《高斯求和》教学文案.ppt

《高斯求和》《高斯求和》大家好，你们大家好，你们猜猜这是谁？猜猜这是谁？ 这是德国著名的数这是德国著名的数学家高斯！他非常非学家高斯！他非常非常的厉害，接下来我常的厉害，接下来我们来听听他的故事们来听听他的故事1+2+3+4+5+ ······ +96+97+98+99+100 哇唔！！这要算好久好哇唔！！这要算好久好久啊！！小朋友们，你们有久啊！！小朋友们，你们有没有什么好方法？没有什么好方法？1+2+3+4+5 ······ +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+ ······ +5+4+3+2+1= 101+101+101+101+ ······ +101+101+101+101100100个个101101= 101×100= 101001+2+3+4+5 ······ +96+97+98+99+100= 10100÷2= 5050我们来看看高斯是怎么我们来看看高斯是怎么来做的【例【例1】认识等差数列】认识等差数列（（1））2、、4、、6、、8、、10、、12、、14、、16（（2））101、、98、、95、、92、、89、、86、、83（（3））6、、6、、6、、6、、6、、6、、6、、6、、6这三个数列都是这三个数列都是等差数列等差数列，相邻两数的差都相等。

相邻两数的差都相等其中第一个叫其中第一个叫首项首项；； 最后一项叫最后一项叫末项末项，，因为相邻两个数的差相等，所以这个差叫因为相邻两个数的差相等，所以这个差叫公差公差2101616836公差公差: 2公差公差: 3公差公差: 0数列中数的个数是数列中数的个数是项数项数4））1、、2、、4、、7、、11、、15、、21、、28（（5））1、、2、、1、、2、、1、、2、、1、、2、、1题组一题组一1. 相邻两数的差都相等的数列叫（相邻两数的差都相等的数列叫（ ），）， 其中第一个叫（其中第一个叫（ ）；最后一个叫（）；最后一个叫（ ）；）；数列中的个数是（数列中的个数是（ ），因为相邻两数的差），因为相邻两数的差都相等，所以叫（都相等，所以叫（ ） 2. 下列数列不是等差数列的是（下列数列不是等差数列的是（ ） A. 7、、8、、7、、8、、7、、8、、7、、8、、7 B. 0、、5、、10、、15、、20、、25、、30、、35 C. 50、、48、、46、、44、、42、、40、、38、、36、、34、、32等差数列等差数列首项首项末项末项项数项数公差公差A1+2+3+4+5 ······ +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+ ······ +5+4+3+2+1= 101+101+101+101+ ······ +101+101+101+101100100个个101101= 101×100= 101001+2+3+4+5 ······ +96+97+98+99+100= 10100÷2= 50501+2+3+4+5 ······ +96+97+98+99+100= （（1+100））×100÷2= 101×100÷2= 101×50= 5050和和 = （首项（首项 + 末项末项 ））× 项数项数 ÷ 2和和 =（首项（首项+末项）末项）×项数项数÷2等差数列的和等差数列的和跟跟首项首项，，末项末项和和项数项数有关。

有关【例【例2】求和：】求和：1+2+3+4+ ······ +19+20和和 =（首项（首项+末项）末项）×项数项数÷2= （（1+20））×20 ÷2= 21×20÷2= 21×10= 210题组二题组二（（1））1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= （（1+19））×10÷2= 20×10÷2= 20×5= 100（（2））2+4+6+8+10+12+14+16+18= （（2+18））× 9÷2= 20×9÷2= 9×10= 90题组二题组二（（3））2+9+16+23+30+37+44+51+58= （（2+58））×9÷2= 60×9÷2= 30×9= 270（（4））25+21+17+13+9+5+1= （（25+1））× 7÷2= 26×7÷2= 13×7= 91题组二题组二（（5））90+85+80+75+70+65+60+55+50+45+40= （（90+40））×11÷2= 130×11÷2= 65×11= 715【例【例3】计算】计算 4+7+10+13+ ······ +28+31+34+37第二项：第二项：4 和和 7之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差第三项：第三项：4 和和10之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 1323×2第四项：第四项：4 和和 13之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差第五项：第五项：4 和和16之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 33×343×4··············末项：末项：4 和和37之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差 （（7- 4））（（10- 4））（（13- 4））（（16- 4））（（37- 4））3× 1111项数＝相隔数＋项数＝相隔数＋1项数＝（末项－首项）项数＝（末项－首项）÷÷公差＋公差＋1 1【例【例3】计算】计算 4+7+10+13+ ······ +28+31+34+37项数＝（项数＝（37－－4））÷（（7－－4）＋）＋1 ＝＝ 33÷3＋＋1 ＝＝ 11＋＋1 ＝＝ 12和＝（和＝（37＋＋4））×12÷2 ＝＝ 41×12÷2 ＝＝ 41×6 ＝＝ 246和和 =（首项（首项+末项）末项）×项数项数÷2项数项数 = （末项－首项）（末项－首项）÷÷公差＋公差＋1 1题组三题组三（（1））10+11+12+13+······+49+50项数项数 = （（50－－10））÷（（11－－10）＋）＋1= 40÷ 1＋＋1= 40＋＋1= 41和和 = （（10+50））× 41÷2= 60×41÷2= 30×41= 1230项数项数 = （末项－首项）（末项－首项）÷÷公差＋公差＋1 1题组三题组三（（2））1+3+5+7+9+······+97+99项数项数 = （（99－－1））÷（（3－－1）＋）＋1= 98÷ 2＋＋1= 49＋＋1= 50和和 = （（1+99））× 50÷2= 100×50÷2= 100×25= 2500题组三题组三（（3））6+10+14+18+······+94+98项数项数 = （（98－－6））÷ （（10－－6）＋）＋1= 92÷ 4＋＋1= 23＋＋1= 24和和 = （（6 + 98））× 24 ÷ 2= 104×24÷2= 104×12= 1248题组三题组三（（4））28+25+22+19+······+4+1项数项数 = （（28－－1））÷（（28－－25）＋）＋1= 27÷ 3＋＋1= 9＋＋1= 10和和 = （（28+1））× 10÷2= 29×10÷2= 29×5= 145题组三题组三（（5））97+92+87+82+······+12项数项数 = （（97－－12））÷（（97－－92）＋）＋1= 85÷ 5＋＋1= 17＋＋1= 18和和 = （（12+97））× 18÷2= 109×18÷2= 109×9= 981题组三题组三（（6）在）在14和和30之间插进三个数，使这五个数之间插进三个数，使这五个数构成等差数列。

这三个数分别是多少？构成等差数列这三个数分别是多少？（首项－末项）（首项－末项）（（30－－14））÷ （（5－－1））= 16 ÷ 4= 414＋＋4＝＝1818＋＋4＝＝2222＋＋4＝＝26公差公差 =÷（项数－（项数－1））公差公差 =【例【例4】计算】计算 3+7+11+15+ ······ （共（共20项）项）第二项：第二项：3 和和 7之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差第三项：第三项：3 和和11之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 1= 42= 4×2第四项：第四项：3 和和 15之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差3= 4×3··············末项：末项：3 和末项之间有和末项之间有 个间隔，个间隔， 相差相差 7- 312- 315- 3 - 3=4×1919末项－首项＝公差末项－首项＝公差×（项数－（项数－1））末项＝公差末项＝公差××（项数－（项数－1 1）＋首项）＋首项【例【例4】计算】计算 3+7+11+15+ ······ （共（共20项）项）末项＝（末项＝（7-37-3））××（（2020－－1 1）＋）＋3 3 ＝＝ 4×19 4×19＋＋3 3 ＝＝ 76 76＋＋3 3 ＝＝ 79 79和和 ＝（＝（3 3＋＋7979））×20÷2×20÷2 ＝＝ 82×20÷2 82×20÷2 ＝＝ 82×10 82×10 ＝＝ 820 820题组四题组四（（1））5+10+15+20+······（共有（共有11项）项）末项末项 = （（10－－5））×（（11－－1）＋）＋5= 5×10＋＋5= 50＋＋5= 55和和 = （（5+55））× 11÷2= 60×11÷2= 30×11= 330末项＝公差末项＝公差××（项数－（项数－1 1）＋首项）＋首项题组四题组四（（2））3+6+9+15+······（共有（共有15项）项）末项末项 = （（6－－3））×（（15－－1）＋）＋3= 5×14＋＋5= 70＋＋5= 55和和 = （（5+55））× 11÷2= 60×11÷2= 30×11= 330题组四题组四（（3））4+7+10+13+······（共有（共有13项）项）末项末项 = （（7－－4））×（（13－－1）＋）＋4= 3×12＋＋4= 36＋＋4= 40和和 = （（4+40））× 13÷2= 44×13÷2= 22×13= 286题组四题组四（（4））11+16+21+26+······（共有（共有16项）项）末项末项 = （（16－－11））×（（16－－1）＋）＋11= 5×15＋＋11= 75＋＋11= 86和和 = （（11+86））× 16÷2= 97×16÷2= 97×8= 776【例【例5】计算】计算 1456－－1－－3－－5－－ ······－－37－－391456－－1－－3－－5－－ ······－－37－－39= 1456－（－（1＋＋3＋＋5＋＋ ······＋＋37＋＋39））= （（1＋＋39））×20÷2= 40×20÷2= 800÷2= 400原式原式 = 1456－－400只要求只要求: 1＋＋3＋＋5＋＋ ······＋＋37＋＋39= 1056项数项数 = （（39－－1））÷ （（3－－1）＋）＋1= 38÷ 2＋＋1= 19＋＋1= 20项数项数 = （首项－末项）（首项－末项）÷ 公差＋公差＋1（（1）） 200 －－ 1 －－ 2 －－ 3 －－ 4 －－ ······ －－ 19= 200 －－ （（1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋ ······＋＋19））= 200 －－ （（1＋＋19））×19÷2= 200 －－ 20×19÷2= 200 －－ 380÷2= 200 －－ 190= 10项数项数 = （（19－－1））÷ （（2－－1）＋）＋1= 18÷ 1＋＋1= 19＋＋1= 19项数项数 = （首项－末项）（首项－末项）÷ 公差＋公差＋1题组五题组五（（2）） 420－－38－－36－－34 －－······ －－4 －－2= 420－（－（38＋＋36＋＋34 ＋＋ ······＋＋4 ＋＋2））= 420－－（（38＋＋2））×19÷2= 420－－40×19÷2= 420－－760÷2= 420 －－ 380= 40项数项数 = （（38－－2））÷ （（38－－36）＋）＋1= 36÷ 2＋＋1= 18＋＋1= 19项数项数 = （首项－末项）（首项－末项）÷ 公差＋公差＋1题组五题组五【例【例6】某电影厅有】某电影厅有25排座位，第一排有排座位，第一排有20个座个座位，以后每排都比前一排多位，以后每排都比前一排多2个座位，这个电影个座位，这个电影厅一共有多少个座位？厅一共有多少个座位？末项＝公差末项＝公差××（项数－（项数－1 1）＋首项）＋首项20+22+24+26+······ （共有（共有2525项）项）末项末项 = 2 ×（（25－－1）＋）＋20= 2×24＋＋20= 48＋＋20= 68和和 = （（20+68））× 25÷2= 88×25÷2= 44×25= 1100（（1）某电影厅有）某电影厅有20排座位，以后每排都比前一排座位，以后每排都比前一排多排多2个座位，最后一排有个座位，最后一排有68个座位，这个电影个座位，这个电影厅一共有多少个座位？厅一共有多少个座位？68+66+64+62+······ （共有（共有2020项）项）68 = 2 ×（（20－－1）＋末项）＋末项68= 2×19＋末项＋末项68= 38＋末项＋末项末项末项= 30和和 = （（30+68））× 20÷2= 98×20÷2= 98×10= 980（个）（个）题组六题组六首项＝公差首项＝公差××（项数－（项数－1 1）＋末项）＋末项（（2）一堆粗细均匀的原木，最上面的一层有）一堆粗细均匀的原木，最上面的一层有3根，每向下一层增加根，每向下一层增加1根，共有根，共有10层，这堆圆木层，这堆圆木共有多少根？共有多少根？3+4+5+6+······（共有（共有1010项）项）末项末项 = 1 ×（（10－－1）＋）＋3= 1×9＋＋3= 9＋＋3= 12和和 = （（3+12））× 10÷2= 15×10÷2= 15×5= 75（根）（根）题组六题组六末项＝公差末项＝公差××（项数－（项数－1 1）＋首项）＋首项1. 208－－207+206－－205+204－－203+······ －－3+2 －－1= 208+206+204+······+2 －－207－－205－－203－－······－－3－－1= （（208+206+······+2 ））－（－（207+205+······+3+1））项数项数1 = （（208－－2））÷ （（208－－206）＋）＋1=206÷ 2＋＋1= 103＋＋1= 104项数项数1 = （（207－－1））÷ （（207－－205）＋）＋1=206÷ 2＋＋1= 103＋＋1= 104= （（208+2 ））×104÷2－（－（207+1））×104÷2= 210×104÷2－－208×104÷2= 210×52－－208×52= （（ 210 －－ 208））×52= 2×52= 1041. 208－－207+206－－205+204－－203+······ －－3+2 －－1= （（208－－207））+（（206－－205））+······+（（2－－1））= 1+1+1+······+1104 个个 1= 104×1= 1042.（（2+4+6+······+2008 ））－（－（1+3+5+······+2007））项数项数1 = （（2008－－2））÷ （（4－－2）＋）＋1=2006÷ 2＋＋1= 1003＋＋1= 1004项数项数1 = （（2007－－1））÷ （（3－－1）＋）＋1=2006÷ 2＋＋1= 1003＋＋1= 1004= （（2+2008 ））×1004÷2－（－（1+2007））×1004÷2= 2010×1004÷2－－2008×1004÷2= 2010×502－－2008×502= （（ 2010 －－ 2008））×502= 2×502= 10042.（（2+4+6+······+2008 ））－（－（1+3+5+······+2007））= 2+4+6+······+2008－－1－－3－－5－－······－－2007= （（2－－1））+（（4－－3））+（（6－－5））+······+（（2008－－2007））= 1+1+1+······+1= 1004×1= 10041004 个个 13.在前在前100个自然数中，除以个自然数中，除以3余余2的所有数相加的所有数相加的和是多少？的和是多少？解析：解析：这列等差数列的和为：这列等差数列的和为：5+8+11+14+······+98项数项数 =（（98－－5））÷（（8－－5））+1=93÷3+1=31+1=32= （（5+98））×32÷2= 103×32÷2= 103×16= 16484. 从从1到到60的连续自然数中，取两数相加，使这的连续自然数中，取两数相加，使这两数相加的和大于两数相加的和大于60，有多少种不同的取法，有多少种不同的取法？？解析解析60：：1 ~ 5959种种59：：2 ~ 5857种种58：：3 ~ 5755种种············32：：29~ 313种种31：：301种种57：：4 ~ 5653种种59+57+55+53+······+3+14. 从从1到到60的连续自然数中，取两数相加，使这的连续自然数中，取两数相加，使这两数相加的和大于两数相加的和大于60，有多少种不同的取法，有多少种不同的取法？？59+57+55+53+······+3+1项数项数 =（（59－－1））÷（（59－－57））+1= 58÷2+1= 29+1= 30和和 =（（59+1））×30÷2= 60×30÷2= 60×15= 900（种）（种）5. 在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，面根火柴棒，面积是积是15平方厘米？问平方厘米？问: （（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？）最大三角形的面积是多少平方厘米？（（1 + 3 + 5 + 7 + 9））×15= （（1 + 9））× 5 ÷ 2 × 15= 10 × 5 ÷ 2×15=50÷2 × 15= 25×15= 375（平方厘米）（平方厘米）5. 在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，面根火柴棒，面积是积是15平方厘米？问平方厘米？问: （（2 2）整个图形由多少根火柴摆成？）整个图形由多少根火柴摆成？3 + 6 + 9 + 12 + 15= （（3 + 15））× 5 ÷ 2= 18 × 5 ÷ 2= 9 × 5= 45（根）（根）5. 在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，面积是根火柴棒，面积是15平方厘米？问平方厘米？问: （（3 3）如果用火柴棒继续摆到）如果用火柴棒继续摆到5050层，共需多少根火柴棒？层，共需多少根火柴棒？3+6+9+12+······（共（共50项）项）末项末项= 3+（（50－－1））× 3= 3+49× 3= 3+ 147= 150和和 = （（3 + 150））× 50÷2= 153× 50 ÷ 2= 7650 ÷2= 3825（根）（根）和和=（首项（首项+末项）末项）×项数项数÷2项数项数=（末项－首项）（末项－首项）÷÷公差＋公差＋1 1末项末项=公差公差××（项数－（项数－1 1）＋首项）＋首项　　进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起　　进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。

蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品　　记忆中的故那一把蒲扇蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品　　记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！　　蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！　　蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。

取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇　　蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇　　蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束。