高考数学总复习《抛物线》专项测试卷含答案.docx

高考数学总复习《抛物线》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点　1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用．一　抛物线的定义　我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．二　抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下常/用/结/论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，α为弦AB的倾斜角，则：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝，|BF|＝；由抛物线定义得出． (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝；由(2)得|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝.(4)＋＝；(5)以弦长AB为直径的圆与准线相切．1．判断下列结论是否正确．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()(4)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．()2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)A．9 B．8 C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B．答案：B3．(2024·河北邯郸月考)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.答案：44．(2024·福建龙岩模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则·＝________.解析：设B(x0，y0)．由题意知F(1,0)，以AF为直径的圆为x2＋y2＝1，由方程组消去y并整理，得x2＋4x－1＝0.因为x≥0，所以x0＝－2.又由题意，得A(－1,0)，所以＝(－2,0)，＝(x0－1，y0)，所以·＝(－2,0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2×(－2)＝6－2.答案：6－2题型　抛物线定义的应用典例1 (1)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的　　　　　联想抛物线的定义，需转化成距离相等．轨迹方程是(　　)A．y2＝16x B．y2＝－16xC．x2＝16y D．x2＝－16y(2)(2024·华东师大附中模拟)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线x2＋y2－8x－2y＋16＝0上一动点，则|PF|＋|PQ|的最小值为________．解析：(1)依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离与它到点M(－4,0)的距离相等，所以动点P的轨迹是以M为焦点，直线x＝4为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝－16x.故选B．(2)由抛物线C：y2＝4x，可得F(1,0)，准线方程为l：x＝－1.x2＋y2－8x－2y＋16＝0即(x－4)2＋(y－1)2＝1，表示以M(4,1)为圆心，以1为半径的圆．如图所示，过点P作PA⊥l，垂足为A，连接PM，交圆M于Q，则|PF|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1.【两步转化】从|PF|到|PA|，利用了抛物线的定义，而从|PQ|到|PM|－1，则利用了圆外一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，如此我们便可利用平面几何知识求最值了．连接AM，则|PA|＋|PM|－1≥|AM|－1，当且仅当A，P，M三点共线时取等号．过点M作MA1⊥l，垂足为A1，交抛物线于P1，交圆M于Q1，则|AM|－1≥|A1M|－1.综上，要想得到|PF|＋|PQ|的最小值，则A，P，Q，M四点共线，且所在直线与准线l垂直时|PF|＋|PQ|取最小值，为|A1M|－1＝5－1＝4.故答案为4.抛物线定义的应用策略对点练1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图2所示的抛物线C：x2＝－2py(p>0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝，则p＝(　　)图 1　　　　　　 　图 2A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)A． B． C．2 D．解析：(1)由题意知F，设|PF|＝2a，a>0，则P，由抛物线的几何性质知＋a＋＝2a，则a＝p，所以P，所以|OP|＝＝，解得p＝1.故选A．(2)直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，此时d1＋d2的值最小，最小值为点F到直线x＋y－4＝0的距离．∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝＝.答案：(1)A　(2)B题型　抛物线的标准方程典例2 (1)(2024·江西九所重点中学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(x0,2)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点．若cos∠MFG＝，则抛物线C的方程是(　　)A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x(2)试分别求满足下列条件的抛物线(顶点在原点，对称轴为坐标轴)的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．①过点(－3,2)；　(－3,2)在第二象限，可知抛物线开口向上或向左．②焦点在直线x－2y－4＝0上．由于是标准方程，则分别令x＝0，y＝0可得焦点为(0，－2)或(4,0)．(1)解析：如图，作MD⊥EG于D，由M(x0，2)在抛物线C上，得8＝2px0，　　　　将∠MFG放在直角三角形中便于运算．即px0＝4.又C的准线方程为x＝－，易知|FM|＝x0＋，显然|DM|＝x0－.　由焦点联想准线．因为cos∠MFG＝，所以sin∠MFG＝，因此＝sin∠MFG＝，即＝，整理得x0＝p，与px0＝4联立，解得p＝x0＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.故选C．(2)解：①设所求抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．∵抛物线过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y，对应的准线方程分别是x＝，y＝－.②令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．设所求的抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.求抛物线标准方程的常用方法对点练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝4x B．y2＝6xC．y2＝8x D．y2＝10x(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：(1)∵抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∴准线为x＝－.∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴＝4.∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.(2)因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点为F，△FPM是等边三角形，所以|PM|＝4，|MF|＝4，即解得因此抛物线的方程为x2＝4y.答案：(1)C　(2)x2＝4y题型　抛物线的几何性质典例3 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)A．p＝2B．|MN|＝C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形(2)(2024·天津南开中学测试)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点B，满足直线FB与y轴正半轴交于点M，且B在F，M之间．若|FB|＝2|BM|，且点B利用抛物线的定义转化成点B到准线的距离．到抛物线准线的距离为，则点M的纵坐标为(　　)A．1 B． C． D．(3)(2023·全国乙卷，理)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准　　　　　　　　 可求出p＝.线的距离为________．解析：(1)A选项：直线y＝－(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以＝1，p＝2,2p＝4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2＝4x.B选项：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B选项错误；也可由根与系数的关系求出x1＋x2＝－＝.C选项：设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确；D选项：不妨设xM＝x1＝3，xN＝x2＝，　　　　　点的坐标易求，可直接计算出三角形的三条边，进而作出判断．所以y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，又|MN|＝，所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误．故选AC．(2)如图。