.-3! — 1 - O xJ T J T例 2 ( 1) D ( 2) B [ ( iy U ) =2x—t a n x是奇函数， 其图象关于原点成中心对称， 又一t a n^ = ^ - 1 > 0 , 故选 D .( 2) 方 法 一 由y =/ ( x) 的图象知，1) ,* * 一11(1 m时，—2mx-\-Am,在( 机，+8)上为增函数, 若存在实数6,使方程逃x) =b有三个不同的根，M ' J nf-2m-m+4m<\m\.m>0, .,.m2—3 m > 0 ,解得 m>3.跟踪训练 3 ( 1) 3—为 < 一 1 或 ( 2) B [ ⑴在( 0 , 7 ) ±y =cos x> 0 ,在与 4 ) ± y =cos x< 0 .由於) 的图象知在( 1, 当 上 热 0 ，因为«r ) 为偶函数，y =cos x也为偶函数,所以) ' = 燃 为偶函数， 所以京a < °的解集为｛ x|一1或v - U J i人 乙 乙( 2)先作出函数兀0=以-2| + 1的图象， 如图所示， 当直线g(x ) = kx与直线A B平行时斜率为1,当直线g( x) =后 过4点时斜率为今故危尸g( x)有两个不相等的实根时，上的取值范围为& ，1) .高频小考点典例 1 D 「 .7 ( x) =( x—1) cos x( —Tr W xW it 且 x# 0 ) ,•••X- x) =- Xx) ,. •. 危) 为奇函数，排除A, B ；当x=7 t时，H x ) < 0 ,排除C .故选D . ]典例2 C [ 由y =f ( x)的图象得到y =- f ( x+ l )的图象， 需要先将y =f ( x)的图象关于x轴对称得到y= —f ( x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y =- f ( x+ l )的图象，根据上述步躲可知C正 确 . ]典例 3 ( 1) 5 ( 2) C ( 3) D解 析( 1)由 y =2[ f ( x) f —" x ) + l = O ,得 7 U ) =1 或4 x) =； ,①若危)= 1 ,贝% 或" ,解得x = 10或x =七或x=0 .x> 0 ,②若外 ) 岩 ，则1或L 12 [ | l gx| =2 [ 2 - 2 1解得 X=A/T5 或综上，共有5个零点.( 2)令g( x) =y =l og2( x+ l ) ,作出函数g( x)的图象如图所示. c\^(r)=log2U+l)\ 0 \ ~ 2'x +y = 2 ,抄=l og2( x+ l ) , ly = \.. . . 结合图象知不等式J ( x)》l og2( x+ 1)的解集为{ x| - 1 0 时，“x) > 0 , ： .2 ~m > 0 ,即m < 2 ,函数/ U )在［ —LU上是单调递增的，： ./ ( x) > 0在［ -LU上恒成立，f W=( 2 ~~ a ? ) ， +— 2x( 2—(X2+ 7M)2( f f l - 2) ( x2~/ 7 ? )= ( 7 +⑼ 2 >5, . •, 〃 一2< 0 , . . . 只需要 x2—w < 0 在［ —1, 1］上恒成立,. ' •( X —㈤ m ax <。
，m > 1 ,综上所述，1 <加<2,故选D . § 2 .8 函数与方程基础知识自主学习n知识梳理i .函数的零点( 1 )函数零点的定义对于函数y =/ ( x ) ( x e ) ，把使 的实数x叫做函数) ，=/ ( x ) ( x G £ > )的零点.( 2 )儿个等价关系方程y u ) = o有实数根㈡函数y =/ u )的图象与 有交点分函数) ， =y u )有.( 3)函数零点的判定( 零点存在性定理)如果函数y =/ ( x )在区间［ 小 句 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有, 那么，函数y =/ ( x )在区间 内有零点，即存在c G ( a, b),使得, 这个_ _ _ _ _ _ _ _ 也就是方程_ / W = 0的根.2 .二分法对于在区间出， 句上连续不断且 的函数y =/ ( x ) ,通过不断地把函数兀r )的零点所在的区间，使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3 .二次函数) = " 2 + / “+° 3> 0 )的图象与零点的关系【 知识拓展】1 .有关函数零点的结论( 1 )若连续不断的函数7 U )在定义域上是单调函数，则式x )至多有一个零点.J > 04 = 0/ <0一次函数y=aX1+bx+c3> 0 )的图象立♦R与X轴的交点无交点零点个数 （ 2 ） 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.（ 3） 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.2.三个等价关系方程兀0= 0有实数根台函数y =/ （ x ） 的图象与x轴有交点台函数y =X x ） 有零点.【 思考辨析】判断下列结论是否正确（ 请在括号中打“ J ”或 “ X ”）（ 1 ） 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. （）（ 2 ） 函数y =/ （ x ） 在区间（ 〃 ，份内有零点（ 函数图象连续不断） ，则人4 次力＜ 0 . （）（ 3） 只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（）（ 4） 二次函数在“一4℃＜0 时没有零点. （ ）（ 5） 若函数兀0 在3 , 加上单调且人。
） 皿份＜0 ，则函数4 0在口，团上有且只有一个零点.（）2考点自测1 .（ 教材改编） 函数的零点个数为（）A . 0 B . 1 C . 2 D . 32 .下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A . y = c o s x B . y =s i nxC . y = ln x D . y = } ? +13. （ 2 0 1 6 •吉林长春检测） 函数段） =拼 工 +%一 ： 一2的零点所在的区间是（）A . g 1 ） B . （ 1 ,2 ）C . （ 2 , e ） D . （ e ,3）4 .函数/ （ x ） =2 l l o go _ 5x | — 1 的 零 点 个 数 为 .5 .函数火x ） = o r + l - 2 a 在区间（ 一 1 ,1 ） 上存在一个零点，则实数的取值范围是题型分类深度剖析题型一函数零点的确定命题点1 确定函数零点所在区间例 1 （ 1 ） （ 2 0 1 7 ・ 长沙调研） 已知函数段） = l n x - （ ，L 2 的零点为沏，则必所在的区间是（）A . ( 0 ,1 ) B . ( 1 ,2 ) C . ( 2 ,3) D . ( 3,4) ( 2 ) ( 2 0 1 6 ・ 济南模拟) 设函数y= f与 y =g) " 2 的图象的交点为( 沏， %) ， 若 x ( ) e ( 〃 ， 〃+1 ) , z ? €N ,则x o 所 在 的 区 间 是 .命题点2 函数零点个数的判断/—2 , x W O ,例 2 ( 1 ) 函数火x ) ={ 八的零点个数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ .2x —6 +lnx ,尤 > 0( 2) 若定义在R上的偶函数4 x ) 满足/ ( x +2) = y a ) ,当［ 0 ,1］ 时,/ ( x ) = x ,则函数y = / ( x ) —log 3| x |的零点个数是( )A. 多于4 B . 4C . 3 D . 2思 维 升 华 ( 1) 确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.( 2) 判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.跟踪训练1 ( 1) 已 知 函 数 / ) = 5 一log 2X ,在下列区间中，包 含 零 点 的 区 间 是 ( )A . ( 0 ,1) B . ( 1,2) C . ( 2,4) D . ( 4, +< = ° )( 2) 函数,/ U lnx c os x2在区间［ 0 ,4］ 上 的 零 点 个 数 为 ( )A . 4 B . 5C . 6 D . 7题 型 二 函数零点的应用引申探究本例( 2) 中，若/ ( x ) = a 恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是.例 3 ( 1) 函数式》 ) = 2' —： 一。
的一个零点在区间( 1,2) 内，则实数的 取 值 范 围 是 ( )A . ( 1,3) B . ( 1,2)C . ( 0 ,3) D . ( 0 ,2)( 2) 已知函数火x ) = M +3x | , xCR, 若方程_ / ( x ) —a | x —1| = 0 恰有4 个互异的实数根，则实数a的取值范围是.思 维 升 华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法( 1) 步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式( 组) ：③解不等式( 组) ，即得参数的取值范围.( 2) 方法：常利用数形结合法.跟踪训练2 ( 1) ( 20 16 -枣庄模拟) 已知函数./ U ) = x 2+x +a m< 0 ) 在区间( 0 ,1) 上有零点， 则 a的取值范围为•( 2) ( 20 15 ・ 湖南) 若函数人外= | 2' -2| -6 有两个零点，则实数b的 取 值 范 围 是 . 题型三二次函数的零点问题例 4己知兀0=，+ 伍2-1口 +（ 4—2） 的一个零点比1 大，一个零点比1 小，求实数a的取值范围.思维升华 解决与二次函数有关的零点问题： （ 1） 利用一元二次方程的求根公式； （ 2） 利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；（ 3） 利用二次函数的图象列不等式组.跟踪训练3 （ 20 16 ・ 临沂一模） 若函数式的= （ 〃? -2） ，+ 3 ： + （ 2 M + 1 ） 的两个零点分别在区间（ 一1,0 ） 和区间（ 1,2） 内，则m的取值范围是.思想与方法系列4 . 利用转化思想求解函数零点问题典 例 （ 1） 若函数兀v ） = a ' -x —a m > 0 且 a / l ） 有两个零点，则实数a的 取 值 范 围 是 .（ 2） 若关于x的方程2僦+2 % + 。
+ 1 =0有实根，则实数a的 取 值 范 围 为 .思 想 方 法 指 导 （ 1） 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.（ 2） “ a = / （ x ） 有解"型问题，可以通过求函数y = / （ x ） 的值域解决. 答案精析基础知识自主学习知识梳理1. ( 1求x ) = 0 ( 2) x 轴 零 点( 3求幻7 ( 勿< 0 m ，h ) / c ) = 0 c2 . 仙) 贡加< 0 一分 为 二 零 点3 . ( 肛0 ) ,( 肛0)( 肛 ) 2 1 0思考辨析⑴ X ( 2) X ( 3) X ( 4) 7 ( 5 ) 7考点自测1. B 2.A 3.C 4.2 5 .f t , 1)题型分类深度剖析例 1 ( 1) C ( 2) ( 1,2)解 析 ( l『" ( x ) = lnx -( ； ) L 2在( 0 ,十8 ) 上为增函数，又人l) = ln 1—& T = ln 1-2< 0 ,X 2) = ln2-Q ° < 0 ,4 3) = ln3—g i > 0 ,.,.A b6 ( 2,3) ,故选 C .( 2) 令式》 ) = / 一( ； ) 5 2 , 则大必) = 0, 易知/ ( x ) 为增函数，且11) < 0 ,式2) > 0 , ； .x o所在的区间是( 1,2) .例 2 ( 1) 2 ( 2) B解 析 ( 1) 当xWO时， 令 /- 2 =0, 解得》 = 一 也 ( 正根舍去) ， 所以在( -8 , 0 ］ 上有一个零点;当x > 0 时 / ( x ) = 2+( > 0 恒成立， 所以兀v ) 在( 0 ,+8 ) 上是增函数.又因为1 2) = -2+ln2< 0 ,火3) = ln3> 0 ,所以_ / U ) 在( 0 , + 8)上有一个零点，综上，函数£ x ) 的零点个数为2.( 2) 由题意知， 火 x ) 是周期为2 的偶函数.在同一坐标系内作出函数) ， = _ ") 及 y = log 3kl的图象，如图， 观察图象可以发现它们有4 个交点，即函数y = / a ) 一10 g 3| x | 有 4 个零点.3跟踪训练 1 ( 1) C ( 2) C [ (1)因为/U )= 6—l o g2 1= 6> 0,7(2 )= 3 -l o g2 2 = 2 > 0,/(4)= 2 -l o g2 4=—1 < o , 所以函数# x )的零点所在区间为(2 ,4).(2 )由 y (X )= X C OS，=0 ,得 x = 。
或 c o s x2= 0.又x £ [ 0,4] ,所以金£ [ 0,16] .由于 c o s g+ E )= 0(A eZ ),而在抖E (k ez )的所有取值中，只 有 看 当 ,T- T- 等满足在[ 0,16] 内，故零点个数为1+ 5L 4 乙 〃 乙 L= 6. ]例 3 (1)C (2 )(0,l )U (9 , + 8 )解 析 (1)因为函数犬x )= 2 '-2f —a 在区间(1,2 )上单调递增， 又函数. /0= 2 ,一：2一的一个零点在区间(1,2 )内 ,则 有 川 )次2 )<0,所以(一“ )(4-1 一a)<0,即 a(a-3 )<0. 所以 OV aV 3 .⑵设 y i = /(x )= M + 3 x | ," = 小 一 1| ，在同一直角坐标系中作出力= | f+ 3 x | , 丫 2 = 以一1| 的图象如图所示.由图可知式X )-a| x —1| = 0有 4 个互异的实数根等价于8 = “+ 3 加与)2 = "仅 一 H 的图象有4 个不同的交点且4 个交点的横坐标都小于1,所以y — —%2—3 x ,J = 4(l —X )有两组不同解,消去y得 d +Q —« )x + “ =O 有两个不等实根,所以 / = (3 —a尸 —4a> 0,即 a2-10« + 9 > 0,解得a 9 .又由图象得a > 0 , 0 9 .引申探究 9(O, 4)解析 作出y। = * + 3x|, 力=。
的图象如下:124-^10y产H+3用y2=a'x3 9当x = - ］ 时，％= 不当 x=0 或 x = —3 时，Vj=0,Q由图象易知，当％ = * + 3 R 和 的 图 象 有 四 个 交 点 时 ，0
一2 <0, /.—2 0) 的函数模型称为“ 对勾”函数模型：⑴该函数在( - 8 , 一和［ g, + 8 ) 上单调递增，在［ 一 电 ,0) 和( 0 , 也 ］ 上单调递减.⑵ 当 x>0时，x = g 时取最小值2 3 ，当x<0时，x = 一3时取最大值一2 3 .【 思考辨析】判断下列结论是否正确( 请在括号中打“ J ” 或 “ X ” )(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利. ( )(2)基函数增长比直线增长更快. ()(3)不存在沏，使 * < X； < lo g M o .()(4)在(0, + 8 ) 上，随着x 的增大， y = ，(“>l)的增长速度会超过并远远大于丫= * " 3>0)的增长速 度 . ( )⑸ “ 指数爆炸”是指数型函数y= 0"+ c(aW O , 6>0,% W1)增长速度越来越快的形象比喻 . ( )2考点自测1 . ( 教材改编) 已知某种动物繁殖量y(只) 与时间武年) 的关系为尸Hog3( x + D ，设这种动物第2 年 有 100只，到第8 年它们发展到( )A. 100 只 B. 200 只C. 300 只 D. 400 只2 . 若一根蜡烛长20 c m ,点燃后每小时燃烧5 c m ,则燃烧剩下的高度〃 ( cm)与燃烧时间0 )的函数关系用图象表示为( )AB 3 .某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ,第二年的增长率为＜7,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A. 2 B.---------- 2----------c.V w D.4S+D S+I） — i4 .用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A. 3 B. 4C. 6 D. 125 .某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元， 并且每生产一单位产品， 成本增加10万元. 又知总收入K是单位产品数。
的函数， 砥0 ） =40一 ^ 则 总 利 润 〃 ） 的最大值是万元.题型分类深度剖析题型一用函数图象刻画变化过程例1 （ 1）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是（（ 2） （ 2016・ 日照模拟） 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案. 据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q o,各种方案的运输总量与时间， 的函数关系如图所示， 在这四种方案中， 运输效率（ 单 位时间的运输量) 逐步提高的是()CD思 维 升 华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.跟踪训练1设甲、 乙两地的距离为“ (a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()题型二已知函数模型的实际问题例2 (1)某航空公司规定， 乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费( 元) 由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.(2)一个容器装有细沙a c n A细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，/ m in后剩余的细沙量为y = “e-"cm 3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子， 则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练2 (2015•四川) 某食品的保鲜时间y( 单位： 小时) 与储藏温度x(单位：C )满足函数关系) ， =/ 什" (6=2.718…为自然对数的底数，k, b为常数) . 若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 题型三构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型例3 （ 2016. 武汉模拟） 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为7?%（ 即每销 售100元征税R元） ，若年销售量为（ 30—（R）万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（）A. [4,8] B. [6,10]C. [4%,8%] D. [6%, 10%]命题点2构造指数函数、对数函数模型例4光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为晨通过x块这样的玻璃以后强度为y.（ I）写出y关于x的函数解析式；（ 2）至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的; 以下？（ 参考数据：lg2=*0.3010, 1g 3^0.477 1）命题点3构造分段函数模型例5 （ 2017•武汉调研） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度。
（ 单位：千米/ 小时） 是车流密度x（单位：辆/ 千米） 的函数. 当桥上的车流密度达到200辆/ 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/ 小时；当车流密度不超过20辆/ 千米时，车流速度为60千米/ 小时，研究表明：当20WxW200时，车流速度是车流密度x的一次函数.（ 1）当0WxW200时，求函数u（ x）的表达式；（ 2）当车流密度x为多大时, 车流量（ 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位: 辆/ 小时）f（ x）= x v （ x）可以达到最大，并求出最大值.（ 精确到1辆/ 小时）思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练3 （ 1）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 m g/m L,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《 道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 m g /m L ,那么，此人至少经过小时才能开车. （ 精确到1小时）（ 2）大学毕业生小赵想开一家服装专卖店， 经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R I4 00x —0 « 40 0 ,与门面经营天数元的关系是R ( x ) = J 2 则总利润最大时， 该门面经营、 8 0 000, x > 4 00,的天数是.答题模板系列2 .函数应用问题典 例 ( 12分) 已知美国某品牌公司生产某款的年固定成本为40 万美元，每 生 产 1万部还需另投入16 万美元. 设公司一年内共生产该款x万部并全部销售完， 每万部的销f4 00- 6 x , 0O W 4 0,售收入为R ( x ) 万美元，且 H ( x ) = < 7 4 00 4 0 000丁一一p - , x > 4 0.( 1) 写出年利润M万美元) 关于年产量4万部) 的函数解析式；( 2) 当年产量为多少万部时，公司在该款的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.思维点拨 根据题意， 要利用分段函数求最大利润. 列出解析式后， 比较二次函数和“ 对勾”函数的最值的结论.规范解答解 ( 1) 当 0< r W 4 0 时，W = x R ( x ) - ( 16 x + 4 0)= - 6X2+384X-4 0 , [ 2 分]当 x > 4 0 时，W = x R ( x ) — ( 16 x + 4 0)4 0 000xI 6 x + 7 3 6 O .- 6X2+384X-4 0 , 0 4 0.[ 4 分 ]( 2) ①当 0 a W 4 0 时 ,W =-6(X-32)2+6 104 ,所以用皿= 卬( 3 2) = 6 104 ； [ 6 分 ]②当 x > 4 0 时，W= _40Q 0°― i 旅 + 7 3 6 0,,. 4 0 000 一，由于- - - + 16 x 》2『1 6E 6 00,„ a j , , 4 0 000 ,当且仅当— — = 16 %,即x = 5 0e( 4 0, 十8 ) 时，取等号,所以W取最大值为5 7 6 0. 口0 分］综合①②知， 当x = 3 2时，W取得最大值6 104万美元. 口2分］解函数应用题的一般步骤：第一步：（ 审题） 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：（ 建模） 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：（ 解模） 求解数学模型，得到数学结论；第四步：（ 还原） 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步： （ 反思） 对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 答案精析基础知识自主学习知识梳理2 .递 增 递 增 y 轴x轴思考辨析⑴ J ( 2) X ( 3 ) X ( 4 ) V ( 5 ) X考点自测1. B 2. B 3 . D 4 . A 5 . 2 5 00题型分类深度剖析例 1 ( 1) C ( 2) B跟踪训练1 D例 2 ( 1) 19 ( 2) 16解 析 ( 1) 由图象可求得一次函数的解析式为y = 3 0r —5 7 0, 令 3 Q x —5 7 0 = 0 , 解得x = 19 .( 2) 当 t—0 时，y —a,当? = 8 时，勖= 呼，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即 尸 。
屋 " = / ， e* = / = ( ef) 3 = e- 2?则 r = 2 4 , 所以再经过16 m in .跟踪训练2 24解 析 由题意得e"= 19 2,1 =48,- 22* _ _ 4 8 _ _ 1 . I U _ 1•,e - 19 2- 4 ' "e ~2 '： .x = 3 3 时，y = e3 3 i+ 6-（ e"V - ef c=（ ； ） "e"= * X 19 2= 24 .例 3 A例 4 解（ 1） 光线通过1块玻璃后，强度） ， =（ l - 10% » = 0.9k ；光线通过2 块玻璃后, 强度y = （ l — 10% > 0.% = 0.92匕光线通过3块玻璃后，强度y = （ l —10% > 0.924 = 0.93 依光线通过x块玻璃后，强度y = 0.9”.故y关于x的函数解析式为y = 09% ( x eN* ) . ( 2) 由题意，得 0 9 k*即 0 9 ' < / 两边取对数，得.r i g 0.9< l g 1.危因为1g 0.9< 0, 所以》 > 两百.l g4 - 21g 2 - 0.6 02 0又l g 0.9= 21g 3 —1= 0.95 4 2 — 1- 0.6 02 0=- 0.04 5 8M 3 . 14 ,且 X W N " , 所以 X m i n = 14 .故至少通过14 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的; 以下.例 5 解( 1) 由题意可知当0 W x W 2 0 时，o ( x ) = 6 0；当 20 W x W 2 0 0 时，设 o ( x ) = a x + 8, 显［ 2004 + 6 = 0, P -3 )然 。
) = 以+ 匕在［ 20, 200］ 上是减函数，由已知得”,,“ 解得彳 ”八［ 20〃 十 6 = 6 0, . 200心一亍,故函数o ( x ) 的表达式为［ 6 0, 0^ x < 20,o ( x ) = < 1k ( 200- x ) , 20W x W 200.( 2) 依题意并由( 1) 可得6 0% , 0W x < 20,段 ) = 1 1刊 200一% ) ， 2 0 « 2 0 0 ,当0 W x W 2 0 时， 7 U ) 为增函数，故当工= 2 0 时，其最大值为6 0X 20= 1 200；当20W x W 200时， 外 ) = % ( 200—1户 #+(2, ~~= ］ 2 = 」 f 当且仅当x = 200—乂 即x = 1 0 0 时，等号成立，所以，当x = 100时， 段) 在区间［ 20, 200］ 上取得最大值等2综上，当x = 1 0 0 时， /U ) 在区间［ 0, 200］ 上取得最大值”詈- 3 3 3 3 ,即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 3 3 3 辆/小时.跟踪训练3 ( 1) 5 ( 2) 3 00解 析 ( 1) 设经过x小时才能开车. 由题意得0.3( 1 — 25% )y0.09,...0.75*W0.3, x^logo.750.3*=4.19..'.x最小为5.(2)由题意，总利润( 1 ,4 0 0 x -rr-1 0 0 x -2 0 000(0〈xW400),60 000- 100x(Jt>400),当 0WxW400 时，y=-1(x-3O O )2+25 000,所以当 x=300 时，ymax=25 000,当 x>400 时，y= 60 000 — 1 00A<20 000,综上，门面经营天数为300时，总利润最大为25 000元. 第三章导数及其应用§ 3 .1导数的概念及运算基础知识自主学习n知识梳理- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -i . 导数与导函数的概念⑴一般地，函 数 产 危 ) 在 x = x o 处的瞬时变化率是l i m % = l i m. 。
+ 某一丁 ), 我们称它加- 0 ZAA ALO ZAA为函数y = /( x ) 在 x = x ( ) 处的导数， 记作, 即/ ( 的) = 蚂孩= .( 2) 如果函数y = /( x ) 在开区间3,力内的每一点处都有导数，其导数值在( ，％ ) 内构成一个新函数，这个函数称为函数y = /( x ) 在开区间内的导函数.记 作 / ( x ) 或 了 .2 . 导数的几何意义函数y = /( x ) 在点x o 处的导数的几何意义， 就是曲线y = /( x ) 在点P ( w 人沏) ) 处的切线的斜率k,即 k=.3 . 基本初等函数的导数公式4 .导数的运算法则基本初等函数导函数« r ) = c ( c 为常数)f a ) = _ _ _ _ _ _ _ _./U ) = x "( a W Q* )/' ( x ) = _ _ _ _ _ _ _ _X x ) = s i n xf' ( x ) = _ _ _ _ _ _ _ _/( x ) = c o s Xf ( x ) = _ _ _ _ _ _ _ _/U ) = e*f (x) =_______y u ) = "( 〃> o ,f a ) = _ _ _ _ _ _ _ _火 x ) = l n xr a)=_______人工) = 10& 口 ( 〃 > 0, a W l )f _______若/ ( x ) , g ' ( x ) 存在，则有⑴ [ /W ±g ( 切' =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 2) [ /U > g ( x ) 『 二； ( 3 ) 1瑞 ]'=( g ( x ) #O) .【 知识拓展】1 . 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2 ,弱，=一 岛 菽 /3 . [ a j(x ) +b g(x ) ]'^a f ' (x ) +b g' ( x ).4 .函数y = /( x )的导数/ ( x )反映了函数# x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向,其大小， ( 划反映了变化的快慢，I f ( x )| 越大，曲线在这点处的切线越“ 陡”.【 思考辨析】判断下列结论是否正确( 请在括号中打“ J ”或 “ X ”)(1 X( 即)是函数y = /( x )在 x = x 0附近的平均变化率. ()( 2 / ( 沏)与 伏 ＞ 0)了表示的意义相同. ( )( 3 )曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )( 4 )与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( )( 5 )函数, /( x )= si n( —x )的 导 数 是 ( x )= c osx . ( )2考点自测1 .( 教材改编)若府)= x e , ，则 / ⑴等于( )A . 0 B . e C . 2 e D . e22 . 如图所示为函数y = 7 ( x ), y = g ( x )的导函数的图象， 那么y = /U )， y = g ( x )的图象可能是( )3 . ( 2 016 •襄阳模拟)函数/( x )= e ' c osx 的图象在点( 0, m )))处的切线的倾斜角为()兀 兀A . 0 B ] C . 1 D . j 4 . 设函数Kr)在(0, +8) 内可导，且He")=x+e”, 则，(1)=.5 . 曲线y = —5e*+3在点(0, —2)处 的 切 线 方 程 是 .题型分类深度剖析题型一导数的计算例 1求下列函数的导数.(l)y=x2sin x；(2)y=ln x + *， - 、 cosx(3 )y= ~ ^.思维升华 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.跟踪训练 1 (iy(x)=x(2 0 16 + lnx),若， ( 向 )=2 0 1 7 ,则沏等于( )A. e2 B. 1C. In 2 D. e(2)若函数/(x)=a/+ 云 2+c 满足/(1 )= 2 ,则/( 一1)等于( )A. -1 B. - 2C. 2 D. 0题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例 2 (1)(2016•全国丙卷)已知凡r)为偶函数，当 x < 0 时， /(x)=ln(—x )+ 3 x ,则曲线y=/(x)在点(1, 一3)处 的 切 线 方 程 是 .(2)已知函数式x )= x ln x ,若直线/过点(0, - 1 ) , 并且与曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为( )A. x+ y—1=0 B. x—y— 1 =0C. x + y + 1 =0 D. x—y + \ =0命题点2求参数的值例 3 (1)(2016•泉州模拟)函数 > = 己1的 切 线 方 程 为 则 m=.1 7(2)已知,/(x)=ln x, 8(%)=产+ 如+ ] ( 〃? <0 ) ,直线/与函数八江g(x)的图象都相切，与/(x)图 象的切点为（ 1, 则机等于（）A . —1 B . —3C . - 4 D . - 2命题点3 导数与函数图象的关系例 4 如图，点 A （ 2 , l ） , 8 （ 3 , 0） , E （ x , 0） （ x 2 0） ,过点E作 0 8的垂线/ . 记△ A OB 在直线/左侧部分的面积为S,则函数S =/ （ x） 的图象为下图中的（）思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：⑴已知切点A （ xo , 人的） ） 求斜率&,即求该点处的导数值：k = f （ 必） .（ 2 ） 已知斜率您 求切点A8,其乃） ） , 即解方程/ ' （ xi ） =k .[yi — y（ xi ） ,（ 3 ） 若求过点P（ x°, 光） 的切线方程，可设切点为（ 两， %） ,由£ , 求解即可.Iv o （ X1 ） （ XO- X| ）（ 4 ） 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢. 1跟踪训练2 （ 1 ） （ 2 0 1 7 •郑州月考） 已知曲线y = 亍—3 1 n % 的一条切线的斜率为主则切点的横坐标为（）A . 3 B. 2C . 1 D . g（ 2 ） （ 2 0 1 6•昆明模拟） 设曲线 > = 在 手 在 点 谭 ，1 ） 处的切线与直线x—4 y + l = 0 平行，则实数Mi l l 人 * 乙。
等于（） A. —1 B.zC. - 2 D. 2现场纠错系列3 . 求曲线的切线方程典例 若存在过点 (0,0)的直线/ 与曲线y = Y —3 * + 2 x 和 y = .d + a 都相切，求 ”的值.错解展示翁、遥 劭 〃 ) 在 曲 线 佐 力 叫 也、' 、 ］ 、 (7步加总,V『二制- 例十2 ,、 勺优0 : 2/3 直线1 7 的方程当力必，婚 拜 四 十 人 二 /体欺右A r 4 " " ' 揪仄现场纠错:纠错心得: 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 - ( 1 » ‘( 沏) 或y '仇= 须. . ./(XO+ AA-)-/(XO)蚂 晟2 . r ( % 0 )3 . 0 a xa ' c o sx - s i nx ex / In a - - r -x A i n a. , . , , f1 ( x) g ( x) —/ ( x) g ' ( x)4 . ( 1 / ( x) 土 g ' ( x) ( 2 ) f ( x) g ( x) + _A x) g ' ( x) ( 3』 i；( 油思考辨析( 1 ) X ( 2 ) X ( 3 ) J ( 4 ) X ( 5) X考点自测1 . C 2 . D 3 . B 4 . 2 5. 5x+ y+ 2 =0题型分类深度剖析例 1 ( l ) _y' =2 xs i n X+J C2COS X⑵, s i n x+ c o s x⑶ y = --? ―跟踪训练1 ( 1 ) B ( 2 ) B例 2 ( l ) 2 x+ y+ l =0 ( 2 ) B解 析 ( 1 ) 设 x > 0 , 则一x < 0 , 五 - x) =l n x- 3 x, 又_/ ( x) 为偶函数， / ( x) =l n x—3 x, ， ( x) =( 一3 , f ( 1 ) =-2,切线方程为 y = - 2 x —1 , 即 2 v + y+ l =0 .( 2 ) . . ,点( 0 , — 1 ) 不在曲线« r ) =x1 n x 上，.••设切点为( x ( ) , y o ) .又•"( x) =l + l n x,.yo =x( ) l n 沏，1 加 + 1 =( 1 + In 沏 ) 区 0 ，解得沏 = 1 , 刈 = 0 .・・・切点为( 1 , 0 ) , "⑴=l + l n l = l .・,•直线/ 的方程为y = x -1 , 即x—y—1 =0 . 故选B.例 3 ( l ) e ( 2 ) D [( 1 ) 设切点坐标为P( xo , 先) ，由< =eJ, 得 y' |x=M)=ex( ),从而切线方程为y—exo= eAo(x-Ao),又切线过定点(0,0),从而一e% o= c%o(一沏)，解得沏= 1 ,则m=e.(2) •. 了 Q )=《直线/ 的斜率《 = / (1)=1.又贡1)=0, . ♦ . 切线/ 的方程为y = x - l.g' (x)=x+m,设直线/ 与g(x)的图象的切点为( 无0，V)),则有 沏+ 机= 1，% = 沏 —1，州 =］ 岩 + 刖 +2，w<0,于是解得根= - 2. 故选D.］例4 D ［ 函数的定义域为［ 0, + 8),当x e ［ 0,2］时，在单位长度变化量A x内面积变化量AS大于0且越来越大，即斜率/ (x)在［ 0,2］内大于0且越来越大，因此，函数S=/(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当xG (2,3)时， 在单位长度变化量A r内面积变化量AS大于0且越来越小， 即斜率/ ' (x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S=/(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当xG ［ 3, +8)时，在单位长度变化量A x内面积变化量△$ 为0 ,即斜率［(x)在［ 3, + 8)内为常数0 ,此时，函数图象为平行于x轴的射线.］跟踪训练2 (1)A (2)A现场纠错系列现场纠错解 易知点。
(0,0)在曲线+ 2 r上.⑴ 当0(0,0)是切点时，由 y' =3X2- 6X+ 2 ,得 y' h=o=2,即直线/的斜率为2 ,故直线/的方程为y=2x.iy=2x,由 | 2 得 f —2x+a=0,［y=x^+a,依题意/ = 4 —4 n = 0 ,得 a = l.⑵ 当0(0,0)不是切点时， 设直线/与曲线y = f —3 f+ 2 x相切于点尸(xo,比) ， 则为 = 高一3君+2x( ), /= ) 」|x=jc( )=3x -6x( )+ 2 ,①又 上 = * = / -3xo+2 ,② 舍去） ,3-2-即得联立①②,1-4故 直 线 /的 方 程 为y = -% .由卜 子 得/ + % + ”=0,依题意，/ = 氏 一4 =0 ,得 “ =土.综上， =1或纠 错 心 得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况. § 3 . 2导数的应用基础知识自主学习n知识梳理- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -i .函数的单调性在某个区间3,切内，如 果 /(X)0,那么函数y = /U )在这个区间内单调递增；如果f (x)0,那么函数y = /( x )在这个区间内单调递减.2 .函数的极值( 1)一般地，求函数y = /( x )的极值的方法解方程/ ( x ) = 0 ，当/ ( 沏) =0时：① 如 果 在 期 附 近 的 左 侧 ,右侧,那么y uo )是极大值；② 如 果 在 沏 附 近 的 左 侧 ,右侧,那么大沏) 是极小值.( 2 )求可导函数极值的步骤：①求，( X ) ;②求方程 的根；③考察/ ( x )在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号. 如果左正右负，那 么 " )在 这 个 根 处 取 得 ;如果左负右正，那么Xx )在 这 个 根 处 取 得 .3 .函数的最值( 1)在闭区间［ Q,句上连续的函数人x )在。
b］上必有最大值与最小值.( 2 )若函数, /( x )在［ a , b］上单调递增，则 为函数的最小值，为函数的最大值:若函数_ /( x )在［ Q , b］上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最小值.( 3 )设函数心) 在口，切上连续，在3,力内可导，求於) 在［ a , b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y = 段) 在( “ ，6 )内的；②将函数y = /( x )的各 与 处的函数值人/， . 人6 )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【 知识拓展】1 .在某区间内/' ( x ) > 0 ( /‘( x ) < 0 )是函数7( x )在此区间上为增( 减) 函数的充分不必要条件.2 . 可导函数1 x )在5 ， 6 )上是增( 减) 函数的充要条件是对V x d ( a " ) ,都有/ ( x )》0 ( /( x ) W 0 )且/' ( x )在( a , b)上的任何子区间内都不恒为零. 3 .对于可导函数« r) , ， ( 向) = 0是函数火x ) 在 x = x o 处有极值的必要不充分条件.【 思考辨析】判断下列结论是否正确( 请在括号中打“ J ”或 “ X ”)( 1) 若函数/U ) 在3,加内单调递增，那么一定有/' ( x ) > 0 . ( )( 2 ) 如果函数火x ) 在某个区间内恒有/ ( x ) = 0 , 则段) 在此区间内没有单调性.( )( 3 ) 函数的极大值不一定比极小值大. ( )( 4 ) 对可导函数负x ) , / ( 沏) = 0是 x o 点为极值点的充要条件.( )( 5) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值. ()( 6 ) 三次函数在R上必有极大值和极小值.( )2考点自测1 .( 教材改编求x ) = f —6f 的单调递减区间为( )A . ( 0 , 4 ) B . ( 0 , 2 )C . ( 4 , +8)D . ( 一8 , 0 )2 .如图是函数y = /( x ) 的导函数) ' = / ( x ) 的图象，则下面判断正确的是( )A.在区间( 一2 , 1) 上 是 增 函 数B.在区间( 1, 3 ) 上式x ) 是减函数C.在区间( 4 , 5) 上兀v ) 是增函数D.当x=2时， 4 X ) 取到极小值3 .已知定义在实数集R 上的函数火x ) 满足火1) = 3,且 段 ) 的 导 数 / ( x ) 在 R 上恒有/ ( x ) < 2 ( x e R ) , 则不等式兀v ) < 2 r+ l 的 解 集 为 ( )A . ( 1, +8)B . ( - 8 , - 1)C . ( - 1, 1) D . ( 一 8 , - 1) U ( 1, + 8 )4.函数/( x ) = x —I n x 的单调递减区间为( )A . ( 0 , 1) B . ( 0 , + 8 )C . ( 1, +8)D . ( - 8 , 0 ) U ( l , + o o )5 . 设 “ 6R,若函数y = e ' + 以有大于零的极值点，则实数〃的 取 值 范 围 是 .题型分类深度剖析 第1课时 导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例 1 (1) 函数y = 5 2 —inx 的单调递减区间为()A. (- 1, 1) B, (0, 1)C. (1, + ° ° ) D . (0, + 8 )⑵已知定义在区间(一兀 ，兀 ) 上 的 函 数 火 x ) = x s in x + co s x,则火x ) 的单调递增区间是思 维 升 华 确定函数单调区间的步歌(1) 确定函数人1) 的定义域；(2) 求/' (x ) ：(3) 解不等式， (x ) > 0, 解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4) 解不等式/ (x ) < 0, 解集在定义域内的部分为单调递减区间.跟踪训练1 (1) 函数y = 4 f + ： 的 单 调 增 区 间 为 ()A. (0> + ° ° ) B . & + 8 )C. (- 8 , — 1) D .(- 8 ,⑵已知函数< x ) = x lnx , 贝 1 」 加) ( )A . 在(0, + 8 ) 上递增 B . 在(0, + 8 ) 上递减C . 在(0, 3 上递增 D. 在(0, 3 上递减题型二含参数的函数的单调性例 2已知函数_ /^ ) = &3+ /+ 以 + 1(〃611) , 求函数« r ) 的单调区间.思 维 升 华 (1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2) 划分函数的单调区间时， 要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为0 的点和函数的间断点.(3) 个别导数为0 的点不影响所在区间的单调性， 如式(x ) = 0在 x = 0时取到) ， 火 x ) 在 R上是增函数.跟踪训练2讨论函数< x ) = (a —l) lnx + a x 2+ l的单调性.题型三已知函数单调性求参数例 3 (2016・ 西安模拟) 已知函数式x ) = lnx , ^ (x ) =^a x2+ 2 x ( a0) .(1) 若函数/J(X) = /(X) —g (x ) 存在单调递减区间，求a的取值范围；(2) 若函数/? (x ) = /U ) —g (x ) 在［ 1, 4］ 上单调递减，求a的取值范围. 引申探究1 .本例(2)中，若函数〃 (x )= 於 ) 一g (x )在［ 1, 4］上单调递增，求 ”的取值范围.2 .本例(2)中，若/7(x )在［ 1, 4］上存在单调递减区间，求a的取值范围.思 维 升 华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：) ， = /(x )在(a ,切上单调，则区间(a ,力是相应单调区间的子集.(2) /(x )为 增 函 数 的 充 要 条 件 是 对 任 意 的 切 都 有 ，(x )》。
且在(a , ) 内的任一非空子区间上r (x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. 跟踪训练3已知函数#x ) = e * lnx —a e "(a £ R ) .(1)若4 0在点(1, #1) )处的切线与直线＞= %+1垂直，求a的值；(2)若其x )在(0, + 8 ) 上是单调函数，求实数〃的取值范围.思想与方法系列5 .用分类讨论思想研究函数的单调性典 例(12分) 已知函数1/(x ) = ln x , g (x ) = J(x ) + a x1+ b x ,其中函数g (x )的图象在点(1, g (l) )处的切线平行于x轴.⑴确定a与匕的关系；(2)若a》0 ,试讨论函数g (x )的单调性.思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程/' (x ) = 0是否有根；②若/' (x ) = 0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.规范解答： 答案精析基础知识自主学习知识梳理1. > <2. ( 1 )0 (x ) > 0 f (x ) < 0 ®f (x ) < 0/ (x ) > 0 (2 ) ® f (x ) = 0 (x ) = 0极 大 值 极 小 值3. (2加㈤ f i b ) % ) f ib )(3)① 极 值 ② 极 值 端 点思考辨析(1) X (2) 7 (3) 7 (4) X (5) 7 (6) X考点自测I . A 2.C 3.A 4.A 5.( — 8,- ])题型分类深度剖析第1课时导数与函数的单调性例 1 (1) B (2) (一兀 ，_4和(0 ,,解 析(l) y = 1x2—I n x ,(%— i) a + 1 )X(x > 0) .令 y ' <0 ,得 0< r < l,，单调递减区间为(0』 ) .(2 ) f (x ) = s inx + x co s x —s in%= x co s x .令 / (x ) = x co s x > 0,则其在区间( 一兀，兀 ) 上的解集为( 一兀，一( ) 和(o , 9 ，即於) 的单调递增区间为( 一兀 ，一分和(0,跟踪训练 1 (1) B (2) D [ ⑴由 y=4 f+： ,得 V = 8 x —+ , 令 y > 0 , 即 8 x —，> 0 , 解得 x > g ,...函数y = 4 W + ： 的单调增区间为Q, +8)故选B.(2) 因为函数< x) = xl n x,定义域为( 0 , +°°) ,所以( x) = l n x+l ( x> 0 ) ,当/ ( x) > 0 时，解 得 壮 ，即函数的单调递增区间为《，+ 8 )；当/ ( x) < 0 时，解得即函数的单调递减区间为( 0 ,： ) , 故选D J例 2 解 f。
) = 、 2 +2 1+〃开口 向上，/ = 4 -4 〃= 4 ( 1-a ) .① 当 1—即时， ， ( x) 20恒成立，大幻在 R 上单调递增.②当 1—4 > 0 ,即 < 1 时，令/ "( 尤) = 0, 解得 X ] = 2 J ( 1 " ) = _ ] _ 4 1 —a ,刀 2 = -1 +[ 1 - a ,令 f ( x) > 0 , 解得 xv — 1 -7] - a 或 x > — 1 +y j 1 —a ；令/ ( x) < 0 ，解得一l - y i _ a所以«¥) 的单调递增区间为( 一8, 一 1 —q 1—〃 ) 和( —1 + q 1 — +°°) ；7U) 的单调递减区间为( 一1一 后 手 ，一1 + 4工) ・综上所述：当 〃 时 ， 人 工 ) 在 R 上单调递增；当 < 1 时， 於) 的单调递增区间为( 一8, 一1一 / 三 ) 和 ( ― 1+后 工 ，+8) ,负力的单调递减区间为( 一1 — y /l—a , —1+ 4 1 — ) .跟踪训练2 解“0 的定义域为( 0 , +8) ,. a — 1 , 2 a jc +a — 1f a尸丁+ 2 奴=-- —.①当时，f ( x) > 0 ,故段) 在( 0 , + 8 )上单调递增；②当。
<0时， / ( x) < 0 ,故府) 在( 0 , + 8 ) 上单调递减；③当 0 < ” 1 时，令 / ( x) = 0 ,解得 x = y j ? ,则当 XG (O , 亍 )时，f ( x) < 0 :当xC ( 7W，+ 8 )时， / ( x) > 0 ,故 _ / ( x) 在( 0 , y/ 一 ) 上单调递减，在(\ 1笆，+° ° )上单调递增.例 3 解( l ) / ? ( x) = l n x一呼a 2 一”，%e ( 0 , +0 0 ) , 所以"a ) = f —4 X —2,由于力( x)在( 0 , + 8 )上存在单调递减区间,1 1 2所以当工e ( 0 , + 8 )时，嚏-a r—2 < 0有解，即 > :一最 有解.设 G a)=J_g所以只要〃 >G( X ) mi n即可.］ 0而 G(X)= (--1 )2- 1 ,所以 G( x)i n i n= - 1 .所以a > —l .( 2 )由人 ) 在［ 1,4 ］上单调递减得，当工E ［ 1,4 ］时，力 '( x) = ： —a r—2<0恒成立，即 心 步 一£恒成立.所以 a 2 Ga ) ma x,而 6 ( %) = 6 —1) 2 —1,因为 x C［ l ,4 ］ ,所以-eg 1］ ,7所以G( X ) ma x=一记( 此时工=4 ) ,所 以 心 一心7，即〃的取值范围是7F， +8).引申探究1 .解 由 力( X )在［ 1,4 ］上单调递增得，当x G ［ 1,4 ］时，〃( x) ，0恒成立，1 2. •.当 x G ［ l ,4 ］时，aW?一1恒成立，1 2又当 x G ［ l ,4 ］时，( ？ - pmi n = - l (此时 x= l ) ,...a W - 1,即a的取值范围是( - 8, - I ］ ,2.解/ i ( x)在［ 1,4 ］上存在单调递减区间，贝( x) < 0在［ 1,4 ］上有解，1 2. ,.当x e ［ L4 ］时，” > ? 一 《 有解，1 ?又当 x d ［ 1,4 ］时，( ？ 一 ？mi n = - l ， * * * a>—I f即〃的取值范围是( 一1, + ° ° ) .跟踪训练 3 解( 1» ‘( x) = e ' l n x+e * ，一a +l n x) e ” ,f ( l ) = ( l - a ) e ,由( 1一 " 把 .! = -1 ,得 a = 2 .( 2 )由( 1)知，( x) = © —〃+l n x) e ” ,若人无) 为单调递减函数，则/ a) w o在x > o时恒成立.即1―a + l n x W O在x> 0时恒成立.所以a》p + l n x在x > 0时恒成立.令 g ( x) = :+l n x( x> 0 ) ,则 g ' ( x ) = - ± + ； = ^ i \ x> 0 ) ,由 g ' ( x) > 0 ,得 x> l ；由 g ' ( x) < 0 ,得 0 < x< l .故g ( x)在( 0 ,1)上为单调递减函数，在( 1, + 8 )上为单调递增函数，此时g ( x)的最小值为g ( l )=1 ,但g ( x)无最大值( 且无趋近值) .故7U)不可能是单调递减函数.若八X )为单调递增函数，则/ ( x) 2 0在x > 0时恒成立，即： 一a +l n x》O在x > 0时恒成立，所以在x > 0时恒成立，由上述推理可知此时aWl.故实数〃的取值范围是( - 8 , 1] .思想与方法系列典 例 解( 1)依题意得g ( x) = l n x+a ? +/ > x,则 g ' ( x) = ： +2 a r+4 [ 2 分 ]由函数g ( x)的图象在点( 1, g ( l ) )处的切线平行于x轴得g ' ( l ) = l +2 a +b = 0 ,:・ b= - 2a— 1 .[ 4 分 ],/ 日 . 2加 一( 2 〃+l ) x+1( 2 )由( 1)得 屋 。
) = - - - - -~ - -( 2 a r—l ) ( x— 1)x *: 函数g ( x)的定义域为( 0 , +° ° ) , x—1，当〃=0 时，g ' (x)=由 g' (x)> 0,得 0<尤< 1 , 由 g' (x)< 0,得 x>l, ［ 6 分］当 a>0 时，令 g' (x)=O,得x = l 或x = £ ，［ 7 分］若, 即a>1,由 g' (x)> 0,得 x>l 或 0 1 ,即由 g' (x)> 0,得 x > /或 0
的取值范围是()A . (2 , ') B . [ 2 , 1 ) C . (2 , - y ) D . [ 2 ,竽)思 维 升 华 (1 )求函数以x )极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数r ⑶ ；③解方程f (x )= 0, 求出函数定义域内的所有根；④列表检脸/ (x )在/)= 0 的根须)左右两侧值的符号，如果左正右负，那么外打在即处取极大值，如果左负右正，那 么 在 沏 处 取 极 小 值 .⑵ 若函数y = /(x )在区间Q 力内有极值，那么)， = 於)在( ，与内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.跟踪训练1 ⑴函数兀0 = * —1 y + 2 的极值点是()A . x = l B . x = -1C . x = l 或一 1 或 0 D . x = 0(2 )函数y = 2 x —5的极大值是.题 型 二 用导数求函数的最值例 4 已知 a ER,函数y (x )= f + l n x —1 .⑴ 当 =1 时，求曲线y = /(x )在点(2 , 五2 ))处的切线方程；⑵求7U )在区间(0, e ] 上的最小值.思 维 升 华 求函数兀0在口，b ] 上的最大值和最小值的步滕(1 )求函数在①，加内的极值；(2 )求函数在区间端点的函数值J 3), 人勿；(3)将函数於)的极值与人。
)， 人匕)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2跟踪训练2 设 函 数 /)= /—5一2 犬+ 5 ,若 对 任 意 的 1 , 2 ] , 都有/U )> 4 , 则实数a 的取值范围是.题 型 三 函数极值和最值的综合问题例 5 已知函数负x ) = - —(e O)的导函数y = / (x )的两个零点为一3 和 0.(1 )求人x )的单调区间； (2 )若/(x )的极小值为一e 3, 求人x )在区间［ -5 , + 8 ) 上的最大值.思 维 升 华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的. 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.跟踪训练3若函数4 》 )= 3 3 +¥一］ 在区间3, 〃+ 5 )上存在最小值，则实数的取值范围是( )A . ［ - 5 , 0) B . (- 5 , 0)C . ［ - 3, 0) D . (- 3, 0)答题模板系列3 . 利用导数求函数的最值典 例 (1 2 分)已知函数/(x )= l n x —ax (“ W R ).⑴求函数7U )的单调区间：⑵ 当 a> 0时，求函数yw在［ L2 ］ 上的最小值.思 维 点 拨 (1 )已知函数解析式求单调区间，实质上是求/ (x )> 0, / (x )< 0的解区间，并注意定义域. (2 )先研究| x )在口, 2 ］ 上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论.规范解答解(W ( x ) =1 - a( x > 0 ) ,①当“ W 0时， / ( x ) =5一a > 0 , 即函数_ /( x ) 的单调递增区间为( 0 ,+ 8 ).2 分］②当” > 0 时，令， ( x ) =［ —a = 0, 可得x = 1, , 1 , 1 —a x当 0 4 工 时， / ( x ) =—> 0 ;, 1 . 7 1当 X9 时，f «= — ^<0 ,故函数_ /U) 的单调递增区间为( o , 5) ,单调递减区间为9 + 8 )［ 4分］综上可知，当a W O时，函数;( x ) 的单调递增区间为( 0 , + 8 )；当a> 0 时，函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ( 0 , 5 ) , 单调递减区间为弓，+ 8 )［ 5 分］( 2) ①当即时，函数加0 在区间［ 1 ,2］ 上是减函数，所以火x ) 的最小值是式2) =l n 2一 2a. [ 6 分 ]② 当 % 2 , 即 0 0 , 7( x ) 为( 一8 , + 8 )上的增函数，所以函数人x ) 无极值.②当 ” > 0 时，令 / ( x ) =0 ,得 e*=a,即 x =l n a,当 x G ( —8, m a) 时，f ( x ) <0 ;当 x d ( l n a, + 8 )时，f(x) > 0 ,所以兀v ) 在( - 8, I n a) 上单调递减，在( I n a, + 8 )上单调递增，故y ( x ) 在x =l n a 处取得极小值且极小值为y ( l n a) =l n a , 无极大值.综上，当时，函数y ( x ) 无极值；当a> 0 时， /( X ) 在 x =l n 〃处取得极小值I n a,无极大值.例 3 ( 1 ) - 7 ( 2) C解 析 ( 1 ) 由题意得了' ( 》 ) =3 f + 6 利 +6, 则/ + 3。
-b— 1 =0 ,b—6 a+3 =0 ,\a=\, \a=2,解 得 ， 、或 ， c[b=3 [b=9,经检验当a=l , 6= 3时，函数y ( x ) 在x = -1 处无法取得极值，而 =2, 6= 9 满足题意，故a~h= - 7.( 2) 若函数/( x ) 在区间( ； ，3 ) 上无极值，则当 X © ( 2，3 ) 时，f' ( x ) = X2—a v + 1 》0 恒成立或当 x C ( £, 3 ) 时，f ( x ) =x2—ar +l WO 恒成立. 当x W( g , 3 ) 时，y = x + q 的值域是［ 2, y ) ；当 3 ) 时，f ( x ) =f—ar +l ' O ,即 a W x + ： 恒成立，a W 2 ；当 x W( T，3 ) 时 ,f ( x ) =f—ax +l W0 ,即恒成立，4 2 号.因此要使函数1 x ) 在弓，3 ) 上有极值点，实数a 的取值范围是( 2, y ) .跟踪训练1 ( 1 ) C ( 2) - 3解 析 ( 1 ) ；/ 0= / —27+3 ,. ,. 由/ ( x ) =4 x3—4 x =4 x ( x +1 ) ( % — 1 ) =0 ,得 x =( ) 或 x =l 或 x = -1 .又当 x <- l 时，f ( x ) <0 ,当一l 0 .当 0 。
< 1 时， / ( x ) <0 ,当 x > l 时， / ( x ) > 0 ,，x =o ,i , - 1 都是y ( x ) 的极值点.2( 2) y ' = 2 + p, 令 y ' = 0, 得 x = -1 .当 x <—1 或 x > 0 时，y ' > 0 ；当一 1 <% <0 时，y ' <0 .. •. 当x = -1 时，y取极大值一3 .例 4 解( 1 ) 当 a=l 时， /U) =： +l n x —1 , x G ( 0 , +8) ,所 以 / ( x ) = -4+ ; = ^ p^ ，x d ( 0 , +8) .因此/ ( 2) =1 ,即曲线y =/( x ) 在点( 2,式2) ) 处的切线斜率为点又 旭 ) =l n 2 T所以曲线产 本 ) 在点( 2,次 2) ) 处的切线方程为y - ( l n 2- 1 ) =1 ( A — 2) ,即x - 4 y +4 1 n 2- 4 =0 .( 2) 因为1 x ) =： +l n x - l , 所以r ( x ) = - ? + ； = ^ #, x G ( O , e］ .令/' ( x ) =0 ,得 x =a.①若a W O, 则 / ( x ) > 0 , /U) 在区间( 0 , e］ 上单调递增，此时函数人x ) 无最小值.② 若 0 0 ,函数_ /U) 在区间3 , e］ 上单调递增，所以当x= a 时，函 数 取 得 最 小 值 I n a③若a》e , 则当x G ( 0 , e］ 时， ， ( x ) WO ,函数/( x ) 在区间( 0 , e］ 上单调递减，所以当x= e 时，函数人x ) 取得最小值(综上可知，当。
W 0时，函数. /( X ) 在区间( 0 , e］ 上无最小值；当0 0 ,所以( x ) 的零点就是g ( x ) = -a ^ + Qa —〃) x +的零点且/( X ) 与 g ( x ) 符号相同.又因为a> 0 ,所以当一3 4 < 0 时，g a) > 0 ,即/ a) > 0 ,当 x v —3 或心 > 0 时，g ( % ) <0 ,即 f ( x ) <0 ,所以7U) 的单调增区间是( 一3 ,0 ) ,单调减区间是( 一8, - 3 ) , ( 0 , +8) .( 2) 由⑴ 知 ,工=一3是1 X ) 的极小值点，所以有’ 9a- 3 〃+c 3- 3 e »eg ( 0 ) =6 —c =0 ,
=1 , b = 5, c = 5,所以y u ) =X2+5X+5因为人 犬 ) 的单调递增区间是( 一3 ,0 ) ,单调递减区间是( 一8, - 3 ) , ( 0 , +8) , 所以犬0 ) = 5 为函数式 尤 ) 的极大值，故犬x ) 在区间［ —5, + 8 )上的最大值取人- 5) 和川) ) 中的最大者， 而5) =邕 ?=5/> 5=/( 0 ) ,所以函数人x ) 在区间［ —5, + 8 )上的最大值是5e5.跟踪训练3 C ［ 由题意，得/ ( x ) =f+2x =x ( x +2) ,故式x ) 在( - 8, - 2) , ( 0 ,+ 8 )上是增函数，在( - 2,0 ) 上是减函数，作出其图象如图所示，2-3十』—土 一 |得x= 0或x= -3, 则结合图象可知,一 3 W “ V0 , + 5> ，解 得 问 一 3 , ) . ］ 第 3 课时 导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设人x)是定义在R上的奇函数，1 2 ) = 0 ,当x>0时，有史恒成立，则不等式x2/5 )〉 的 解 集 是 ( )A. (-2 ,0 )U(2, + 8)B. (-2 ,0 )U(0,2)C. ( - 8 , -2 )U (2, + 8)D. (—8 , -2)U(0,2)命题点2证明不等式例2 (2016•全国丙卷) 设函数_ /(x)= ln x-x+ l.(1)讨论4 0的单调性；x- 1(2)证明：当 xG (l, + 8 ) 时，IV jjK X命题点3不等式恒成立或有解问题例3已知函数1 x )= L普 .(1)若函数於) 在区间3 , 上存在极值，求正实数。
的取值范围；(2)如 果 当 时 ，不等式式x )2备 恒 成 立 ，求实数％的取值范围.引申探究k本例(2)中若改为：存在即6口，e ] ,使不等式危)2干 成 立 ，求实数％的取值范围.思 维 升 华(1)利用导数解不等式的思路已知一个含/ (x)的不等式，可得到和犬x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式.(2)利用导数证明不等式的方法证明人x)
=1时，求二劝的单调区间;( 2 ) 若函数/ ( x ) 在区间( 0 , ； ) 上无零点，求 的最小值.思 维 升 华 利用导数研究方程的根( 函数的零点) 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题. 可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.跟踪训练2 ( 2 0 1 6•郑州模拟) 定义在R上的奇函数y = / ( x ) 满足大3 ) = 0 , 且不等式兀r ) > —灯，( x )在( 0 , + 8 ) 上恒成立，则函数8 @ ) = 求 助 + 怆 , + 1 |的零点个数为( )A . 4 B . 3C . 2 D . 1题型三利用导数研究生活中的优化问题例 5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y ( 单位：千克) 与销售价格M单位：元/ 千克) 满足关系式丫= 言+ 1 0 一6尸 ，其中3 a < 6, a为常数. 已知销售价格为5 元/千克时，每日可售出该商品1 1 千克.⑴ 求 a的值；( 2 ) 若该商品的成本为3元/ 千克， 试确定销售价格x的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思 维 升 华 利用导数解决生活中的优化问题的四个步豚( 1 ) 分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y = J(x ) .( 2 ) 求函数的导数/ ( x ) , 解方程/ ' ( x ) = 0 .( 3 ) 比较函数在区间端点和使r a ) = o 的点的函数值的大小，最大( 小) 者为最大( 小) 值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点.( 4) 回归实际问题作答.跟踪训练3某品牌电动汽车的耗电量y 与速度X之间有关系y = % 3 一 墨 2—4 0 M Q 0 ) , 为使耗电量最小，则 速 度 应 定 为 . 审题路线图系列一审条件挖隐含典 例( 12 分) 设,/ ( x ) =W+ x l n x , g ( x ) =f —3.( 1)如果存在用，必 £ 。
2］使得8 (汨) 一8 (必) 》“ 成立，求满足上述条件的最大整数M ；⑵如果对于任意的s , / 丘七，2］ ，都有凡s )》g ⑺成立，求实数”的取值范围.( 1)存在 x \, X 2e [0,2]使得 g ( x i ) —g ( X 2) 2M1(正确理 解 “ 存在”的含义)[g ( X l ) —g ( X 2) ] m a x NMI挖掘[g ( X ] ) —g ( X 2) ] m a x的隐含实质g ( X ) m a x — g ( X ) m i n N MI求得M的最大整数值( 2)对任意s,卢旅，2]都有麻) 》g ⑺1(理 解 “ 任意”的含义)7 ( X ) m i n 2 g C Om a xi 求得 g ( X ) m a x = 1E + x l n x ，l恒成立I分离参数aa ^ x —^in x恒成立l求/ i ( x ) =x —x2l n x的最大值心 〃 (X ) m a x = 〃( l ) =lII J规范解答解( 1)存在的，仞£ [0,2]使得 g ( X ] ) —g ( X 2) 2M 成立，等价于[g ( X l ) -g ( X 2) ] m a x 2M. [2 分 ]由 ^ W = x3—X2—3,0 2得 g ' (X) =3JT—2 x = 3x ( x —.2令 g' (x)>。
, 得 x<0 或 x> j9 又 xe［ 0,2］ ,2所以g ( x )在区间［ 0 ,定上单调递减，在区间修，2］上单调递增,所以 g ( X ) m i n = g ( |) = 一符，g ( X ) m a x = g ( 2) = 1 .112故这 ( 工1) — g ( X 2) ］ m a x - g ( x ) m a x — g ( x ) m i n —则满足条件的最大整数M = 4 .［ 5分］( 2)对于任意的S , 2］ ,都有1 S )》g ⑺成立， 等价于在区间成，2］上， 函数火X ) m i n》g ( X ) m a *」7分］由( 1)可知在区间［ ； ,2］上，g ( x )的最大值为g ( 2) =l .在区间［ ； , 2 ］上，/ ( x ) =， + x l n 恒 成 立 等 价 于f］ n x恒成立.设 〃 (x ) =x —Wl n x , ( x ) =l - 2x l n x -x ,可知〃'( x )在区间g， 2］上是减函数， 又 / ? ' ( 1) =0,所以当 1c x < 2 时，h ' ( x ) < 0；当34yl 时，/ ? ' ( x ) > 0. ［ 10 分］即函数/ z( X ) =X -f ］ nx在区间g , 1)上单调递增，在区间( 1,2)上单调递减，所以〃( X ) m a x = 〃( D所 以 即 实 数 。
的取值范围是［ 1, + 8 ) . 口2分］ 答案精析例 1 D 「 . •当 x > 0 时，图 ]'< 0,9 ( x ) = 孽 为 减函数，又夕( 2) =0, . . . 当且仅当0< x < 2时，p ( x ) > 0,此时攻戏> ( ) .又7W 为奇函数，二 〃 ( x Lx / x ) 也为奇函数.故 *x ) > 0 的解集为( 一8 , -2) U ( 0,2) . ]例 2⑴解 由题设， 兀r ) 的定义域为( 0, + 8 ) , / ( x ) =： —l , 令/ ( % ) =0,解得x =l .当0< x < l 时，f ( x ) > 0, _ / U ) 单调递增；当x > l 时，f ( x ) < 0,/)单调递减.( 2) 证 明 由( 1) 知， _ / ( x ) 在 x= l处取得最大值，最大值为式1) =0.所以当xW l时，l n x < x —1 .故当x £ ( l , +8)时，In x 0,段) 单调递增;当x G ( l , +8)时， / (x) < 0,应0 单调递减.所以X= 1 为极大值点，所以故 g a < l ,即实数a的取值范围为( ； ，1) .. \, , a + i ) a + i n x ) i _ 上 、( 2) 当xN l时，kW x 恒成立，( x + l ) ( l + l n x )令 g ( x ) =------： ------， 则 g' ( x ) =( 1 + l n x+1 +， 一 ( x + 1) ( 1 + l n x )% —In x—再令/ i ( x ) =x —In x,则( x ) =l —： 2O,所以/ i ( x )》/ ? (l ) = l ,所以 g ' ( x ) > 0,所以g ( x )为单调增函数，所以 g ( x )》g ( l ) =2,故上< 2. 所以实数上的取值范围是( -8 , 2] .引申探究. _ . . ( x + 1) ( 1 + l n x ) .解 当e ]时，k^~-----------2有解，人 ( x + 1) ( 1 + l nx ) . . . “门 = 乙令 以防二1----------- 由例3( 2)解题知，g ( x )为单调增函数，2, , g ( x ) m a x —g ( e ) —2 +e ,“ W 2 +S2 ，即实数R的取值范围是( 一8 , 2+ ;2] .跟踪训练1解( 1)当。
= 一1时，y( x ) =x2l n x + x2— 1, f (x ) = 2 x \n x +3 x .则曲线# x )在点a , yo) )处的切线的斜率为/( 1) =3.又人1 ) = 0 ,所以切线方程为3x -y—3=0.(2 ) f ( x ) =2x l n x + ( l —2t z) x =x ( 21n x + 1 ~ 2 a ) ,其中 x 21.当a W 3时，因为所以/ ( x ) 20.所以函数式x )在[1, +8)上单调递增.故 _ / U )至/ ( 1) =0.当时，令/ '( X ) = O ,得》 = “ ' 一 爹 .若 x d 口，e a —, 则 / ( x ) < 0,所以函数式x )在[1, e a —%上单调递减，所以当x G [l , e a —； )时， Kx)《/ (1)= O ,不符合题意.综上，”的取值范围是( 一8 , 1j.例4解(1)当” = 1时，J(x)=x—}—21nxf2则 / ( x ) =l -定义域为 x e(O, + °°).由，(x)> 0 ,得 x > 2 ,由，(x)<0,得 0<^<2.故./U)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2, + 8).(2)/(x)= (2—a)(x— 1)—21n x,令 m(x) = (2—a)(x— 1), x>0,h(x)=2\nx9 x>0,则兀x)=m(%)—〃(x),①当〃 <2时，加⑴在(0, 3上为减函数，〃(x)在(0, g)上为增函数，若人 工 ) 在( 0 ,；)上无零点,则团©2年 ) ，即(2一〃 ) (>l)221n・・・心2—411)2 ,・ ・ ・2—41n2WaV2,②当a 2 2时，在(0, 3上〃?(x)20,〃(x)<0,， 危)>0, .".fix')在( 0 ,弓 ) 上无零点.由①②得 a22-41n2, .,.amin=2-41n 2.跟踪训练2 B [ 定义在R上的奇函数;(x)满足：式0 )= 0 = /(3 )= 1 -3 ), y(- x)= - / u),当第 >0 时，fix)>—x f (x),即/(x)+灯"(x)>0,/ . [xf(x)]1 > 0 ,即/z(x)=">)在心>0 时是增函数，又 h(—x )= —xj[—x)=xfix),/1@)=祗 ) 是偶函数,. . . 当x<0时，/?(x)是减函数，结合函数的定义域为R,且式0)=式3)=式 -3)=0,可得函数乃= 玳箝与垃 =-lg l-r+ 11的大致图象如图， 由图象可知，函数g(x)=0(x)+lg|x+l|的零点的个数为3.]例5解(1)因为当x = 5时，y = ll,所以5+10=11, a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为2 ,尸£ 7 ^+ 10(X-6 )-.所以商场每日销售该商品所获得的利润为_/U)=。
3)[ 言 + 10(x-6)2]= 2 + 10(A— 3)(X- 6 )2340 时，y' >0.所以当x = 4 0时，y有最小值. 高考中的导数应用问题§ 3 .3 导数与函数的综合问题口考点自测 快速解答自查自纠1 .若函数« r ) 在 R 上可导，且满足兀0 —W ( x ) >0 , 则( )A .浜 1 ) 勺( 3 ) B.浜 1 ) 4 3 )C.欢 1)=m)D . A 1 ) = 7( 3 )2 .若函数式x ) = f c v - l n x 在区间( 1 , + 8 ) 上单调递增，则 A 的取值范围是( )A. ( —8 , —2 ] B . ( —8 , —1 ]C . [ 2 , + 8 ) D. [ 1 , + 8 )3 . ( 2 0 1 6 •安徽江南十校联考) 已知函数负x ) = V 一" 2 + 4 , 若火x ) 的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则 实 数 〃 的 取 值 范 围 为 ( )3A. ( 1 , +° ° ) B . ( ] , +° ° )C . ( 2 , + 8)D . ( 3 , + 8 )4 .已 知 函 数 % ) = o d n x , x e ( 0 , + 8),其中。
为实数， / ( x ) 为次外的导函数，若/ ( 1 ) = 3 ,则a的值为.5 .设函数人¥) = ，观不) = ^ ，对任意两，% 2e( 0 »+ 8),不 等 式 以 尹 鲁 恒 成 立 ，则正数k的 取 值 范 围 是 .题型分类深度剖析题 型 一 利用导数研究函数性质例 1 ( 2 0 1 5•课标全国H ) 已知函数1 / ( x ) = l n x +n ( l —犬 ) .⑴讨论犬x ) 的单调性；( 2 ) 当« r ) 有最大值，且最大值大于2 a —2时，求 的取值范围.思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值. 已知兀0 的单调性，可转化为不等式/ ' ( x ) Z 0 或/ ( x ) W 0 在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析.跟踪训练1已知“ G R , 函数/ ( 》 ) = ( 一如) / (xCR, e 为自然对数的底数) . ( 1 )当4 = 2时，求函数火X)的单调递增区间；( 2 )若函数/ ( X)在 上 单 调 递 增 ，求a的取值范围.题型二利用导数研究方程的根或函数的零点问题例2 ( 2 0 6北京) 设函数兀0 = ] ■—&l n x , Q0 .( 1 )求人x )的单调区间和极值；( 2 )证明：若兀0存在零点，则段) 在区间( 1 ,五] 上仅有一个零点.思维升华 函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程( 或不等式) 组求解，实现形与教的和谐统一.跟踪训练2已知函数3/+依 +2,曲线＞= / &) 在点( 0 , 2 )处的切线与x轴交点的横坐标为- 2 .⑴ 求a ；( 2 )证明：当 上 ＜1时，曲线y = / ( x )与直线)， =H一2只有一个交点.题型三利用导数研究不等式问题例 3 已知兀v ) = x l n x , g ( x ) = —x2+ a r —3 .( 1 )对一切x W( 0 , +8 ) , 4 U) n g ( x )恒成立，求实数a的取值范围；1 2( 2 )证明：对一切x £ ( 0 , +°°) ,都有l n Q 3一最成立.思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解.跟踪训练3已知函数火x )=f-2 /十工+4 , g ( x ) = - 2 v + *若对任意的X| G [ —1 , 2 ] ,存在X2《[2 , 4 ] ,使得y ( X| ) = g ( X2 ) ，则实数”的取值范围是. 答案精析考点自测1 . B 2 . D 3 . D 4 . 3 5 . [ 1 , +° ° )题型分类深度剖析例 1 解( 1 求x ) 的定义域为( 0 , +8 ) , f'若 aW O,则 / ( x ) > 0 , 所以丸力在( 0 , + 8)上单调递增.若 a > 0 , 则当 x e ( 0 , 0时， / ' ( x ) > 0 ; 当 + 8)时， / ( x ) v o . 所以式x ) 在( 0 , 0上单调递增，在弓，+ 8)上单调递减.( 2 ) 由( 1 ) 知，当aW O时， 贝 x ) 在( 0 , + 8 ) 无最大值；当a>0时， y ( x ) 在 x = 5 取得最大值，最大值为! ) = -I n 1 .因此2 等价于 I n a+a— 1 < 0 .令 g ( a ) = l n a + a - 1 ,则 g ( 4 ) 在( 0 , + 8)上单调递增，g ⑴ = 0 .于是，当 0 < “ < 1 时，g ( a ) < 0 ; 当 a > l 时，g ( a ) > 0 .因 此 , “的取值范围是( 0 , 1 ) .跟踪训练1 解( 1 ) 当a=2时， 兀0 = ( —f +2 x ) e * ,所以/ ' ( %) = ( —2 x +2 ) e * +( —x2+2 x ) ev= ( —f +2 ) e " .令/ ( x ) > 0 , 即( 一d +2 ) e ' > 0 ,因为ev> 0 ,所以一/ + 2 > 0 ,解得一巾4 <巾 .所以函数/ U) 的单调递增区间是( 一也，A/2).( 2 ) 因为函数兀v ) 在( - 1 , 1 ) 上单调递增，所以， ( x ) N 0 对都成立.因为/ ( x ) = ( —2 x +a ) e1+ ( — %2+ 4 t r ) ev— [—x2+(a—2)x+a]ex,所以[ - x2+( 。
-2 ) x +a ] e ' 2 0 对 ( —1 , 1 ) 都成立.因为 ev> 0 , 所以- x 2 +( a - 2 ) x +a 2 0 对 x G ( —1 , 1 ) 都成立， 即 心f + 2 xx +1( x +l )2- lx +1 -= ( x + 1 ) - 二 j 对 x d ( —1 , 1 ) 都成立.令 厂 ( x +l ) - 土则 y ' = 1 + 寻T7 > °.所以y = ( x +l ) —*在( - 1 , 1 ) 上单调递增，1 3 3所以产( 1 + 1 ) —# 7=与 即 〃号3因此Q 的取值范围为a 2 不j r2例 2 ( 1 ) 解函数的定义域为( 0 , + 8).由* l n x ( * > 0 ) ,得“ /， ) = * 一k: = 二x~一- k.由/ ' ( 尤) = 0,解得x=# ( 负值舍去) .式 x ) 与/ ' ( x ) 在区间( 0 , + 8)上随x的变化情况如下表：所以， / ( x )的单调递减区间是( 0 ,木 ) ,单调递增区间是2，+8 ).X( 0 , 也)y[k( 灰，+° ° )f ( X )—0+於)女 ( 1 -In 攵 )2/y ( x )在x = 也 处取得极小值, 4 # ：)= 蛆■下此②( 2)证 明 由( 1 )知， / U)在区间( 0 , + 8) 上的最小值为 火 # )= 处 券 ◎ .因为逃x )存在零点，所以 处 券 eW0,从而上》e ,当％=e时， 段)在区间( 1 , 正 ］ 上单调递减且/ ( # )= 0 ,所以冗=正 是 7 U)在区间( 1 , 加 ］ 上的唯一零点.当Qe时， X x )在区间( 0 , 侦)上单调递减且y U)= ］ > 0 , 穴标)= 一厂<°，所以4 》 )在区间( 1 , 上仅有一个零点.综上可知，若凡0 存在零点，则人用在区间( 1 , 上仅有一个零点.跟踪训练 2 ⑴解 / ( x )= 3f - 6 x +a , / ' ( 0 )= 0 .曲线y = / a )在点( 0 , 2)处的切线方程为y=ax+2. 2由题设得一 卜 一2 ,所以4 = 1 .( 2)证 明 由( 1 )知， 应行= / 一3/ +x +2.设 g(x)=fix)—kx+2= j ? —3x ? +( l T )x +4 .由题设知1 —Q O .当 x W O 时，g ' ( x )= 3，- 6 x +l — f c > 0 , g ( x )单调递增,g ( —1 )= %—1 <0 , g ( 0 )= 4 ,所以g ( x )= O 在 ( - 8 , 0 ］ 上有唯一实根.当x > 0 时，令 力 ( 》 )= / 一 3丁 +4 ,则 g(x)= A ( x )+( l — k)x>h(x).力'( x )= 3/ - 6 x = 3x ( x —2), / z ( x )在( 0 , 2)上单调递减，彳所以 g ( x )> 〃( x )2/ z ( 2)= 0 .所以g ( x )= O 在( 0 , + 8 ) 上没有实根.综上，g ( x )= O 在 R上有唯一实根，即曲线y = 7 ( x )与直线y = f c r—2 只有一个交点.例 3 ⑴解 V x G ( O , + 8) ,有2x\nx^—x2+ax-3,则 a W 21 n x +x +( ,+ 8） 上单调递增,, ( x +3)( x —1 )则 “ ( x )J -p 一2,x G ( 0 , l )时 ,h' ( x )<0 , J x )单调递减,x W ( l , + 8) 时，h' ( x )> 0 , 6 ( x )单调递增，所以 〃 ( X )m i n = / 7 ( l ) = 4 .因为对一切x G ( 0 , +° ° ),4 U)》g ( x )恒成立，所以 a W / ? ( X )m i n = 4 .⑵ 证 明 问题等价于证明九 2x l n x > ^ ? —~ ( x €( 0 , +° ° )).© = x l n x ( . r 6 ( 0 , + 8 ))的最小值是一： ，1v 2当且仅当x = " 时取到，设m(x)=-^—~(xG( 0 , + 8 )),m' ( x )= ~ ^ , 易知机( X )m a x = W ( l )= 一丁当且仅当X=1时取到.从而对一切x £ ( 0 , +8 ),1 ?都有l n x > g —最成立.跟踪训练37-4-3-2解 析 问题等价于> u )的值域是g ( x )的值域的子集,显然，g ( x )单调递减，• , g ( x )m a x = g ( 2)= / ,23g ( X )m i n = g ( 4 )=—彳 ；对于« r), / ( x )= 3x2—4 x +l ,令/ ( x )= o ，解得区= 上或工=1 ,当X变化时，f ( X ), 7 U)的变化情况列表如下：, , . / ( X )m a x —。
+ 2, , A ^ )m i n — 一 4 ,X- 1( T， | )134，1 )1( 1 , 2)2f M+0一0+fix)〃 一4递增2 7 + “递减a递增 +2J“ + 2 WT，.[ 5心号3-27-4 ) 第四章三角函数、解三角形§ 4 .1任意角、弧度制及任意角的三角函数基础知识自主学习H知识梳理1 . 角的概念(1)任意角：①定义:角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的;②分类：角 按 旋 转 方 向 分 为 、和.(2)所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，构成的角的集合是S=.⑶象限角： 使角的顶点与________重合， 角的始边与_________________________ 重合， 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.2 . 弧度制(1)定义：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧 度 . 正 角 的 弧 度 数 是 一 个 ,负 角 的 弧 度 数 是 一 个 ,零角的弧度数是⑵角度制和弧度制的互化：180° =r a d , l ° = r a d , 1 rad=.(3)扇形的弧长公式：/=,扇形的面积公式：S==.3 . 任 意 角的三角函数任 意 角 a 的终边与单位圆交于点P(x, y)时，sin a—, cos a—, tan a—________ (x70).三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin a++一一cos a+—一+tan a+一+一 4. 三角函数线如下图，设角a 的终边与单位圆交于点尸 ，过 P 作尸轴，垂 足 为 过 A(1,O)作单位圆的切线与a 的终边或终边的反向延长线相交于点T.【 知识拓展】1 . 三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2 . 任意角的三角函数的定义(推广)设 P(x, y)是角a终边上异于顶点的任一点，其到原点0 的距离为r ,则 sin a = ： , cos a = ] ,ytan Q=:(xW0).【 思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“ J ” 或 “ X ” )(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角 a 的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同. ()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.()(5)若 a G (0 ,3)，贝 ！1 tan a>a>sin a.( )(6)若 a 为第一象限角，则 sin a+cos a>l.( )2考点自测1 . 角一870。
的终边所在的象限是( )A . 第 一 象 限 B . 第二象限 C .第三象限 D .第四象限2 .（ 教材改编） 己知角a的终边与单位圆的交点为M（ ； , y ） ,则 s i n a等于（ ）A.坐B .由C.乎D . 曾3 . （ 2 0 1 6 ・ 潍坊二模） 集合｛ a | E + ： WaWE+T，K Z ｝ 中的角所表示的范围（ 阴影部分） 是（）D4 .已知在半径为1 2 0 mm的圆上，有一段弧长是1 4 4 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为5 .函数y = 》2 c o s x — 1 的定义域为.题型分类深度剖析题型一角及其表示例 1 ⑴ 若 6 （ =忆1 80 +4 5 （ 心 2 ） ,则 在（ ）A.第 一 或 第 三 象 限 B.第一或第二象限C .第 二 或第四象限D .第三或第四象限（ 2 ） 已 知 角 a 的终边在如图所示阴影表示的范围内（ 不包括边界） ，则 角 a用集合可表示为3—45 一O x思 维 升 华 （ 1 ） 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.（ 2 ） 利用终边相同的角的集合S=｛ 夕 磔 = 2 h t + a , k e Z ｝ 判断一个角夕所在的象限时，只需把这个角写成［ 0 , 2 兀 ） 范围内的一个角a与 2 兀的整数倍的和，然后判断角a的象限.跟踪训练1 （ 1 ） 终边在直线y = y ［ 3 x上的角的集合是.（ 2 ） （ 2 0 1 7 •广州调研） 若角，的终边与竽角的终边相同，则在［ 0 , 2 川内终边与号角的终边相同的角的个数为. 题 型二弧度制例 2 (1)(2016•成者F模拟) 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是(2)已知扇形的圆心角是a , 半径是r , 弧长为/ .①若a=100。
，r = 2 , 求扇形的面积；②若扇形的周长为2 0 ,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.思 维 升 华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时， 常转化为二次函数的最值问题， 利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练2 (1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ), 兀 c兀A 口 B6一 兀 c 兀C. - § D. - g(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则 其 圆 心 角 的 弧 度 数 为 ( ), 兀 c兀A6 B-3C. 3 D #题 型 三 三 角函数的概念命题点I三角函数定义的应用例 3 ⑴ (2016・ 广州模拟) 若角9的终边经过点P( 一小，M(mWO)且 sin =拳 ” ,则 cos 0的值为.(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动号弧长到达Q 点，则 点的坐标为( )A©, 半)B.( - 里 ，- 与C . R -乎)D.(一坐 ，£ |命题点2三角函数线例 4 函数y=lg(2sin冗- 1)+ { 1 —2cos x的定义域为.思 维 升 华 ( 1)利用三角函数的定义，已知角a 终边上一点P 的坐标可求a 的三角函数值；已知角a的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三南函数的周期性写出角的范围.跟踪训练3 (1)已知角a 的终边经过点(3。
-9, Q + 2 ) ,且 cosaWO, sin a>0. 则实数4 的取值 范围是( )A. (—2,3] B. (—2,3)C. [—2,3) D. [—2,3](2)满足cos a W -3的角a的集合为思想与方法系列6 .数形结合思想在三角函数中的应用典 例(1)如图，在平面直角坐标系xO)，中，一单位圆的圆心的初始位置在(0 ,1),此时圆上一点P的位置在(0 ,0 ),圆 在x轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于C(2,l)时，成的坐标为(2)(2017・ 合肥调研) 函数y=lg(3-4sin2©的定义域为.思 想 方 法 指 导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集. 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 . ( 1 ) ①一条射线 图形 ②正角 负角 零 角 ( 2 ) { “ 口= 左3 6 0 +呢 々 G Z } ( 3 ) 原 点 x轴的非负半轴2 . ( 1 ) 半 径 正 数 负 数 0 ( 2 ) 7 t 焉 (祟 >⑶ 以 *VT T3 . > x - R R { a | a W E + ] , k&Z }4 . M P O M AT思考辨析⑴ X ( 2 ) V ( 3 ) X ( 4 ) J ( 5) 7 ( 6 ) V考点自测1 . C 2 . B 3 . C 4 . 1 . 2兀 兀5. 2 航一y , 2 E + g ( & G Z )题型分类深度剖析例 1 ( 1) A兀 5( 2) ( 2E + 『 2E + ^ t ) /e Z)解析 ⑴ 当 ■= 2〃( 〃G Z) 时 , a = 2〃/8 0 °+ 45 °f 360 °+ 45 °, a 为第一象限角；当上= 2 ” + 1 ( w d Z) 时，a = ( 2〃+ l >18 0 °+ 45 °= "-360 °+ 225 °, a 为第三象限角.所以a为第一或第三象限角.故选A .⑵在[0 , 2冗 ) 内，终边落在阴影部分角的集合为俘，前 ，. •.所求角的集合为( 2E + j , 2 E+亮 兀 ) 伏 G Z) .JT跟踪训练 1 ( l ) { a | a = ' + h r , A 6Z} ( 2) 3解 析 ( 1) 在( 0 , 兀 ) 内终边在直线丫= 小》上的角为全终边在直线了= 小刀上的角的集合为71{ a \a = ^+kn ,攵 £ Z} . ( 2) : 0 = 万 + 2 E ( M Z ) ,加一7=e-3 和 G Z) ，27r / KTT依题意0 W 与 +弩 W 2 兀 ，k《Z,w" = 0 , 1 , 2 , 即在［ 0 , 2n］ 内与号角的终边相同的角为与，笋 , 等 共 三个.例 2 ( l h /2(2)解 ①尸= 4 * 2 > < 4 = 与71.②由题意知/+ 2r = 20 , 即 /= 20 —2r ,r = ^ ( 20 —2r ) « r当r = 5 时，S的最大值为25 .当 r = 5 时，/= 20 -2X5 = 10 ,a = ； = 2( r a d ) .即扇形面积的最大值为2 5 , 此时扇形圆心角的孤度数为2 r a d .跟踪训练2 ( 1) C ( 2) D ［ ⑴ 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A、B不正确；又因为拨快10 分钟，故应转过的角为圆周的看即为一 黄 2兀= _ 字( 2) 如图，等边三角形A B C 是半径为r 的圆。
的内接三角形，则线段4 8所对的圆心角N 4 0 82兀二亍作 0 M _ L 4 8 , 垂足为M,7 T在 R t ZXA OM 中，AO=rf ZA0M =y：.1=事「 ,由孤长公式得a=! =^=小 .] 4例 3⑴ 一 乎 (2)A解 析 (1)由题意知r= « 3 + m \. . a m y12•.即 ” 炉14孙,** fn-^-Ot •*• in - 9/. r= y)3+m2—2啦 ,. z j ~V3 _ ^ 6••c — 2啦 一 — 4 •(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x, y)满足2兀 1 . 2兀x=cos 2» y = sn ry = ? .； .Q 点的坐标为( 一3，坐) .Jr 37r例 4 [2E +1, 2 E + 不)(2£Z)解析 要使原函数有意义，必须有] 2sin x—1>0,[1 —2cosx20,r . isin x>2»即.cos xW] ,如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2 E + ? 2航+ 手)(k£Z).跟踪训练3 (1)A2 4⑵{ 夕| 2&兀+ 可兀忘042%兀+ 1兀 ，kSZ} 思想与方法系列典例 （ 1） （ 2—sin 2, 1 — c o s 2）E + » ( k e z )解 析 （ 1） 如图所示,过圆心C作 x轴的垂线，垂足为A,过 P作 x轴的垂线与过C作 ） ， 轴的垂线交于点8 .因为圆心移动的距离为2 ,所 以 劣 弧 以 =2 ,即圆心角/P C 4= 2,I T则 N P C 3 = 2 - ] ,所以 P 5 = sin( 2—， ) = —c o s 2,7 1C B=c o s( 2—y ) =sin 2,所以 Xp=2 —C B=2—sin 2,y P= \ + P B = 1 — c o s 2,所以。
尸 = ( 2 —s i n 2 , 1 — c o s 2 ) .( 2 ) V 3 - 4s i n2x > 0 ,. \ s i n2x < ^ ,利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（ 如图阴影部分所示） ,A x e兀 兀 、—y & 兀+ 1)(%£ Z). § 4 .2同角三角函数基本关系及诱导公式基础知识自主学习ET知识梳理- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -i . 同角三角函数的基本关系( 1) 平方关系：.(2)商数关系：.2 . 各角的终边与角a 的终边的关系3. 六组诱导公式角2E+a(AGZ)兀 + a- a图示XLxL与角a终边的关系角it—a712 -a7 T .图示o T xk4O T x与角a终边的关系组数— ■二三四五六角2E+a(Z £Z)7t+a~ an - a712+a正弦余弦 正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【 知识拓展】1 . 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2 . 同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin a±cos a)2= l±2sin acos a；(sin a+cos a)2+(sin «—cos a)?=2；(sin a+cos a)2—(sin a —cos a)2=4sin acos a.【 思考辨析】判断下列结论是否正确( 请在括号中打“ J ” 或 “ X ” )⑴ 若 a , ( 为 锐 角 , 则 s in % + c o s % = l.()(2)若 a 6 R , 则 tan 0:=氏 系 1 成立.( )(3)sin(?t+a)=-sin a 成立的条件是a 为锐角. ( )(4)诱导公式的记忆口诀中“ 奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指： 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( )2考点自测1. (2015. 福建) 若sin a = 一亲 ，且 a 为第四象限角,则 tan a 的值等于()A .y B.12 c 5 一T C.五 D.5n2 . ( 教材改编) 已知sin (;t+ a)= g ,贝 ( 1cos a 的值为( )A J建「 西D + 近z \ • — 2 JL) 2 • — 23 . ( 2016•东营模拟) 计算：sin 卷 ■ 兀 + c o s学兀等于( )A. —1 B. 1 C. 0 D (一坐4.( 教材改编) 若tan a = 2 , 则sin a + 4cos a5sin a - 2cos a 兀2cos TX, xW2 000,5 .已知函 数 {r)= j 3 贝ij心2 0 1 8 ) ) =.x—18, x>2 000,题型分类深度剖析题 型 一 同 角 三 角函数关系式的应用I 5 7 1 3 兀例 1 (1)已知 sin a c o sa = g ,且彳< a< 2 ，则 cos a —sin a 的值为( )3-4D3-4V 32BV 32c -A .-(2)化简：(l+tan~a)(l — s i r Ta ) =.思 维 升 华( 1)利 用sin2cos( 7兀+x)------------- n—,则贝—半 尸 _ _ _ _ _ _ _ _ .cos(3 兀 x>sinfy兀 -x)「八 sin伏 兀+a) cos(E+a) „, 儿 人 口(2)已知4 = 5n “ + ( M Z ) ,则A的值构成的集合是( )olll CA X ZCAA. {1, -1 ,2 , -2 } B. {-1,1}C. {2, -2 } D. {1, -1,0,2, -2 )思 维 升 华( 1)诱导公式的两个应用①求值： 负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.⑵ 含2兀整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有27t的整数倍的三角函数式中可直接将2兀的整数倍去掉后再进行运算，如 COS(5T T—a)=cos( 7t—a)= —cos a. 跟踪训练2（ 1 ）化简:3兀ta n ( 7 i +a ) c o s ( 2 兀 +a ) s i n ( ( z —k)c o s ( - a - 3 j t) s i n ( —3兀 —a )⑵ 已知角a终边上一点尸 （ -4, 3 ） ,则c o s ( y + a ) - s i n ( - 7 t—a )一- - - - - - - 彳—的值为•] [ 7 C ， 兀c o s ( ~^ ~—6 t) - s i n ( - 2 ~+ a )题 型 三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例 3 ( 1 )已知 a 为锐角，且有 2 ta n ( 7 c —a ) —3 c o s g +夕 ) + 5= 0, t a n (7 i + a ) + 6s i n (7 i + ^ )— 1 = 0,则s i n a的值是（）A挈B邛C噜D ，|(2 )已 矢 口 — 7 i < x < 0, s i n (7 i + x )—c o s x=——g .① 求s i n x —c o s x的值；_ ~ s i n Z x + Z s i n2^ , 〃②求一r^- - - - - -的值•1 — t a n x引申探究本例（ 2 ）中若将条件“ 一 兀V 0 ”改 为“ 0< ¥ <兀 ”,求s i n x —c o s x的值.思维 升 华（ 1 ）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.⑵注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练3已知s i n （ ， + a ） = , , a£（ 0 ,。
贝U s i n（ 兀+ a ）等于（）A3 n 3 - 4A .5 B .一5 C .g D. - q思想与方法系列7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例(1 )已知 s i n则 t a n (a +兀 )-(2 )(2 01 6•湛江模拟)已知 MZ,化简:s i n (Z ? i —a )c o s [ (%— 1 )兀 -a ]s i n [ (&+ l )7 t + a ] c o s (E+ a ) 思想方法 指 导( 1 )在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.( 2 )利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论. 答案精析基础知识 自主学习知识梳理1. (l)sin2a+cos2a = 1 (2)： ： ： ： = tan a2 . 相同 关于原点对称 关于无轴对称 关于y 轴对称 关于直线y = x 对称3. sin a -sin a -sin a sin a cos a cos a cos a -co s a cos a -cos a sin a —sin a tan a tan a -tan a -tan a思考辨析⑴ X (2)X (3)X (4) J考点自测31. D 2.D 3.A 4彳 5.-1题型分类深度剖析例 1 (1)B (2)1跟踪训练1 A例 2 (1)-1 (2)CA— — sinx・sinx解 析 ( 必 ) = - - - - - - - ； - - - - - -；J -cos X-( —cosx)(2)当％为偶数时，4 = 柒cos a =2入cos a,. .. — sin a当女为奇数时，A=- -cos acos a2.・ ・ ・ A 的值构成的集合是{2, -2 } .跟踪训练2 (1)—1例 3 (1)C3-42)-(2)解 ①由已知，得 sinx+cosx=§,sin2x+2sin xcos x+cos2x = ^ ,24整理得2sin xcos x =一水. * .* (sin x-cos x)* 2= * * 5 * 7 1 - 2sin xcos x__49cos x-sin x_24 125A5_ _ 2 4― 7 --175-5引申探究廿24解 若 00, cosx<0,7sinx-cosx>0, 故 sinx-cosx=g.跟踪训练3 D思想与方法系列典 例 (1)|或一£ (2)—1解 析 (l)Vsin a = ^ ^ > 0 ,为第一或第二象限角.-25,由-7t0,Acosx>0, sin x—cosx<0,故 sin x—cos x = ].「 、 sin 2x+2sin2jc 2sin 龙 (cos x+sin x)2 ~1—ta n x - - 1 sinxcosx2sin xcos x(cos 无 +sin x)sin acos atan(a+7i)4tan acos asin acos a_____ 1sin a sin acos a①当a 是第一象限角时,cos sin2 a —5 '原式= sinacosa= 5 ②当。
是第二象限角时,cos a= —y] 1 —sin%5 ，原式= 而 —= 一 ,综上①②知，原式= 1 或一| .⑵当 Z=2〃 (〃 £ Z )时，sin(2〃 兀 —a)cos[(2〃 - 1)兀 —八" sin[(2n+ 1 )n+ a]cos(2nn+ a)sin(-a>cos(一兀 一 a)sin(n+a)-cos a一 sin a(—cos a)— sina-cos a当攵 = 2/t+ l(/t£Z )时,原式=sin[(2〃 + I)7c—a[cos[(2， ?+ 1 — 1)兀 —a]sin[(2/i+1 + l)n+a] -cos[(2/?+ l)7t+a]sin(兀 一a>cos asin a cos(n+a)sin a・cos asin a(—cos a)综上，原式=-1. § 4 .3三角函数的图象与性质基础知识自主学习n知识梳理i . 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数尸sin x, XG ［ 0,2T T］ 的图象中，五个关键点是：（ 0,0） , g , 1） , （ 兀 ，0） , ,（ 2兀 ，0） .余弦函数丁= 3 X ，K@O2TT］ 的图象中，五个关键点是：（ 0,1） , （ ； , 0） , ,（ 苧 ，0） ,（ 2 兀 ，1） .2 . 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tan x图象y27 Ay\ ,/ 一))~ ^ \yO ^ \J xO ^ / x71()rX定义域值域单调性在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上递增；在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上递减在上递增；在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上递减上递增最值当当 尸时,>Xmax - 1 ；当时,Vmax - 1 ；当尸时,'m in = - 1时，孚 ，则x > ^. （ ）21.函数段） = c os（ 2 x一6的最小正周期是（）, 兀 eA ， 2 B. TIC . 2兀 D . 4兀2 .（ 教材改编） 函数段） = 3 sin（ 2 x —3在区间[ 0 ,多上的值域为（）3 3 3A. [ ―2 » Q） B. L2 ，3 ]C.[ - 乎, 鸣 D.[-乎 ,3 ]3.函数y= t an 2 x的定义域是（） B. 卜卜N 竽+ 率)3 犬卜到兀+ 鼻，左 £ Z )D . 1 % 卜W竽+京 ，左 £ Z )4 . ( 2 0 1 6・ 开封模拟) 已知函数段) = 4 sin专一2 x ) , x £ [ - m 0 ] ,则於) 的单调递减区间是( )A ・ [一 会 —专]B. [ —7if -?C.[ 一 兀 ，一 例 ，L 含 ，0 ]D . [ ―K, -*]，L 古 ，0 ]5.产 sin( x —力的图象的对称中心是题型分类深度剖析题 型 一 三 角 函数的定义域和值域例 1 ⑴函数於)=-2 t an( 2 x + 6 的定义域是.T T 7 T '( 2 ) ( 2 0 1 7. 郑州月考) 已知函数,/ ( x ) = sin( x + d) ,其中x G [ 一行a ],若式x ) 的值域是[ 一], 1 ] ,则实数a的取值范围是.思 维 升 华 ( 1 ) 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式( 组) ，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.( 2 ) 三角函数值域的不同求法①利用sin x和 c os x的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y= Asin( sx + 9) 的形式求值域；③通过换元，转换成二次函数求值域.跟踪训练1 ( 1 ) 函数y= l g ( sinx ) + c o s x —g的 定 义 域 为 .■JTY T T( 2 ) 函数y= 2 sin( w - j ) ( 0 W x W 9) 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 . 题 型 二 三 角 函数的单调性例2 （ 1 ）函数X x ） = t an（ 2 r —的单调递增区间是（）引申探究本例⑵中，若 已 知C O> 0 ,函数« X ） = C 0 S （ 3 x +力在6 ，兀 ） 上单调递增，则0 ）的取值范围是~kjt 兀 kit , 5兀1,一 西 爹+同 （ 正 @B仔迷,y+ ^G Z）C . （ E+* 攵兀+ 竽） （ % £ Z ）D[ "L有E+居也GZ）（ 2 ）己知。
>0,函数大幻= §m（的 + ； ） 在6 ，兀 ） 上单调递减，则口的取值范围是.思 维 升 华（ 1 ）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“ 同增异减”；②求形如y= Asin（ 3+p ）或y =Ac os（ < u x + 9） （其中&> > 0 ）的单调区间时，要 视"o x+o "为一个整体，通过解不等式求解. 但如果<0 ,那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.（ 2 ）已知三角函数的单调区间求参数. 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练2 （ 1 ）函数4 x ） = s i n（ - 2 x + 1 ）的单调减区间为.（ 2 ）若函数©=sin 5 （>0）在区间[ 0,予上单调递增，在区间修，币上单调递减，则 等于（ ）2 3A.Q B . yC . 2 D . 3题 型 三 三 角 函 数的周期性、对称性命题点1周期性例3 （ 1 ） （ 2 01 6•北京东城区模拟） 函数了= % 访2 % +小cos ? %一坐的最小正周期等于（ ）A . n B . 2兀_ n —兀C4 D ,2⑵若函数段） = 2 t an（ 履+多的最小正周期T满 足1 < T< 2 ,则自 然 数 "勺 值 为 . 命题点2对称性例 4对于函数八0 = $ 矫（ 双 + 当 ，下列说法正确的是（）A. 的周期为兀，且在［ 0,1］ 上单调递增B. «x） 的周期为2 , 且在［ 0,1］ 上单调递减C. / （ X） 的周期为兀，且在［ —1,0］ 上单调递增D .於 ） 的周期为2 , 且在上单调递减命题点3对称性的应用例 5⑴ 已 知 函 数 y=2sin（ 2x+g） 的图象关于点P（ x（） ,0） 对称，若 x0G 一 率 。
则 的 =（ 2） 若 函 数 尸 cos（ （ ox+奇 （ oWN"） 图象的一个对称中心是60） , 则 的最小值为（）A. 1 B. 2C. 4 D. 8思 维 升 华 （ 1） 对于函数y=Asin（ ＜ wx+p） , 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x=x（ ） 或点（ 皿0） 是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检脸式刈） 的值进行判断.（ 2） 求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.2兀②利用公式：y=Asin（ 0x+ 9） 和 y=4cos（ cor+8） 的最小正周期为两，y=tan（ 5 + e ） 的最小正周期为春 跟踪训练3 ⑴ （ 2016・ 朝阳模拟） 已知函数犬x） = 2singx +》若 对 任 意的实数x , 总有兀3 勺 5 ） 勺 “ 2） ，则| 加一念1 的最小值是（）A. 2 B. 4C. n D. 2兀47r（ 2） 如果函数y=3cos（ 2x+9） 的图象关于点（ 手 ，0） 中心对称，那么阳的最小值为（）7 T 7 TA-6 B4高频小考点 5 .三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,典例并在高考中拿全分.（ 1） （ 2015•课标全国I ）函数/U ） =cos（ 3 x + °）的部分图象如图所示，则兀v）的单调递减区间为（)1 , , 3Ay ，E +力 ，kGZ1 3、一不 2AT T+T), kWZ1-4口 . （2左一匕 2 k + £ j,）t e zjr-ir（ 2）已知函数段） = 2cos（ cox+ 8 ） +匕对任意实数x有“ x+ R = 月一x）恒成立， 且. a ） = 1 ,则实数b的值为（）A. -1 B. 3C. - 1 或 3 D. - 3⑶ 己 知 函 数 段 ） = 2sin 5 @ > 0 ）在区间［ 一会彳上的最小值是一2 ,则 3的最小值等于 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 . ( 竽，-1 ) ( 兀 ，—1)TT TT TT TT2 . R R { Mx WR 且 %£Z} [-1,1] [-1,1] R [ - ^+2 kn , ^+2 kn \(k^ ^+ 2 E , 咨 +2E](A£Z) [―n + 2/cn , 2/o i ](%£Z) [2/m , TI +2k n ](Ze Z)( 一5 + E ，7 TE)O t £Z) x =]+2E(k e Z)Tlx = - ] + 2 也(Z W Z) 2f ar (Z W Z)兀 + 2 E / £ Z ) 奇函数 偶函数奇 函 数(kit, O )(j i e z ) g +h r , 0)(%e z )(g , 0)(%e z )x 4+ E ( % e z ) x = E ( % c Z ) 27r2兀7 1思考辨析⑴ X ⑵ J (3)X (4)X (5)7 (6)X考点自测I. B 2.B 3.D 4,CJ T5. ( E + 不 0), k G Z题型分类深度剖析L-TT rr例 1 (O f x l x ^y +g , k® Z ](2)专，兀 ]解 析 (1)由2 x+ " ' + E , 解 Z , 得 / W 与+* k《Z ,所以/ U)的定义域为{ 小W 华 + * ，攵 £Z} .兀(2)Vx e [-3, a ],V x + | e [ —多时,於） 的值域为L ； ，1]， •••由函数的图象知9a + 狂 看 ，・ 常 《兀跟踪训练1(1)1X|2EVXWW+2E,(2)2 fsinx>0,解 析 (1)要使函数有意义必须有《 1cos x - 2^0,fsin x>0,即1c o s G /,[2k,it 0 , 得2 十 4 o)x 十 4 coir 十 4，Jr 3 71又丁=5由工的单调递减区间为[2 E + /, 2E+»~] , kRZ,(CO7C .兀 、兀.八 ,彳 + 4 逃 + 2也，所以《 ， kGZ,.7 1 -.371 . _,[①兀+不支5 + 2攵 兀 ，解得 4A+吴 "W 2A+1，fcSZ.又由 4人+:一(2 /+ 3 《O, ZGZ 且 2%+*>0，& Z ,得 &= 0 , 所以 3 0 ； ,引申探究5T^f7-43-2*解析 函数y = co sx的单调递增区间为[―TI+2/OI, 2hi] , &£Z,f竿 + 2- 兀 + 2 E ，则，兀 k《Z,解得 4我一kez,又由 4 /一| 一3一* 0, k ez 且 2& -(> 0 , Jtez,得 2 1 , 所以3 丘| , a跟踪训练 2 (l)[bc—自 ，fat+方，kwz (2)B解 析 (1)已知函数可化为yU )=_sin(2r一§,欲求函数的单调减区间，只需求外尸 sin(2x一9 的单调增区间.由 2 E —,W 2x—全.2攵兀+$ kRZ,得也一节驾，k£Z.故所给函数的单调减区间为 ", 7 1 f . 5兀 ,E —T5，E +万(％EZ).(2) = s i n c o x (a )> 0)过原点,当 OW sW 与 ，即( X W /■ 时 ，2 Z c oy =s i n c o x是增函数；当 方 W sW 竽 ，即W j W x W 骂 时 ，y = s in c o x是减函数.由火x )=s i n s r(口>0)在［ (),］上单调递增,在除? 上单调递减，知合=去LS z」 Zco J._ 3• » c o — 2*例 3 (1)A (2)2 或 3例4 B例5⑴ 一 看(2)BIF解 析(1)由题意可知2沏+ q= E ,攵&Z,故Xo =»■ 一 不 kQZ ,「 兀又沏£ ［ 一1, 0J,. • . 一 左w g , ke z ,j r，攵=0 ,则 沏=一不.⑵由题意知会i+ * = E + 5 (kG Z ) ,，口= 6Z+2(A£Z),又 co WN” ,, •① m i n - 2.跟踪训练3 (1)A (2)A ［ (1)由题意可得M —刈的最小值为半个周期,(2)由题意得 3co s (2 X 4 + 3)= 3co s q -+勿 +2九 ) = 3 co s(-+ ^)= 0,.2 兀 I , I 兀，/— r-m・・ 3 十 9 kit ~ ~ । 2 , Z e Z,7TT T：・(p = kR_% , k R Z,取女= 0 , 得阳的最小值为不］高频小考点典 例 (1)D (2)C (3)1解 析 (1)由图象知，周期7 = 2 x (,一； )= 2 ,・2兀 - .• • CD^ 2 , • • fZ)~-7T.由兀义"+9 = 9 2 & 兀 ，k GZ,不妨取伊 =?.7/U)=cos(7tr+g.兀由 2E 〈 7ix + a<2A7i + 7r, k GZ、(2%—： , 2%+券 k£Z .故选 D.3-41-4・ ・ ・ «x)的单调递减区间为jrTT(2)由1 x + » =犬- x)可知函数«x) = 2cos(sr+ 9 )+ 。
关于直线x= g对称，又函数人 工 )在对称轴处取得最值，故±2+〃 = 1 , ・・・6= 1 或 6=3.TT TT(3) Vco>0, 一. ① 兀 — "CO兀・• ——.由已知条件知一等W—5，.・・G2 . § 4 . 4 函数y=Asin（3 x + 6 ） 的图象及应用基础知识自主学习ET知识梳理1 . y = A si n （ （ w x + 夕 ） 的有关概念2 . 用五点法画y = A si n （ 3 x + ） 一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：y=Asin(cox+0 ) ( A > O , S O ) ,X^R振幅周期频率相位初相AT=___f=T=9） （ A > 0 , 加> 0 ） 的图象的步骤如下:XC D x +(py = A si n ( ① x + °)0A0-A03 . 函数 y = si n x画 出. v = si ? *的图象 卜 -向左（ 右） 平移 _个单位长度得 到. y = si n j+
0 , 8> 0 ） 的变换：向左平移' 个单位长度而非g个单位长度.■JI2 . 函数y = A si n （ o x + 9 ） 的对称轴由5： + 8 = 也 + ' , A£Z确定； 对称中心由① x + ° = E , kRZ确定其横坐标.【 思考辨析】 判断下列结论是否正确（ 请在括号中打“ J ” 或 “ X ” ）（ 1） 尸 Sin（ x一加 图 象 是 由 尸 sin（ x + * 的图象向右平移处单位得到的. （）（ 2） 将 函 数 >, = sin a ） x的图象向右平移以9>0） 个单位长度，得 到 函 数 y = sin（ tox 一夕 ） 的图象 . （）（ 3） 利用图象变换作图时“ 先平移， 后伸缩”与 “ 先伸缩， 后平移”中平移的长度一致. （）（ 4） 函 数 产 Asin（ °x + o ） 的最小正周期为7 = 需 （）（ 5） 把> > = $皿》的图象上各点纵坐标不变， 横坐标缩短为原来的看 所得图象对应的函数解析式为 产 sin 5 .（ ）（ 6） 若函数y=Acos@ x+°） 的最小正周期为T ,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为2考点自测1 T T _1 . （ 教材改编） y=2sin（ F - g ） 的振幅，频率和初相分别为（ ）A. 2,4兀 ，胃 B. 2 , 表 , 三C. 2, T-, —? D. 2,4兀 ，—?4兀 J 52. （ 2015・ 山东） 要得到函数） ， =sin（ 4x-1） 的图象，只需将函数） ， =sin 4x的图象（）A . 向左平移合个单位B . 向右平移自个单位C. 向 左 平 移 ;个 单 位 D . 向右平移鼻个单位3. （ 2017•青岛质检） 将函数） = s in x 的图象上所有的点向右平行移动器个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（ 纵坐标不变） ，所得图象的函数解析式是（）71 兀A. y=sin(2x-yQ) B. y=sin(2x-C. y=sin( 尹 一 言 ) D. y=sin(^x—4 . 若函数y=sin（ G x+°） （ ① >0） 的部分图象如图所示，则c o等于（) A. 5 B. 4C. 3 D. 25 . 若将函数7(x)=sin(2x+力的图象向右平移9 个单位，所得图象关于y 轴对称，则 °的最小正值是.题型分类深度剖析题 型 一 函数y=Asin(cux+8) 的图象及变换例 1 (2015•湖北) 某同学用“ 五点法”画函数兀0=4$皿5 ： + 夕 ) 卜 》0 , |夕 |<5 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：CDX~\-(p0n2兀3兀T2兀Xn35兀TAsin(sx+s)05-50(1 )请将上表数据补充完整，并直接写出函数,/(x)的解析式；(2 )将 y=/(x)图象上所有点向左平行移动0(彼0)个单位长度，得到y=g(x)的图象. 若丫= 8。
)图象的一个对称中心为传，0) , 求 的最小值.引申探究7 T在本例(2)中， 将贝x)图象上所有点向左平移之个单位长度，得到g(x)的图象，求 g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心.思 维 升 华 ( 1)五点法作简图： 用 “ 五点法”作 y= A sin (s+ p )的简图， 主要是通过变量代换，兀 3设 z = c a x + p ,由 z 取 0, 2 » 兀 ，271, 2兀来求出相应的x , 通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.(2)图象变换：由函数y = sin x 的图象通过变换得到y=Asin(cux+9) 的图象，有两种主要途径：“ 先平移后伸缩”与 “ 先伸缩后平移”.跟踪训练1把函数) ， = sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移点个单位，得到的函数图象的解析式是( )A. y=cos 2x B. y = —sin 2x兀 冗C. y=sin(2x—» D. y=sin(2%+R 题 型 二 由 图 象 确 定 y= A si n ( s+ 8 ) 的解析式例 2已知函数於) = 4 si n ( o x+ 9) ( A > 0 , | 如< ^ ，① > 0 ) 的图象的一部分如图所示.⑴求/ U ) 的表达式；( 2) 试写出/ ( X ) 的对称轴方程.思维升华 求y= A si n ( c o x+ 9) + B ( A > 0 , ① > 0 ) 解析式的步骤M-m A / + ， 2( 1 ) 求A , B ,确定函数的最大值〃和最小值m，则A=— 5 ―, B = -^―( 2) 求 ①，确定函数的周期T,则a)=开.( 3 ) 求 内 常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入( 此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上) 或把图象的最高点或最低点代入.②五点法：确定户值时，往往以寻找“ 五点法”中的特殊点作为突破口. 具体如下： “ 第一点”( 即图象上升时与x 轴的交点) 为sx+ ° = 0 ; " 第二点" ( 即图象的“ 峰点”) 为。
x +p=*“ 第三点”( 即图象下降时与X轴的交点) 为公》 + 夕= 兀； “ 第四点”( 即图象的“ 谷点”) 为5+ 夕 = 胡 ； " 第五点"为3X+ 0,网专的部分图象如图所示,则) ， = 心 + 6取得最小值时%的 集 合 为 ( )宣7n'兀兀A . [x\x=kTt-^, k^Z} B . {x| x= E—A £Z } 兀7 1C. {小= 2 E —不 ，kw z\ D. {x\x= 2kn-y kGZ}题型三 三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例 3 （ 2015・ 陕西） 如图, 某港口一天6 时到18时的水深变化曲线近似满足函数y= 3sin信 十力+ k ,据此函数可知，这段时间水深（ 单位：m） 的最大值为（）A. 5 B. 6 C. 8 D. 10命题点2函数零点（ 方程根） 问题引申探究例 4 中，若 将 “ 有两个不同的实数根”改 成 “ 有实根”，则 根的取值范围是. 例4已知关于x 的方程2sii?x-小 sin 2x+/n- 1 = 0 在自，兀 ） 上有两个不同的实数根，则〃? 的取值范围是.命题点3图象与性质的综合应用例 5已知函数_/U） = ， 5sin（Cyx+夕 ） 侬＞0, 一 ^ ^ ^ 苣 ） 的 图 象 关 于 直 线 对 称 ，且图象上相邻两个最高点的距离为兀⑴ 求 1 和 0 的值;（ 2） 当，时; 求函数y= /（ x） 的最大值和最小值.思 维 升 华 （ 1） 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成教学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.（ 2） 方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.（ 3） 研究y=4sin（ s + 仍的性质时可将s + 9 视为一个整体， 利用换元法和数形结合思想进行解题.跟踪训练3己知函数贝x） =cos（ 3 x + 0 ,其 中 代 仁 ，〃 “ ，若 於 ） 的值域是［ —1，— 2 则机的取值范围是.答题模板系列 4 . 三角函数图象与性质的综合问题典 例 （ 12 分） 已知函数段） =2"\/§sin（ ， + ，.cos（ ， + 午 ） —sin（ x+n） .（ 1） 求/（ X） 的最小正周期；（ 2） 若将兀v） 的图象向右平移看个单位长度，得到函数g（ x） 的图象，求函数g（ x） 在区间［ 0, T T ］ 上的最大值和最小值.思 维 点 拨 （ 1） 先将人工） 化成y=Asin（ Gx+3） 的形式再求周期；JT⑵将7U） 解析式中的X换成X -之 ，得 g（ x） , 然后利用整体思想求最值.规范解答解（ 1次1） =2小 sing+ ： ＞ cos咳+力一sin（ x+it） = 巾 cos x+sin x［ 3 分］兀=2sin(x+1), [5 分]于是7= 卡2兀 = 2兀[6分]jrIT⑵ 由已知得g(x)=加 一 4)= 2sin(x+g), [8分 ],・ " £ [0 , n] , y ] ,・ 入皿戈+奇£ [ —1] , [10分 ]7T.•.g(x)=2sin(x+d) e [—1,2] . [11 分 ]故函数g（ x） 在区间［ 0, T T ］ 上的最大值为2 , 最小值为- 1.［ 12分］解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤:第一步：（ 化简） 将犬犬） 化为asin x+bcos x 的形式；第二步:（ 用辅助角公式） 构造/ x） = 、“ 2+b2.（ $山》、a?a+ 1 )2第三步：（ 求性质） 利用危） = ，i?T Psin（ x+ 9） 研究三角函数的性质;第四步：（ 反思） 反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范. 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 , 誓 2n sx +(p (p3兀_0~~8 2 8 兀一^ 2 。
2兀 一co co co co co八兀 3兀 -0 2 71 T 2713 . \(P \ 自思考辨析⑴ J (2)X (3)X (4)X (5)X (6)7考点自测1. C 2.B 3.C 4.B 5 .vo题型分类深度剖析例 1解（ 1） 根据表中已知数据，解得A = 5 , 2, 9 = 一专. 数据补全如下表:C D x +(p07C2713兀~22兀X71727 137兀T25兀13育Asin(① x+ 夕 )050- 50且函数解析式为於） = 5sin（ 2 x -得 g（ x） =5sin（ 2x+28一春 ）因为函数丫=5抽入图象的对称中心为（ E , 0） , k《Z.令 21+2 一聿=% 兀，解得尸专 一 仇 kQZ.由于函数丁=8 的图象关于点（ 招 ，0） 成中心对称，所 以 猾 + 备 人 言 解得9 = 竽 一 率 kGZ.jr由 ＞ 0可知，当& = 1 时，取得最小值4.引申探究T T解 由(1)知火x)=5sin(2x—5)，T T T T因此 g(x)=5sin［ 2(x+d) —不 ］TI=5sin(2x+g).因为y = sin x 的对称中心为伏 兀 ，0),令 2 x + * = E , k GZ ,解得 x = 与一有 k G Z .即y=g(x)图象的对称中心为Cy—石 ，0) , &ez.跟踪训练1 A例 2解(1)观察图象可知A = 2 且点(0,1)在图象上，1 = 2sin(8.0 + 8 ) , 即 sin 3 =g.., •伊 = 不又兀是函数的一个零点且是图象递增穿过X轴形成的零点，. 1171 1 兀 c . c・十不= 2兀，..69 = 2.JT； ・ 於 ) —2sin(2x+4).jrTT(2)设 21+ 1= ① 则函数y=2sin 5 的对称轴方程为3 = g + E , k £ Z ,T T 7 T即 2x+d=5+E(% wZ),解得工= 竽+ 看 g Z ) ,； 必 ) =2sin(2x+奇的对称轴方程为尤= 竽+ * e z ) .跟踪训练2 B ［ 根据所给图象， 周期7=4X (居一多= 兀, 故兀= 得， ； .( o = 2 ,因此危)=sin(2x77r 77r 冗 兀+ e ) , 另外图象经过点(五，0 ) , 代 入 有 2X五 + e = E (kW Z ) , 再由l o l q ,得9 = _ q :艮 j r TT TT j r j r j r+ T ) = s in (2 x+ 7 ) ,当 2 x + / = —§ + 2 E (Z £ Z ) ,即 x =—彳+E(攵£ Z )时，y= / U + 7 )取得最小v z U V * 4 J U值. ]例3 C例 4 (- 2 , - 1 )解析 方程Z s in ——，5 s in 2 r + 〃? - 1 =0可转化为m = 1 —2 s ir ? x+小s in 2 x= co s 2 x+〈5 s in 2x设 2 x + ^ = t ,则5 ） ，题目条件可转化为卜s in f,横 & , % ） 有两个不同的实数根.老 和 产s in f, P （ / 卷 兀 ） 的图象有两个不同交点，如图：y『 - 、 、 7 > > =s in z____ , / 、 \ U 2昨-7 个 2^ZZZ_£Z1\=叫由图象观察知，夕的范围为（ - 1 , - 1 ） ,故 ， " 的 取值范围是（ - 2 , —1 ） .引申探究[ - 2 , 1 ）解析 由例4知，色勺范围是[ - 1 ,/ . —2 W 加<1 ,・ ••加的取值范围是[ ―2 , 1 ） .例5解（ 1 ）因为“r ）的图象上相邻两个最高点的距离为兀 ，所以凡0的最小正周期丁= 兀，从左 2兀而 口 = 下 =2 .又因为兀0的图象关于直线x =；对称，所以2片 + 。
= 也 + 会&C Z ,由一 畀 冶 ，得k=0,匕 匕I、 । 兀 2 7 t 兀所以夕=]—3 - = - % • 综上，（0=2, 9 = -d（ 2） 由⑴知口 ） =小 sin（ 2x—专 ） ,当xW [0,与时，一 如 2r—狂 景. *. 当2%—^ = ^ , 即时,段 ） 最 大 值 =小;. . . 7 1 7 1当2^一不= 一不h即x = 0 时， / （ x） 最 小 值 =- 2 ,跟踪训练3符 , jfj解 析 画出函数的图象.由 m ] ,可知?因为底） =cos一 半 且 焉 5 = cos TC= -1,要使段） 的值域是[ 一 1， 一 坐 ， 只要告〈mW得 ，U IJ 4 X ✓ i O即 ”[e & y1] . § 4 .5简单的三角恒等变换基础知识自主学习H知识梳理i . 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos（ a 一 夕 ） =cos acos § + sin asin （ C（tt-^） ）cos（ a+ ^ ） =, （ C（ «+^） ）sin（ a - p）=, （ S（a-yj） ）sin®+ 4 ） =，（ S ®+A） ）tan tan ptan（ L S） = i+ tan ata”', 八 tan a+tan Btan（ a + p产 ）=~ >1 — "t an at" an p7 .（ T（va+«） ）2 . 二倍角公式sin 2a=；cos 2a=_____________________tan 2a=.【 知识拓展】1 . 降幕公式：cos2a=1 + ， 2、2 1—cos 2asin a= 52 . 升幕公式：1+cos 2a=2cos%, 1—cos 2a=2sin2a.ba3.辅助角公式：asin x+bcos x=y]a2 + /?2sin（ x +,其中sin(p=cos（p=y]a2+b2【 思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“ J ” 或 “ X ” )⑴存在实数。
，｝ 使等式sin(a+夕 ) = sin a+ sin £ 成 立 . ( )(2)在锐角△ABC中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定. ( )(3)若 a + 4=45 ，则 tan a+tan 4= 1 — tan atan/?.( )(4)对任意角1 都有 l+sina=(sin ^+cos ^)2.( ) (5)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( )(6)在非直角三角形中，lan A + tan B+tan C= tan Atan Btan C . ( )2考点自测1 . (教材改编) sin 180cos270+cos 18°sin27°的值是( )C当D. 一 坐2 , 化简嬴裁邕前 等 于 （）A. 1 B.小C.yf2 D. 2- _sin a+cos a 1 … 小十3-若赤 益 K 则 tan 2 a 等于（）3--4B.3-4A.4-3D4-3c-4. tan 20°+tan 40°+小 tan 20°tan 40°=.5. （ 2016•浙江） 已知 Zcos4+sin 2x=Asin（ G%+e） +/2（ A>0） , 则 A=, b=题型分类深度剖析第 1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题 型 一 和 差 公 式的直接应用例 1 （ 1） （ 2016・ 广州模拟） 已知 sin 兀 ） ，则一C 0 S .也 sin（ a + ： ）（ 2） 在△ABC 中，若 tan Atan 5=tan A+tan 3 + 1 , 则 cos C 的值为（ ） 思 维 升 华(1 )使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2 )使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.跟踪训练1 (1 ) (2 0 1 6•全国丙卷) 若A- 2 5 B- 2 53-4则 c os2a + 2 s i n 2 a 等于( )(2 )计算s i n 1 1 0 ° s i n 2 0 0c os21 5 5 °- s i n21 5 5 °的值为()A . —5题型二和差公式的综合应用命 题 点1角的变换例2 (1 )设a、£ 都是锐角，且c os a =专 ，s i n(a + £) = , ,则c os £等于( )A空B巡A . 2 5 B. 5C 或D 立 或 让J 2 5 - 乂 5 D 5 贤2 5(2 )己知 c os (a —6+ s i n 则 s i n(a + , )的值是命题点2三角函数式的变形例 3⑴化简:(1 + s i n ^ + c os 0 (s i n c os 孝 ){ 2 + 2 c os 8(0 < 0 <兀 ) ；4土 1 + c os 2 0 0 1(2 )求值：^-2^-s1nl 0 °(^¥- t a n5 °) .引申探究(1 + s i n 0 —c os 0 (s i n 5 —c os 5 )化简：- - - - - - - - - -1 - - - - - - - - - (0 < 6 k 7 r ) .4 2 —2 c os 6思 维 升 华(1 )解决三角函数的求值问题的关键是把“ 所求角”用 “ 已知角”表 示 . ① 当 “ 已知角”有两个时， “ 所求角” 一般表示为两个“ 已知角”的和或差的形式；② 当 “ 已知角”有一个时， 此时应着眼于“ 所求角”与 “ 已知角”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把“ 所求角”变 成 “已知角”. （ 2） 常见的配角技巧: 2 a= （ a+ £ ） + （ a —4） ，a = （ a + 尸 ） 一尸 ，0= ? 一 ? 、aof , ,A 产工小金一^ ―= (G+ 5)― 9+优等.跟踪训练2 （ 1） （ 2016•宿州模拟） 若 sin（ ： + a ） = ； , 则 cosg—2a） 等于（）「7 c 7C.§ D. —g(2)(2016. 青岛模拟) 化简(tan a+~~—)-zsin 2«—2cos2a 等于( )[an a z.A. cos-a B. sirTaC. cos 2a D. —cos 2a(3)计算：sin 50°(l + 5tan 10° ) =.思想与方法系列8 . 利用联系的观点进行角的变换7 T 4 JT典 例 （ 1） 设 a 为锐角，若 cos（ a+ d ） = § , 则 sin（ 2a+ 五） 的值为cos(a—(2)若 tan a = 2tan^, 则- - - - - - - 厂等于(A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思想方法指导 三南变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆南、凑角来利用所给条件. 常见的变角技巧有哼" = （ a 一多一号一£ ） ; a = （ a 一份+夕；a + y ^ = （ a+ 多一第 15。
= 45 - 30 等. 答案精析基础知识自主学习知识梳理1. cos acos sin asin fi sin acos£-cos asin 夕 sin acos 夕 +cos asin 42. 2sin acos a cos%—sin% 2cos2«— 1,c . 2 2tan a1 - 2sin a , . 21 — tan a思考辨析(1)V (2)X (3)V (4) V (5)X (6) V考点自测1. A 2.C 3.B 4巾 5巾 I题型分类深度剖析第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式7例 1 (1)一5(2)B跟踪训练1 (l)A (2)B4-5) A2例解 析 (1)依题意得 sin a=y] 1 —cos2a = ^ ^ ,cos(a+份= 7 1—sin-(a+/?)=±^.又 a, 0 均为锐角, 所以 0cos(a+/?).因为]> 坐> —, ,4所以 cos(a+H) = —亍于是 cos夕 =cos[(a+£)—a]=cos(a+^)cos a+sin(a+份sin a= ，乂韭4乜” = ”~ 5 5 十 5 5 ~ 25 ,(2 ) V cos(a—7)+ sin a—T\[3, V3s i n (^ +c c )=^ \ /3,TI 4.*.s i n (g +a ) = 5 ,7兀 兀 4.*.s i n (a +-^ -)=—s i n (^ +a )=—例 3 解(1 )由 e w (o, 7 i ),得 o < | q ,。
一2nsi\(z当夕一2e_2一2W2in•s夕c( OS一2—2c os 2C0 S 8故原式= % - - c os 0 .2c os 2(2)原式=2><2s i n 1 00c os 1 0°s i n 1 0° (c os 5 °s i n 5 °c os 1 0° . o c os " 一s i /5—2s i n 1 0° ‘ i n 1 0 sjn 5 °COs 5 °c os 1 0°2s i n 1 0°s i n 1 00-c os 1 0°^ s i n 1 0°c os 1 0° c os 1 0° —2s i n 20°=2s i n 1 0o _2 co s 1 0°= 2s i n 1 0°c os 1 00—2s i n (30o— 1 0 )= 2s i n 1 00 c os 1 0° —2(^ c os 1 0° — §s i n 1 0° )2s i n 1 0°,\ /3s i n 1 0° \ 3=2s i n 1 0 2 ，引申探究解 . . ， (专[ 2 —2c os 0 =2s i n夕-2又 1 +s i n 0—c os 0=2s i n/n202。
一22HR(sieRcs+co夕-2+•me-2G-n- nx- -.SIin式宗2si原in• »s•22s i n f= c os 0 .跟踪训练 2 (1 )D (2)D (3)1思想与方法系列典 例 ⑴ 曙 ⑵ C解 析 ⑴ 丁 夕 为锐角且C OS0 + 前45 >0,•a +6G (6 ) 芬.•.s i n (« +1 )=| .兀 兀 7 1s i n (2a +-j 5 )=s i n [2(a +^ )—7 t T T 7 t 7 C= s i n 2(a +^ )c os c os 2(a +g )s i n 工=-\ /2s i n (a +^ )c os (a +7 ) 一乎 [2c o$2(a +6 - 1 ]= 啦 —乎 [2 X (1 )2-1 ] 12啦 7迫 」 7啦25 - 50 - 50 -8 s （ o—需） sin（ a 一招 + ）（ 2） -------------- = ------------------• / 兀、 . / 兀、sin（ c（ - 5） sin（ a —psin（ a + §. . 兀、sin（ 。
一§）兀 । .兀sin acos^+cos asing兀acosg-cos. Ttsin a n ..兀—— cos7+sinTcos a J 5sin a 兀 .兀-c-o--s- -a-C-O--S5T - sin57. 兀sinTc _ 1 兀」_ . 兀2- cosp+sinT兀 3 3呼. 兀sin-72, 呼 一 呼c o s5c • 兀3sin《— 7 = 3 , 故选 C..71s in5 第 2 课时 简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简2c os4%—2C OS2X+ ^（ 2） 已知 c os 0+； ） = ^ ^ , 6>e （ 0 , 号，贝 ! | s i n （ 26» —鼻 ） =.思 维 升 华 （ 1 ） 三角函数式的化简要遵循“ 三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征. （ 2） 三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系（ 和、差、倍、互余、互补等） ，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.跟踪训练1 ⑴已知C OS（ X—6 = —乎 ，则 c os x +c os （ x —： ） =.（ 2） 若 aG & 兀 ） ，且 3c os 2a =s i n 仔一，，则 s i n 2a 的值为（ ）A± B,A.[8 1 8〃 1 7c 1 7C'l8 D- -I8题 型 二 三角函数的求值命题点1 给值求值问题例 2 （ 1 ） （ 201 7 ・ 合肥联考） 己知a , “为锐角，c os a =； , s i n （ a + 夕 ） = 用 £ 贝 I ]co s4= .（ 2） （ 201 5 ,广东） 已知 t a n a = 2 .①求t a n （ a + ： ） 的值；② 求.2 — .2 a——-~^ 的值.s i n a 十s i n a c os a-c os 2 a ~ 1命题点2给值求角问题引申探究本例⑴中，若 夕 为 锐角，s i n 。
= 乎 ，c os 夕 = 4限 ，则 + 夕= . 例3 ⑴ 设 a , [ 3为钝角，且 s i n a = 乎 ，c os £ =一与 俱 ，则 a + 4的值为（）A 囱B -4 D. 4C.华D.普或普 (2)已知 a , 0 W ( O ,兀 )，且 t a n (a —£ )=2，t a n y?=—则 2a一夕的值为.思 维 升 华(1 )给值求值问题的关键在“ 变角”，通过角之间的联系寻找转化方法;(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求南的范围确定角.z Xs i n l a -跟踪训练2 (1 )已知a e (0, 3)，且2s i n %—s i n a -c os a _ 3c os2a =0, 则~-z-- ~\ \ 27 s i n 2r z +c c(2)已知s i n a=看 ，s i n (a —4 ) =一节a ,4均为锐角，则角尸等于( )题型三 三角恒等变换的应用例4 (201 6•天津)己知函数汽笛=4 t a n x s i n l⑴求人幻的定义域与最小正周期；⑵ 讨论段)在区间［ 一去 北上的单调性.思维 升 华 三角恒等变换的应用装略(1 )进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.⑵ 把形如y = a s in x +bco s x化为y = y ja2+/ ?2s in (x +(p ) ,可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.跟踪训练3 (1)函数Hx ) = s in (x +0)—2s in g co s x的最大值为.⑵ 函 数 /)=s in (2x —/一2吸s in %的 最 小 正 周 期 是 .思想与方法系列9. 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典 例(12分)(2015•重庆)已知函数负x )= s in (E —x )s in x一小co s ?》 .(1)求4 x )的最小正周期和最大值：⑵ 讨论兀0在 序 明 上的单调性.思 想 方 法 指 导(1)讨论形如)= 麽亩c o x +l?c o s c o x型函数的性质， 一律化成y = y ja2+ b2s in (a ) x + p )型的函数.⑵ 研 究 y = A s in (s +8 )型函数的最值、单调性，可将①x+ g视为一个整体，换元后结合y =s in x 的图象解决.规范解答： 例 1(l)] cos 2x(2)4一3小10解 析 （ 1） 原式=(2COS2X— I)2答案精析cos「 2x2sin^—2AHCOS22X 1 八=， - - - 丁=7cos 2x.2cos 2x 2/ \ l+cosG 0+y)(2)由题意可得，c o s 2 ,+ ? = --------1——-=~^因为 c o s .+ g u ^ ^ ＞ 。
，6G(0,4-5所以0＜ 的 , 2JG （ 0 , 另，根据同角三角函数基本关系式可得3cos 29=5，由两角差的正弦公式可得sin(2 9 -§ = sin 28cos cos 20sin ]4一3小=10 •跟踪训练1 (1)-1 (2)D例 2 (1)1解 析 ：a 为锐角，sin a~ \ l 1—（ 7）2~^7^- ir•:a , 夕 £ ( 0 ,] ) , ・ ・ ・ 0o.3兀又 a + 万仁(兀 ，2兀 )，:a, 271),. , ・。
+4=笔(2) */tan a=tan[(a—/5)+/?]tan(a—1)+tan )1 — tan(a一夕 )tan f] 1 15—7 1i_ r=3> 0 ,1+2X7.c 兀..00>/. 0<2 < 多tan 2 a - tan (i・ ••tan(2a-所] +13112atan£3 ,14+73~ F = L1 — x —1 4人7*/ tan 4 = 一； v0,7 1] < 万 < 兀,—n<2a —0
、6和 A时，解的情况如下:3 .三角形常用面积公式A为锐角A为钝角或直角图形zLA BcAc八c乜关系式a = b s in Af e s i n A h解的个数一解两解一解一解( 1 ) S = % 也 依 表示边a上的高) ; (2)S= ] Qbsin C==(3 )5 = * a + 〃 +c)(/•为三角形内切圆半径) .【 知识拓展】1 . 三角形内角和定理在△ABC 中，A+B+C=TT；2 . 三角形中的三角函数关系(l)sin(A+8)=sin C； (2)cos(A+B)——cos C：A+B C A+B C(3)sin -—=cos 不 (4)cos -—=sin3 . 三角形中的射影定理在△ABC 中，a—bcos C+ccos B-,b=acos C+ccos A；c=hcos A+acos B.【 思考辨析】判断下列结论是否正确（ 请在括号中打“ J ” 或 “ X ” ）（ 1） 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（）（ 2） 在△ABC 中，若 sin A > sin B ,则 A>B.（ ）（ 3） 在△4B C的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. （）（ 4） 当时，三角形ABC为锐角三角形.（ ）.A , a a+ b—c（ 5） 在△ABC 中，—r= . 4 n— —z.（ ）sin A sm A + sm B—sin Cv（ 6） 在三角形中，己知两边和一角就能求三角形的面积.（）考点自测- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1. （ 2016•天津） 在△ABC 中，若 BC=3, C = 1 2 0 °,则 AC 等于（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 42 . （ 教材改编） 在△ABC 中，A=60°, B=75。
，a = 1 0 ,则 c 等于（ ）A. 572 B. 10>/22 D. 5 ,3 . 在△ABC 中，若 sin B-sin C = cosE J9. sin2B+sin2C=sin2A , 则△48是( )A . 等边三角形 B . 直角三角形C . 等腰三角形 D . 等腰直角三角形4. (2016・ 辽宁五校联考) 设aA B C 的内角A, B, C 所对边的长分别为a, b, c ,若人+c=2a,3sinA = 5 sin B ,则角 C=.5. (2016・ 济南模拟) 在△ABC 中，a= 36，b=2yf3, cos C = |, 则△ABC 的面积为.题型分类深度剖析题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例 1 (1)(2015•广东) 设△ABC的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c.若 = 小 ，sinC = 5，则 h=.(2)(2016•四川) 在AABC中，角 A, B, C 所对的边分别是a, b, c , 且 午 十 平=平①证明：sin Asin B=sin C；②若序+
= 5及八或其他相应变形公式求解•(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=竺 臀 ，sinB = % ^^, s i n c = ^ ¥ 或其他相应变形公式求解.⑶已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如 出 现 “2 + / 一 02=及6 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.跟踪训练1 (1)Z\4BC的三个内角A, B, C 所对边的长分别为a, b, c, asin Asin 8 + 6cos2A= @ ，则 伊 于 ()A. 2小 B. 2巾C.y[3 D.y/2(2)在△ABC中，内角A, B, C 的对边长分别为a, b, c , 已知，且 sin(4—C)=2cos Asin C , 贝 Ub 等于( )A. 6 B. 4C. 2 D. 1题型二和三角形面积有关的问题例 2 (2016•浙江) 在△A8C中，内角A, B , 所对的边分别为小b, c.己知 +c=2ocos 8.(1)证明：A =28；2(2)若的面积5 = ? 求角4 的大小.思 维 升 华 ( 1)对于面积公式S=T(必sin C=gacsin 8=&>csin A, 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.跟踪训练2在△ABC中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c.若 c2=(a-6)2+6, c = ?则aA B C 的 面 积 是 ( )A. 3 B.华D. 34题 型 三 正 弦 定 理 、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状引申探究1 . 例 3⑵中，若将条件变为2sin Acos B = sin C ,判断△4 8 C 的形状.2 . 例 3(2)中，若将条件变为d + / 一 c2=a4 且 2cosAsinB=sin C , 判断△ABC的形状.例 3 (1)在AABC中，角 A, B, C 所对的边分别为小b, c , 若乐cos A ,则△48<7为( )A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 等边三角形(2)设AABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 bcos C+ccos B=asin A ,则 AABC的 形 状 为 ( )A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定 命题点2求解几何计算问题例 4 (2015•课标全国H)如图，在△ABC中，。
是 BC上的点，4 平分/B 4C , △48面积是△AQC面积的2 倍.B D C—sin B⑴求「7 ；— sin C(2)若 AO=1, DC=与 ，求和AC的长.思 维 升 华 ( 1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+ B +C =?r这个结论.(2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. 跟踪训练3 (1)在△ABC中，内角A, B, C 所对的边长分别是a, b , c ,若 c-acos B=(2a- b ) c o s A,则△ABC的形状为( )A . 等 腰 三 角 形 B . 直角三角形C . 等腰直角三角形 D . 等腰或直角三角形(2)(2015•课标全国I )在 平 面 四 边 形 中 ，/A = /B = N C = 7 5 ，B C = 2 ,则 A 8的取值范围是.审题路线图系列二审结论会转换典例(12分) 在△ABC中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b , c,已知〃一。
= 干力，sin B= ^ s in C.(1)求 cos A 的值;⑵ 求 cos( 2A—§ 的值. (1)求cos A根据余弦定理求三边a , ，C •的长或长度问题£已有a - c = 6 b利用正弦定理将sin C化为b = # c⑵ 求：cos( 2A一― »| 求cos 23sin 2A求sin A, cos A第(i)问已求出 cos A根据同角关系求sin A规范解答解( 1)在AABC中，由 肃 为 = 肃 ^ 及 sin 8 = ,s in C,可得b = # c , ［ 2 分］又由a — = 乎方，有 a=2c, ［ 4 分］斫以 4 / 6c2+ 02—4 / 季 分］所以 cos A— 2bc — 2加 J — 4 0 分］(2)在△ABC 中，由 cos A = 乎 ，可得sin 4 = 呼 . ［ 8 分］c1于是，cos 2A= 2cos~A — 1 = —［ 9 分］y/Tssin 2A= 2sin A-cos A = 4^- ［ 10 分］所以，cos( 2A—§ =cos 2Acos ^+sin 2Asin 季rX害S吟 & 2分］ 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 系 ^ T C b2+ c2- 2 b c c o s Ac2+ a2—2 c a c o s B c i1+ b2—2 a b c o s C ( 1 ) 2 / ? s i n B 2 / ? s i n CZ >2+2 / +/ —02( 3 ) s i n A ： s i n B ： s i n C3 . ( 2 ) / c s i n 3 ^h c s in A思考辨析⑴ X ( 2 ) V ( 3 ) x ( 4 ) X ( 5 ) 7( 6 ) V考点自测1 . A 2 . C 3 . D 4 . y 5.4小题型分类深度剖析例 1 ( 1 ) 1解析 因为s i n 8=3且8 G ( 0 , n ) ,所以8弋 或8=第J I又 。
= 不 B+C °） ，则 a = ks \n A, b = ks in B, c = ks in C, 八 、 . c o s A . c o s B s i n C,代人- -a- -;— =b- - - - - -c- - 中，有c o s A . c o s B s i n C m 〃 / / aks in A 依i n B~ks in C9 父 , 可 仔s i n A s i n B = s i n A c o s B + c o s A s i n B= s i n ( A + B ) .在△ A B C 中，由 A + 8+C =m有 s i n ( A + B ) =s i n ( 7 r —C) =s i n C.所以 s i n A s i n 8=s i n C.② 解 由已知，b2+c2- a2= ^b c ,根据余弦定理，有t r + ^ —a1 3c o s A = 2，由( 1 ) 知，s i n A s i n B = s i n A c o s B + c o s A s i n B,443所以§ s i n B= gc o s B + ^ s i n B.故 t a n B =s i n B A7 1 ~ 4 ,c o s B跟踪训练1 ( I ) D ( 2 ) C [ ( 1 ) ( 边化角)由 a s in A s i n B+h c o s r A= y [ 2 a 及正弦定理，得s i n A s i n A s i n B + s i n B c o s2A = , \ / 2 s i n A ,即 s i n B= y [ 2 s in A,所以£ = 需 3=蛆 ♦故选D .( 2 ) ( 角化边)由题意，得 s i n A c o s C —c o s A s i n C= 2 c o s A s i n C,即 s i n A c o s C= 3 c o s A s i n C,由正弦、余弦定理，得n2 + / ?2—c2 kr +d 1 —c T- 2 ^ ~ = 3 。
-酝 -整理得2 ( 2 — 2 ) = / ，①又 / 一0 2 = 6 , ②联立①②得匕=2,故选C. ]例 2 ⑴证明 由正弦定理得 s i n B + s i n C= 2 s i n A c o s B ,故 2 s i n A c o s B = s i n 8 + s i n ( 4 + 8 ) =s i n 3+s i n A c o s B + c o s A s i n B, 于是 s i n B = s i n ( A —B ) .又 A , B £ ( 0 , 兀 ) ，故 O V A —8V兀 ，所以 3=兀 一( A —3 ) 或 B = A - B ,因此4=兀 ( 舍去) 或4=28,所以A = 2 8 .⑵ 解 由S =冬,得 科 s i n C =上 ,故有 s i n B s i n C= ^ s i n A=； s i n 2 8 = s i n Bc o s B,由 s i n B K O ,得 s i n C= c o s B.又 B, C C ( 0 , 兀) , 所以 C =； ± B .T T T T当 8+C =z时，A = ] ;当 C —3 = 5 时，A=； .综上，A = ^ 或 A=： .跟踪训练2 Cc s i n C例 3 ( 1 ) A ( 2 ) B [ ( 1 ) 由] 〈 8$ 4,得 京 京 c o s A ,所以 s i n C< s i n B c o s A ,即 s i n ( A + B ) < s i n B c o s A ,所以 s i n A c o s B<0 ,因为在三角形中s i n A >0 ,所以 c o s B < 0 ,即 8为钝角，所以△ A B C为钝角三角形.( 2 ) 由正弦定理得 s i n B c o s C+ s i n Ce o s 3=s i n - ,/ . s i n ( Z ? +C)=s i n 2 A ,即 s i n ( 7 u —A ) = s i n2A , s i n A = s i n 2 A .V A G ( 0 , 兀 ) ，A s i n A >0 , . \ s i n A = l ,即A = W ，/ . △ A B C为直角三角形. ]引申探究1 .解 V 2 s i n A c o s B = s i n C= s i n ( A + B ) ,. \ 2 s i n Ac o s 8=s i n A c o s 8 + c o s Bs in A,. \ s i n ( A —B ) = 0 , 又 A, 8 为5 c 的内角.：.A = B, •••△ABC为等腰三角形.2 . 角 星 Vtz2+/?2——d= ab,•"c o s C =_2^b-=2'兀X 0 < C
SZ X A£ >C= / A C ， AOsin NCAD因为 S&ABD=2S&ADC、NBAD= NCAD,所以 AB=2AC., -T - 34-^ sinB AC 1由正弦定理可仔 而 乙 = 而 = 了(2)因为 SAABD : SAADC=BD : DC,所以BD=〈1在△A3和△AQC中，由余弦定理，知AB2=ADr + BD2 - 2AD- BDcos ZADB,A C2= A ? +OC2—2AD- DCcos ZADC.故 AB2+2AC1=3AD2-\-BD2+2DC2=6,又由(1)知 A 3= 2A C ,所以解得4 =1.跟踪训练3 (1)D⑵ ( 港—啦 ，册 +也)解析 ( l ) ; c —4cos B=(2a—b)cos A,C=n~(A+B),，由正弦定理得sin C— sin Acos B=2sin Acos A -sin 8cos 4,/.sin Acos B+cos Asin B -sin Acos B= 2sin Acos A—sin Bcos A,/.cos A(sin B -sin A)=0,Acos A= 0 或 sin B=sin A,兀，A =g或 B = A 或 3 = 元 一 A( 舍去) ， ，AABC为等腰或直角三角形.(2)如图所示，延长BA与CD相交于点E , 过点C作CF//AD交AB于点、F , 则BF
，4 ECB=75 ,BE=CE, BC=2, s i n 75o =s i n 30o ,.•・BE号商户玳+ 也2y[f)—y[2
. ( )( 2 ) 俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［ 0 , 争 . ( )( 3 ) 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )7 T( 4 ) 方位角大小的范围是［ 0 , 2 无 ) ，方向角大小的范围一般是［ 0 , T ) . ( ) 2考点自测1 .（ 教材改编） 如图所示，设 A , B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点 C,测出AC的距离为50 m, N A C 8 = 4 5 ，N C 4 B = 1 0 5 后，就可以计算出A , B两点的距离为（）A . 5 M m B . 5 M mC . 25y[2 m D?'乎 m2 . 若点4在点C的北偏东3 0 °, 点B在点C的南偏东60 , 且 4 c = B C , 则点A在点B的（）A.北偏东1 5° B.北偏西1 5°C.北偏东1 0 ° D.北偏西1 0 °3 .（ 教材改编） 海面上有A , B , C三个灯塔，A B = 1 0 n mi le , 从 A望 C和 B成 60 视角，从 8望 C和 A成 7 5。
视角，则 8c等于（ ）A . 1 0 \ / 3 n mi le n mi leC . 5V5 n mi le D . 5乖 n mi le4 . 如图所示，D, C, B三点在地面的同一直线上，D C = a ,从 C,两点测得A点的仰角分别为60 ，3 0 °, 则 A点离地面的高度48=.5 . 在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东3 0 ，风速是2 0 k m/ h ；水的流向是正东，流速是2 0 k m / h , 若不考虑其他因素，救 生 艇 在 洪 水 中 漂 行 的 方 向 为 北 偏 东 ,速度的大小为k m / h .题型分类深度剖析题 型 一 求 距 离 、高度问题例 1 （ 1 ） 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B , C 的俯角分别为7 5 ，30 °, 此时气球 的 高 是 6 0 m,则河流的宽度BC 等于（） A. 240(73-l)m B. 180(6一l)mC. 120(^3-1) m D. 30(-\/3+l) m(2)(2016•三明模拟) 在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。
，6 0 ° ,则塔高是 m.思 维 升 华 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三南形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.跟踪训练1 (1) 一船以每小时15 km的速度向东航行， 船在A处看到一个灯塔B在北偏东60 ,行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A, 8 两点，从 A, 8 两点分别测得树尖的仰角为30 ，4 5 ° ,且 A, B 两点间的距离为60 m , 则树的高度为 m.题型二求角度问题例 2如图所示， 位于A 处的信息中心获悉： 在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救. 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 、 相距20海里的C 处的乙船,现乙船朝北偏东0的方向沿直线C B前往B处救援，则 cos 0的值为.思 维 升 华 解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步;⑶将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“ 联袂”使用. 跟踪训练2 如图，某人在垂直于水平地面A B C 的墙面前的点A处进行射击训练. 已知点A到墙面的距离为4 B , 某目标点尸沿墙面上的射线C M 移动，此人为了准确瞄准目标点P , 需计算由点A观察点P的仰角。
的 大 小 . 若 A B = 1 5 m , A C = 2 5 m , ZBCM =3 0 °, 贝 U t a n J 的最大值是（ 仰角9为直线A P与平面A B C所成角） .题 型 三 三角形与三角函数的综合问题例 3 （ 2 0 1 6 •长春质检） 已知函数y （ x ） = 2 s inx c os x + 2 小 c os 1 一4 5 .（ 1 ） 求函数人x ） 的最小正周期和单调减区间；A（ 2 ） 已知AABC的三个内角A , B, C的对边分别为a , b , c ,其中a = 7 , 若锐角A满足_ / （ 5 —奇= 小 ，且 s in 8 + s in C=^E 求 6 c 的值.思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.跟踪训练 3 设兀r ） = s inx c os x —c os （ x + ： ） .（ 1 ） 求人x ） 的单调区间；（ 2 ） 在锐角^ABC中，角 A, B, C的对边分别为a , h , c . 若 咛 ' ） =（ ） , a = \ ,求△ A 8 C 面积的最大值.思想与方法系列1 0 . 函数思想在解三角形中的应用典 例 （ 1 2 分） 某港口。
要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时,轮船位于港口北偏西3 0 且与该港口相距2 0 海里的A处， 并正以3 0 海里/ 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以/ 海里/ 小时的航行速度匀速行驶，经过f 小时与轮船相遇.（ 1 ） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（ 2 ） 假设小艇的最高航行速度只能达到3 0 海里/ 小时， 试设计航行方案（ 即确定航行方向和航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.规范解答： 答案精析基础知识自主学习知识梳理1 .上 方 下方3 .正北思考辨析⑴ X ( 2 ) X ( 3 ) J ( 4 ) J考点自测1 . A 2 . B 3 . D 4坐 5 . 6 0 0 2M题型分类深度剖析例1 ⑴ C ( 2 1解 析 ( 1 )如图，在△A C中，ZCAD=9 0 ° - 3 0 °= 6 0 °, AO =60m,所以 C D =AD t a n 6 0。
=6 0 V §( m ) .在△ A B O 中，N B A O= 9 0 ° —7 5 °= 1 5 °,所以 BD=AD-tan 1 5 0 = 6 0 ( 2 - 4 §) ( m ) .所以 BC= CD-BD=6即一60(2一 小 )=1 2 0 ( ^ 3 - l ) ( m ) .( 2 )如图，设塔A8高为/?,在 R t A C D B 中，CD=2 0 0 m ,Z B C D = 9 0 °- 6 0 °= 3 0 °,4 0附 / .=- 3 ( m ) .在△ A B C 中，ZABC=ZBCD=3Q0,Z A C B = 6 0 °- 3 0 °= 3 0 °,：.ZBAC= \20°. 在△ABC中，由正弦定理得BC _ ABsin 120 = sin 30 '. sin 30°「A B- sm 120400(m).跟踪训练1 (1)3即(2)30+30^3解析 ⑴ 如图，由题意，ZBAC=30°, /A C 8 = 105 ,.•.8=45°, AC=60km,小p今皿BC 4 c由正弦正理sin 30°-sin 450'SC=3(h/2 km.(2)在中，ZB4B=30°,NAPB=15°, AB=60,sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 300-cos 45°sin 30°=乎 X坐 一 半 X；y[6—yj2=4由正弦定理得焉=熹,|x 6 0'P B =至 后 30(乖+ g ,4树的高度为 PB sin 45。
= 30(加 + 小 ) X 竽 =(30+3() V§)(m).例 2唔解析 在△ABC 中，AB=40, 4 c =20, ZBAC= 120°,由余弦定理得B f^ ^ A ^ + A ^ -lA B AC cos 120°=2 800nBe= 2所 . 由正弦定理' 得sin/A C 8=sin/BA C" sin sin N 8 A C =々.DC /由NBAC=120 ，知乙4cB 为锐角，则 8 $ / 4 8 = 平 .由 6»= ZACB+3O0,得 cos 0=cos(NAC8+30 )=cosZACBcos 30°—sinZACBsin 30 = ^ ^ .跟踪训练2芈解析 如图，过点P 作 PO LBC于点0,连接A 0 ,则 /%"设 C0=x m , 贝 ！］ 0P= ^~x m.在 RtZ\A3C 中，AB=15m, AC=25 m,所以 8 c =20 m.4所以 cosZBC4=5.所以 A O = ^6 2 5 +X2-2X 25X X1=*\/x2- 40x+625(m).3 %所以tan 0= r-^——出 2 - 40x+625V3 V33 3当即彳 = 竽 时，tan®取得最大值为495一3-5 =sin 2x+小 cos 2%=2sin(2x+争,因此人 无 ) 的最小正周期为r = 竽= 兀jr TT 37r 7 T 7冗由 尤 + qW 2E + 爹(A£Z)得 E + 五豆，2£Z,即./U) 的单调递减区间为7 T 7兀伙兀+万，E + 五] (%£Z).⑵由胫一寿=2sin[2(?一6 + ?= 2 sin 4 = 小 ，JT又 A 为锐角，则 A = j由正弦定理可得2 2 卷=玄=/2・ P-L • 「 _+ c 1 3 ssin D\~sin C 2R 1 4 ，, 135 14则 b + c= ] 4 ,1 = 1 3 ，由余弦定理可知，/J2+C2—a2 (b+c)2—2bc—a2 1c o s A =一 赤 — = 痂 = 于可求得bc=40.. 9 l+cos( 2x+y跟踪训练3解( 1)由题意知力c ) = * T —--------1 -sin 2x 1 -sin 2x . - 1一 — — 2 ~sin 2x—2«717r 7 T T T由-2+2EW 2XW ] + 2E , k G Z ,可得一k Q Z ；j r3TE T T 3 7 1由2+ 2E W 2rW g+ 2E , g Z ,可得不 +左 兀 ・ 不 W丁十% 兀，kGZ.所以火x)的单调递增区间是[ —； + E , J + ^ ] ( ) t e z );单调递减区间是售+ E, 乎 + E(k£Z).(2)由 后 ) =sin A - 3=0,得 sin A= 2, 由题意知A 为锐角，所以cosA="^\由余弦定理 a* 3 2= i>2+ c2—2Z?ccos A,可得 1 +y［?>bc=b2+ < ? ^2bc,即 bcW2+，5 , 当且仅当6 = c 时等号成立.^^900r-600r+400=^ 9 0 0 (r-1 )2+300.［ 3 分］故 当 时 ，& 血 = 1即，。
邛= 3即 .3即小艇以3 M 海里/ 小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.［ 6 分］(2)设小艇与轮船在B 处相遇.贝 ij V2? =400+ 900/2-2-20- 30f cos(90° - 30°), ［ 8 分］故, ,z?2 - 9n n0n0 -6-0+0 -,4^0-0.•・・0voW30,2又 ［ = 1 时， =3°，故 0 = 3 0 时，1取得最小值,且最小值等于争2此时，在△OA8 中，有 QA = O8=A8=20.［ l l 分］故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/ 小时. ［ 12分］因 此为csin A所以△ ABC面积的最大值为2+思想与方法系列典例 解( 1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则［ 1 分］S=yj900r+400-2- 30t- 20- cos(90° - 30°).'.900600 , 400十 F-W900,即/2 一3考 0 , 解得2 。
