八年级数学上册17.3勾股定理用勾股定理证题素材（新版）冀教版.doc

用勾股定理证题勾股定理是平面几何中最重要的定理之一．下面举例说明用它证明含有线段平方的等式．例1 如图1，已知AD是△ABC的中线，求证：AB2+AC2=2（AD2+BD2）证明 过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，由勾股定理，得AB2=AE2+BE2，AC2=AE2+EC2，AE2=AD2－DE2∴AB2+AC2=2AE2+BE2+EC2=2AD2－2DE2+BE2+EC2又BE=BD+DE，CE=CD－DE及BD=CD．故有 AB2+AC2=2AD2－2DE2+（BD+DE）2+（CD－DE）2=2（AD2+BD2）例2 如图2，已知梯形ABCD中，AD‖BC，AB=DC．求证：AC2=AB2+ADBC证明 作AE⊥BC于E，在Rt△ACE和Rt△ABE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2，AE2=AB2－BE2∴AC2=AB2－BE2+EC2=AB2+（EC+BE）（EC－BE）=AB2+BC（EC－BE）∵四边形ABCD是等腰梯形．∴EC－BE=AD∴AC2=AB2+ADBC例3 如图3，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC2=AB2+ABBC证明：作AD⊥BC于D，延长CB到E，使BE=BA，连接AE，在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2∴AC2－AB2=AD2+DC2－AD2－BD2=DC2－BD2=（DC+BD）（DC－BD）=BC（DC－BD）又由BE=BA，得∠ABC=2∠E故有 ∠E=∠C，得AE=AC；再由AD⊥EC，得ED=CD．∴DC－BD=ED－BD=EB=AB∴AC2－AB2=ABBC即 AC2=AB2+ABBC通过上面几例可以看出，利用勾股定理证明线段之间的关系时，关键是作垂线构造直角三角形，然后由勾股定理及代数中的完全平方公式或平方差公式作恒等变形，来达到证明的目的．2。