《微分方程模型》教学课件.ppt

微分方程模型微分方程模型二、微分方程模型二、微分方程模型三、微分方程案例分析三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介一、微分方程建模简介四、微分方程的四、微分方程的MATLABMATLAB求解求解五、微分方程综合案例分析五、微分方程综合案例分析第1页，共60页微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用中有广泛的应用不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：循着下面的模式：净变化率输入率输出率（守恒原理）净变化率输入率输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介一、微分方程模型简介第2页，共60页引例一引例一在凌晨在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时，当时环境的温度是环境的温度是21oC1h后尸体温度下降到后尸体温度下降到27oC，若人体，若人体的正常温度是的正常温度是37oC，估计死者的死亡时间估计死者的死亡时间解：设解：设T(t)为死者在被杀害后为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；时刻尸体的温度；k为比例为比例系数。

由牛顿冷却定律，得系数由牛顿冷却定律，得则通解为则通解为第3页，共60页由已知，由已知，由由因此死者大约是在前一天的夜晚因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的可得微分方程的特解：可得微分方程的特解：，代入解得，代入解得图图 1尸体的温度下尸体的温度下降曲线降曲线第4页，共60页建立微分方程的常用方法建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等对某些实际问题如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等对某些实际问题直接列出微分方程直接列出微分方程2、利用微元分析方法建模、利用微元分析方法建模 根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程微分方程3、模拟近似法，如：、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。

的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程第5页，共60页微分方程的建模步骤微分方程的建模步骤1、翻译或转化：、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率速率”、增长增长”(在生物学以及人口问题研究中在生物学以及人口问题研究中)，“衰变衰变”(在放射性问题中在放射性问题中)，以及，以及“边际的边际的”(在经在经济学中济学中)等等 2、建立瞬时表达式：、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变根据自变量有微小改变t时，因变量的增时，因变量的增量量W，建立起在时段，建立起在时段t上的增量表达式，令上的增量表达式，令t 0，即得到，即得到 的表达式的表达式二、微分方程模型二、微分方程模型第6页，共60页3、配备物理单位：、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件：、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数为了完整充分地给出问题的数学定有关的常数为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。

陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出第7页，共60页案例案例1：以为女士每天摄入：以为女士每天摄入2500cal食物，食物，1200cal用于基用于基本新陈代谢本新陈代谢(即自动消耗即自动消耗)，并以每千克体重消耗，并以每千克体重消耗16cal用用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成可转换成1kg脂肪）星期天晚上，该女士的体脂肪）星期天晚上，该女士的体重是重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重函数的食物，要求建立一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型，并用它估计：的数学模型，并用它估计：（1）星期六该女士的体重？）星期六该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，）若不进食，N周后她的体重是多少？周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析二、微分方程案例分析第8页，共60页解解1、翻译或转化：、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件：第9页，共60页。

1、“每天每天”：体重的变化输入一输出：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗吸收；输出是进行健身训练时的消耗2、上述陈述更好的表示结构式：、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记取天为计时单位，记W(t)为为t天时体重天时体重(kg)，则：，则：每天的净吸收量每天的净吸收量2500 1200 1300（cal)每天的净输出量每天的净输出量16(cal)W16W(cal)转换成脂肪量转换成脂肪量1300 16W（cal）3、体重的变化天、体重的变化天 (千克天千克天)第10页，共60页1、翻译或转化：、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件：第11页，共60页有些量是用能量有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位给出，考虑单位的匹配，利用的匹配，利用单位匹配单位匹配第12页，共60页1、翻译或转化：、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件：第13页，共60页。

建立表达式建立表达式积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（1）当）当 时，每天体重的变化：时，每天体重的变化：初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出则则第14页，共60页积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（2）当）当 时，每天体重的变化：时，每天体重的变化：初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出则则第15页，共60页积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（2）当）当 时，食物的摄入量恢复正常时，食物的摄入量恢复正常初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出则则第16页，共60页最后得到不同阶段的微分方程是：最后得到不同阶段的微分方程是：第17页，共60页1）代入对应方程，求得代入对应方程，求得现回答上述问题现回答上述问题（2）要满足体重不增，即）要满足体重不增，即所以所以因此每天总卡路里摄取量是因此每天总卡路里摄取量是1200+9142114cal(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以）由于每天不摄取能量，所以解得解得因此，因此，n周后的体重为周后的体重为第18页，共60页案例案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳作碳14年代测定。

分析表明年代测定分析表明C14与与C12的比例仅仅是活组的比例仅仅是活组织内的织内的6.24，此人生活在多少年前？，此人生活在多少年前？（碳（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度这意味着在活体中，中达到平衡浓度这意味着在活体中，C14的数量与稳定的的数量与稳定的C12的数量成定比生物体死亡后，交换过程就停止了，放的数量成定比生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少）射性碳便以每年八千分之一的速度减少）第19页，共60页1 1）问题分析与模型的建立）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”而C14的的比例数为每年八千分之一比例数为每年八千分之一。

2、碳、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：问题实际上就是：“这人死去多久了？这人死去多久了？”若设若设t为死后年数，为死后年数，y(t)为比例数，则为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我们的微分，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词与关键词“速率速率”相当相当)第20页，共60页2 2）解）解微分方程的通解为：微分方程的通解为：由初始条件由初始条件，故有，故有由问题，当由问题，当，代入原方程，代入原方程第21页，共60页案例案例3、追线问题、追线问题 我缉私舰雷达发现，在其正西方距我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处有一艘走海里处有一艘走私船正以匀速度私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的速度速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。

第22页，共60页图图2 走私船与缉私舰的位置关系走私船与缉私舰的位置关系(c,0)xD(x,y)走私船走私船R(0,at)缉私艇缉私艇O第23页，共60页几何关系几何关系第24页，共60页如何消去时间如何消去时间t?1、求导：、求导：2、速度与路程的关系：、速度与路程的关系：3、分解、分解 得：得：4、将第、将第2、3步代入第步代入第1步，可得模型步，可得模型第25页，共60页追线模型：追线模型：模型的解：模型的解：第26页，共60页解的进一步讨论解的进一步讨论（1）若）若ab，从而，从而kb，即，即k1，显然缉私舰也不可能追上走私船显然缉私舰也不可能追上走私船第27页，共60页如图所示一个容量为如图所示一个容量为2000m3的小湖的示的小湖的示意图，通过小河意图，通过小河A水以水以0.1m3/s的速度流入，的速度流入，以相同的流量湖水通过以相同的流量湖水通过B流出在上午流出在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，图中器倾翻，图中X点处注入湖中在采取紧急点处注入湖中在采取紧急措施后，于措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详事故得到控制，但数量不详案例案例4 湖泊污染问题湖泊污染问题的化学物质的化学物质Z已泻入湖中，初步估计已泻入湖中，初步估计Z的量在的量在520m3之间。

之间建立一个模型，通过它来估计湖。