常微分方程(2).doc

第三章　 存在和唯一性定理一. ［内容提纲］ 　本章重要简介解的存在和唯一性定理、接的延伸和解的最大存在区间等有关问题.解的存在和唯一性定理是微分方程中最常用的定理，学过这一定理之后，对于微分方程的通解概念,才由形式上的理解转为实质上的理解；此外在求近似解之前，都必须从理论上做解的存在唯一性鉴定.有关解的延伸定理，它把解的存在唯一性定理所得到的、具有局部性的成果,延伸到全局上去．这一定理无论在微分方程的理论研究和实际应用中，都是很故意义的.二．　[核心词] 存在和唯一性,解的延伸,毕卡逐次逼近法三． ［目的和规定]1． 纯熟掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理．2. 理解右端函数持续性保证初值问题解的存在性，李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实.３. 理解初值问题解的存在唯一性中解的存在区间的意义,会求其解的存在区间.4． 理解解的延伸概念，理解延伸定理的意义．四．［教学过程]在第二章中我们已经讨论了不少寻找微分方程的通解或通积分的措施，但是我们也看出，多数微分方程是不能通过初等积分法求解的,而诸多重要的实际问题又需要用微分方程的解去刻画它．为解决这个矛盾,人们在分析了这些微分方程之后,发目前诸多状况下,其实只要可以求出满足一定条件的特解就行了;在此外某些状况下，虽然不去求特解和通解，但若能懂得解族的某些性质，问题同样可以得到解决,例如第八章中将讨论的稳定性问题.但规定特解,一方面必须证明满足某给定条件的解的存在性和唯一性.否则,若规定的解主线不存在,而去求解那显然是荒唐的.或者虽然解存在但不唯一,那也不知取哪一种好.此外，解的存在唯一性问题如果不得到解决，要想研究整个解族的性质也会有诸多的困难.这样解的存在唯一性问题就是一种十分基本的问题，不解决这个问题，对微分方程的进一步研究就无从谈起．有关初值问题，柯西第一种在很一般的条件下，建立了初值问题解的存在与唯一性定理．后来皮亚诺（Ｐeａno）和毕卡（Pｉcard)等人又在更广泛的条件下,分别证明理解的存在性和解的唯一性．§1 毕卡存在和唯一性定理有关初值问题　 　 　　 　 　 　　　　 　 　　 　 　 　 的解的存在唯一性,我们将运用出名的Picard逐次逼近法来证.此措施的重要思想是在所设条件下，构造一种持续函数列,它一致收敛的极限函数正好是所求始值问题的解.采用这个措施不仅证明理解的存在性,并且在证明解的存在唯一性的过程中,还提供了求近似解的构造性途径．定理1 　假设：１）在矩形区域　 　　，内持续,记，.２） 对满足李普希茨条件(或简称李氏条件），即存在常数,使得 　 　 　 　 　 　 　 　　 其中，则方程在区间上存在唯一的,满足初值条件的解.证明 证明环节如下:（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 　 　 　　 　　 　 　　 　　 的持续解;(二) 在区间上构造一种持续函数序列,称为毕卡序列;（三) 证明在区间上一致收敛;(四)　证明的极限函数是积分方程的解;（五)证明满足方程和条件的解必为.(一) 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　的持续解.事实上，设是方程的解,故有 　　 　 ，两边从到取定积分得到, 　 ，即 　 　 　 　 , ，因此，是的定义在的持续解.反之,若是的的持续解，则有 　 　 ， ，　 　 微分之，得 　　 　.又把代入，得到.故是方程的定义在上,且满足初值条件的解．因此,下面我们只需证明积分方程在区间上有且仅有一种解．（二）在区间上，用逐次迭代法构造毕卡持续函数序列.取初值为零次近似：.运用，用零次近似替代积分号下的,得到函数 　 　 　　 　 　 　显然，在区间上是持续可微的,且由推出 　 　 　 这表白函数当时是持续的,且将位于矩形域上，我们称它为一次近似.再运用,作出二次近似 　 　 　 ,同样地有　　 　　　 ，可以看出,当时，函数也是持续的，且它也完全位于矩形域上．一般地，规定了次近似后来，就可以运用式得出次近似: 　 　 　 　 这样,我们就可以得到一种毕卡持续函数序列.用数学归纳法可证,每一种在区间上都是持续的.都满足，都位于矩形域上.(三) 下面证明按上述措施构造的函数序列在区间上一致收敛.要证在区间上一致收敛，只须证明级数 　 一致收敛，由于是此级数的前项之和.目前我们对级数的各项作估计，为此证明估计式 　 　　 　　　 在上成立.事实上,当时，由可知成立.假设当时成立，注意到对满足李普希茨条件及式，便可推出 　 　 　 　　 　 ，因此当当时成立,故得证.由于,从而 　 　 　 　　 .由此可见，级数的每一项的绝对值都不不小于收敛正项级数 　　 　 　　　 的相应项，（四）　证明的极限函数是积分方程的解.现对式 两端取极限，当时,注意到收敛的一致性和的一致持续性，就得到这表白是积分方程的持续解，从而也是始值问题,的解,故存在性获证．(五)证明解的唯一性.设积分方程尚有另一种解,则由推出 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 由于在上，是持续有界的，故可取它的一种上界，则由有 　 　 　　，然后，把它代入的右端，得到　 　 　　 　 　.如此递推，在上,可用数学归纳法得到 　　 　 　 .让，则上述不等式的右端趋于零,故可推出　 　 　 , .即积分方程的解是唯一的，从而定理得证.［附注1］ 由于李普希兹条件比较难于检查,常用在上有对的持续偏导数来替代．事实上，如果在上存在且持续，则在上有界,设在上，,此时，这里.但反过来满足李普希兹条件的函数不一定有偏导数存在.例如，函数在任何区域都满足李普希兹条件,但它在处没有导数．［附注2] 设方程是线性的，即方程为　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 那么易知，当在区间上为持续时，定理1的一切条件就能满足.[附注3]　 在证明定理1中所采用的毕卡逼近法在实用上也是求方程近似解的一种措施.容易证明:第次近似解与精确解在区间内的误差估计式为　　 　　　 　 　 　　.其中是李普希兹常数,是在，上的上界.[附注4］ 李普希兹条件是初值问题解的唯一性的充足条件，容易举例阐明.为了保证初值问题解的唯一性,并非一定规定满足李普希兹条件不可,即李普希兹条件不是初值问题解的唯一性的必要条件.例如，设当时,；当时,,试讨论初值问题　 　 　 　　 　　 　 　　(*）解的唯一性.易知在全平面上持续，但在点的任意小的矩形邻域内不满足李普希兹条件.事实上,设是内的任意一点，.考虑 　 ，于是有 　 　 　,当时,,因此不存在常数,使 　 .但可通过具体求解,证明初值问题（*)的解仍唯一.事实上,显然是(*）的解．此外时,用变量分离法求得和的区域内的通解为 　 　　　 　 　 　　　 　　 　 　 　 　(＊*)对于的任何有限值，曲线(**)都不与相遇,因此,对轴上的点,仍只有唯一的积分曲线通过此点,即是(*）的唯一解．此例阐明，对于Ｃaｕchy问题解的存在性和唯一性,Lipschｉtz条件不是必要的．有关初值问题解的唯一性条件的探讨,迄今仍是数学工作者的研究课题之一．下面我们简介一种由美国数学家Osgood用较弱的条件来替代李普希兹条件给出的有关解的一种唯一性定理.设函数在区域内持续，且满足不等式 　 　　 ，其中是的持续函数,且瑕积分 　 　 　 　 　　 　(常数）则称在区域内对满Osｇoｏd条件.显然，李普希兹条件条件是Osgood条件的特例,由于满足上述规定.定理2 （Ｏｓgｏoｄ)　 设在区域内对满Ｏsgood条件,则方程过内每点至多有一种解.证明 用反证法.若内可以找到一点，使得方程过点有两个解和,且至少有一种,使得,不妨设,且.令 　　，则显然有,且, 　 当;.因此，即 , 　 (）从积分上式得 　 　 ,其中,但这不等式左端为,右端是一种有限的数，因此矛盾．故定理2得证．再把条件削弱，只规定持续，就未必再有唯一性的结论了.例如:，在平面上持续,但在涉及点的任何区域上不满足李普希兹条件.这个方程有通解 　 　 ，其中为任意常数.尚有一种平凡解,积分曲线如图　 　所示,从左向右看,每个点上有三分叉的三条积分曲线,一条是,尚有与相且的上下两条曲线形积分曲线；事实上,过A点沿轴及①,②，③,④，⑤,⑥，…等曲线的每一条吻合成一条曲线,故过A点的积分曲线有无穷之多.最后,给出一种不加证明的Ｐeａno存在性定理．证明请参看§２.定理３ 设在矩形区域内持续,则方程在区间上至少存在一种满足条件的解.这里矩形区域和正数定义同定理1.。