多元复合函数及隐函数的微分法.ppt

一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式5.2.35.2.3 多元复合函数的求导法则 多元函数微分学多元函数微分学多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法1° 1° 基本形式的复合函数偏导数的链式法则定理 : 设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处可导，在对应(x,y)的点(u,v)处，函数z=f (u,v)有连续偏导数，则复合函数f［u(x,y),v(x,y)］在点(x,y)处也可导，且多元复合函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法其中 将y固定，给自变量x以增量Δx,证于是函数u=(x, y), v=ψ(x, y)相应有增量Δu,Δv,从而函数z=f (u, v)也有相应增量Δz ，由于f (u, v)可微，所以以Δx≠0除上式两端，得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法当Δx→0时，对上式两端取极限，由定理条件即得同理可证 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的多元函数. .在满足定理的相应条件下，有: : 例如，对三元复合函数Q=f (u, v, w) ,其中u=u(x, y, z)，v=v (x, y, z)，w=ω(x, y, z).其结构图为:多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 设 z = eu cos v，解 因为多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法可得 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法2° 其它形式复合函数偏导数的链式法则称为全导数全导数. .以上公式中的导数 如果函数 )(xuf= 及)(xvy= 都在点 x x 可导, ,函数),(vufz = =在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数 )](),([xxfzyf= 在点x可导，且其导数可用下列公式计算： dxdvvzdxduuzdxdz¶¶+¶¶=． ( 1 )( 1 )。

多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 解: : 故 =2sin=2sinx xcoscosx x+2cos+2cosx xsinsinx x=2sin2=2sin2x x .多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法( 2°) 若z=f (u)可导，u = u (x, y)有连续偏导数，(结构如右下图)，则对复合函数z=f ［u(x, y)］有( 3°) 若z=f (x, u), u = (x, y)均具有连续偏导数，则对复合函数z=f［x,u (x, y)］，有多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 3求与解于是因为多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法所以多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 ( (i = 1 , 2 , 3) )， 有了这种记法， 就不一定要明显地写出中间变量 u， v， w .类似地，可求得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 4 设解在这个函数的表达式中， 乘法中有复合函数，所以先用乘法求导公式.多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法2、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, , 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法.),sin(5yzxzdzyxezxy¶ ¶¶ ¶¶ ¶¶ ¶+ += =与，并由此导出不变性求利用全微分形式设例多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法解所以多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法5.2.4.隐函数微分法 一般地说，能用y=f (x), z=f (x, y)等已将因变量解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式：F(x, y)=0, F(x, y, z)=0, 能确定出函数y=f (x), z=f (x, y)，这种未解出因变量，只是由方程形式确定的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导，有下面的：多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 设求解则由公式得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 设函数z=f (x, y)由方程sinz=xyz确定， 求 解法1则故 设F(x, y, z)=sinz－xyz,多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法解法2故 同理可得 方程sinz=xyz两边分别对x求偏导，得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 设 求 解 : 欲求 ，应先求出 , 再求 ，故 所以所以，设F= 最后以x=1, y=－2, z=1代入即可. 由z=f (x, y)是由方程确定的隐函数，多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法故 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法例 设其中 a , b , c 为常数， 函数 可微证两边对 x 求导解得①①证明多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法同理②②a   ①① + b   ②② 于是有即为所证.多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法**隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本思想和方法也完全类似在满足一定条件下，确定了隐函数求利用复合函数求导法则，在方程F(x, y, u,v)=0及G(x, y, u, v)=0两端同时对x求偏导数，但要注意到u, v是自变量x, y的函数，我们得到例如，方程组多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法将 视为未知量，用消元法解上面的线性方程组，即可求得 同理可求得 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法**例 由 求 解法1 方程组两端分别对x求偏导数用消元法解此方程组得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法同理，方程组两端分别对y求偏导数，解相应的未知量为 , 的线性方程组，可求得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法解法2 利用一阶全微分形式不变性，方程组两端分别微分，有以du, dv为未知量，解此方程组得多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法。