第十二讲游戏必胜的策略.doc

第十二讲游戏必胜的策略我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马规定各从口己的马 中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马每胜一场可得一千 金田忌的这三个等级的马都不如齐王的好但m忌的上等马要优于齐王的中等马，［□忌 的中等马要优于齐王的下等马出忌的朋友孙膑给他出了一•个主意，叫出忌用下等马对齐王 的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马结果，出忌先负一场然后连胜 两场，反而赢了i千金这个故事是对策的一个典型例子他告诉我们：在竞争吋，要认真 分析研究、寻求并制定尽对能好的方案利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候, 也不至于输得太惨这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科下面我们就根据这个理论来想一想对策：例1、 两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数例如第一个数1、2,第二个接着往卞数3,也可以数3、4,还可以数3、4、5,o如此继续卞去， 谁先数到100,谁就算胜请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到100,必须抢到96.这时切一个人只能数97或97、98或数97、98、99,无法 数到100如何才能抢到96呢?有必须抢到92.以此类推,得到一列数92、88、84、…、4. 只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（lWaW3）时，就报（4心 个数， 这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n （n=K 2…）因此第二个人就有必胜的 策略。

只有在第二个人产牛错误时，笫一个人才能获胜思考：如果将100改为101或99,其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4 呢？）例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟甲乙两人轮流从中拿走1根或儿根甚至一堆， 但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？分析：这是另一类对策游戏我们先考虑特殊情况当两堆中的火柴根数相同时，后取者只 要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根对一般情况可以 化为特殊情况解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数和同然后每次根据对手取得 根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获腔 说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜例3、 一张3X10的长方形网格纸有30个小方格甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一 刀只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一 刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜卬要 想获胜，有何策略？分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形, 知道取胜为止。

解：甲先剪下7X3的一块，把3X3的那块送给乙乙只能剪成1X3和2X3的两块若送 给甲1X3的那块，正好使甲剪下1X2而获胜若送给甲2X3的那块，那么甲再一刀剪成 1X2和2X2的两块,把2X2的送给乙乙只可能切成1X2的两块其中一块送给甲， 甲述是获胜同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法例4、下图是一张山4X10个方格组成的棋盘，一人持白子置于A位，另一人持黑子置于B 位随后两个人轮流走子，每一次可以沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守下列游 戏规则：(1) 不允许和对方的棋子在同一•条直线上2) 不能越过对方棋子所在的直线伦到谁无路可走，就算输解：如果棋盘只有一个方格，两子置于正方形的对角，谁先走谁输A1A■■ •分析：为了找到规律，我们先从最简单的情况入手，以便找到获胜的策略⑵ A在22的棋盘上，先走者按规则只能走动一格，这时后者仍能走一格，变成(1)图中的形势 因此，持白子的人第一步应沿长边移动6格到C点处，C与B是4X4的止方形对角(两个 相对的顶点)然厉不论黑子如何移动，白子均可移动，使他和黑子仍然处于一个较小的正方 形的对角，直至变成1X1止方形，黑子认输。

总结：以上儿例，实质上都是利川一种对称原理来解决的只要抢先给对方制造一个对称图 形，输的人一定是对方例4、 甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数游戏规则：不允许写黑板上已写过的 数的约数轮到谁无法写数时，就是输者现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要 什么对策？分析：仍然利川对称原理抢先给对方制造一个对称只要甲先写6.解：甲先写6乙还有4、5、7、8、9. 10 A个数可以选择把他们分成三纽(4,5)、 (&10)、(7,9)o乙写某组数中的一个时，卬就写同组数中的另一个，从而一定获胜练习1、 甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8Z内的自然数把两人报的数逐次相加， 谁正好使和达到88,谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？2、 桌而上有1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取1根或2根，谁取到最后-•根火柴谁获胜 问获胜的策略是什么？3、 有两个箱子分别装有63、108个球甲乙两个轮流在任意箱中取球，规定取得最后一个 球的为胜甲先取，他应如何取才能取胜？4、 现有三堆火柴，分别为3、5、8根两人轮流取，每次可以取走其中的一堆，也可以取 走一堆中的若干根(一次不能从两堆中取，最少要取一根)谁取到最后一•根或一堆， 谁获胜。

先取的人要保证获胜的策略是什么？5、 把16枚棋子排成一行甲乙二人轮流取走棋子，每人每次可以取走紧挨着的两枚（如 果两枚棋了当中已经有其他棋子被取走，就不算紧挨，就不能同一次取走）如果在甲取 走棋子后，乙再也找不到紧挨着的两枚棋子可以取，甲获胜叩有获胜办法吗？6、 图中是张2X9棋盘甲置白子于A位，乙置黑子于B位随后两人轮流走子，每- 步可沿-条横线或-条竖线中的-条至少走-格，并遵循如下规则：（1） 不允许和对方棋子处于同一 •条横线或竖线2） 不能越过对方棋子所在的横线或竖线3） 轮到谁的棋子无法移动就算失败，若甲先走，甲有胜乙的办法吗？。