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迭代去噪收缩阈值算法重构压缩全息 白彩娟 刘静 蒋晓瑜 张国贤 黄开宇 西安交通大学电子与信息工程学院 中国人民解放军装甲兵工程学院信息工程系 摘 要： 为了解决全息图像数据在传输过程中占用大量内存并在一定程度上增加设计成本的问题, 在数字全息成像技术中, 应用压缩感知理论, 提出了一种基于迭代去噪收缩阈值算法 (IDNST) 的数字全息重构方法.IDNST 算法引入了去噪迭代因子和正则化收缩因子, 利用前 2 次迭代的值、不断更新的迭代参数以及不断收缩的正则化参数来获得新的迭代值, 加快了收敛速度, 提高了全息图像的重构精度.仿真结果表明, 所提出方法能够高概率地恢复出原始图像.关键词： 压缩感知; 数字全息; 全息图的稀疏表示; 观测矩阵; 迭代去噪收缩阈值算法; 作者简介：白彩娟 (1990-) , 女, 河北省石家庄市人, 硕士生, 主要研究方向为基于压缩感知的图像处理及数字全息术.作者简介：刘静 (联系人) , 女, 副教授, 博士生导师, E-mail:elelj20080730@.收稿日期：2016-12-02基金：国家自然科学基金项目 (61573276) ;国家自然科学基金创新研究群体科学基金项目 (61221063) 资助The Reconstruction of Digital Holography Based on Iterative De-Noising Shrinkage-Thresholding AlgorithmBAI Caijuan LIU Jing JIANG Xiaoyu ZHANG Guoxian HUANG Kaiyu School of Electronics and Information Engineering, Xi'an Jiaotong University; Department of Information Engineering, Academy of Armored Force Engineering; Abstract： A novel algorithm, namely iterative de-noising shrinkage-thresholding (IDNST) algorithm, is presented to reconstruct the original image from digital holography in a compressed sensing framework.The proposed algorithm can reduce the computational complexity in classical digital holography process, as well as the data in transmission.The proposed algorithm adopts two new factors, i.e., the de-noising iteration factor and the shrinkage factor of regularization.Furthermore, the proposed algorithm obtains a new iterative value using the previously updated iterative values, the iteration factor and the shrinking regularization parameter.This improves the convergence speed and the reconstruction accuracy.Simulation results show that the original image can be reconstructed from the digital hologram perfectly with high probability by the IDNST algorithm.Keyword： compressed sensing; digital holography; sparse representation of hologram; measurement matrix; iterative de-noising shrinkage-thresholding algorithm (IDNST) ; Received： 2016-12-02随着高分辨率电荷耦合元件 (CCD) 和计算机技术的迅猛发展, 数字全息技术已成为国际上一个研究热点, 广泛应用于三维形貌观测、显微领域、粒子场分析与测试、防伪、生物医学等诸多领域.Magic Leap 公司在 2016 年 3 月发布的视频展示了这类技术的多项应用, 比如射击虚拟机器人游戏, 体育馆惊现大鲸鱼娱乐项目和手握萌象三维视觉体验等, 给用户展示了融合现实世界场景的全息图像.但在实际应用中, 数字全息图的数据量庞大, 会占用大量的通信带宽和存储空间.将压缩感知 (Compressed Sensing, CS) 理论[1]应用于压缩数字全息图, 只需根据全息图的部分观测值, 就能重构原始图像, 减少数据采集量, 实现数字全息图的有效传输和存储, 同时, CS 理论与数字全息图再现的结合, 可消除传统数字全息重构算法中出现的 0 极像、共轭像干扰[2-3].目前国内外已经有一系列的工作针对基于 CS 的数字全息成像重构问题展开.李科等[4]研究了 2 种不同变换域对全息图稀疏化的影响, 根据 CS 理论直接获取图像的压缩表示, 并在傅里叶稀疏域下使用正交匹配追踪 (Orthogonal Matching Pursuit, OMP) 重构算法获得较低的压缩率.简献忠等[5]将 CS 理论与数字全息图再现结合, 提出基于全变差的重构算法, 并应用于数字全息图压缩感知全息图重建, 消除了传统算法对数字全息重构过程中会出现 0 级像、共轭像干扰的问题.Stern 等[6]将 CS 应用在相移全息图中, 利用可变密度采样结构将更多信号积聚在中心位置, 很少的信号分布在全息图的边缘, 利用全变分求解最优值, 从而获得再现像.针对数字全息重构问题, 本文提出了迭代去噪收缩阈值 (Iterative De-noising Shrinkage-Thresholding, IDNST) 算法.此方法主要是在两步迭代收缩阈值 (Two-Step Iterative Shrinkage/Thresholding, TwIST) 算法[7]的基础上引入了去噪迭代因子和正则化收缩因子.在去噪迭代软收缩函数中引入去噪迭代因子能够进一步提高图像的重构精度并且加强抗噪能力;同时对总变分目标函数中的正则化参数进行迭代收缩, 引入正则化收缩因子, 使目标函数值加快收敛, 减少了运行迭代时间.1 标量衍射理论分析根据惠更斯-菲涅尔子波干涉原理[6], 可以将如图 1 所示的衍射光场在观察平面中任意一点的复振幅表示成在孔径平面 S 上的面积分形式:式中, Γ (x, y, z) 是观察平面上 P (x, y, z) 点的光波复振幅;λ 是光的波长;Γ (ξ, η, 0) 是孔径平面上 P (ξ, η, 0) 点的光波复振幅;K (θ) 是倾斜因子;k 是波数;r 是孔径平面上的点到观察平面上的点的距离.图 1 衍射光场示意图 Fig.1 Diffraction field frame 下载原图在基尔霍夫边界条件下, 孔径平面 S 以外的区域内光场为 0, 因此可以将上式积分扩展到无穷.在傍轴条件下 K (θ) 近似为 1, 再利用二项式近似可以得到菲涅尔衍射公式根据傅里叶变换, 将式 (1) 表达为2 基于 CS 的全息成像2.1 CS 基础理论若维度是 N×1 的信号 γ 仅有 K (KN) 个非 0 值, 那么可以用“压缩”的测量值 ζ∈C 完整保存 γ 的信息.称这个压缩矩阵为测量矩阵, 用Φ=[φ 1φ 2…φ N]表示, 即当 Φ 满足约束等距性 (Restricted Isometry Property, RIP) 条件[1]时, 可通过求解一个等价的 l-范数最小化问题完美重构 γ.当信号 γ 本身不稀疏时, 则存在一个稀疏基字典 ψ, 使 γ 在 ψ 下可以稀疏表示, 即其中:s 为稀疏向量;A=Φψ 是一个 M×N 的矩阵, 称之为感知矩阵.CS 主要涉及 3 个方面的问题: (1) 信号的稀疏表示.信号 γ (N×1) 在某个正交基 ψ=[ψ 1ψ 2…ψ N]过完备基字典上的变换系数是稀疏的. (2) 观测矩阵 Φ的设计.即用一个与变换基不相关 (或者近似不相关) 的观测基对系数向量进行行变换并得到测量信号. (3) 稀疏信号的重构.利用最优化方法从观测向量 ζ中精确或高概率地重构信号 .本文将从以上 3 方面来阐述 CS 数字全息过程[8-10].2.2 全息图的稀疏表示如果一个信号中只有少数元素是非 0 的, 则该信号是稀疏的.通常时域内的自然信号都是非稀疏的, 但在某些变换域是稀疏的, 本文采用傅里叶变换的方法将全息图进行稀疏.设 O0 (x0, y0) 、O (x, y) 分别为物平面及观测平面的光波复振幅, d 为两平面间的距离, k=2π/λ.根据式 (4) 得菲涅尔衍射积分的傅里叶变换形式为根据傅里叶变换的定义, 式 (5) 的积分运算从数学角度来看是对式进行了傅里叶变换, 即将式 (6) 变为式中:I 为物光波在测量平面的复振幅 O (x, y) ;Q 为 ;F2D表示二维傅里叶变换;ϕ 表示相位因子 ;O′表示物平面的复振幅 O0 (x0, y0) .到达 CCD 的参考光为CCD 平面上物光及参考光干涉强度由于在重现物体时, 只作为对零级衍射光分量有影响的因子, 而对物体的物光不产生影响, 所以根据式 (10) , 式 (7) 可写为式中:I′表示得到的全息图;R 为参考光引入的幅值相位因子.因此 ψ=RQF 2Dϕ 可表示 CS 理论的稀疏矩阵.2.3 观测矩阵的设计设计观测矩阵, 即设计一个能获得稀疏信号中有用信息的矩阵, 也就是设计一种获取稀疏信号中有用信号的观测方法, 从而将该稀疏信号压缩成少量的采样信号.在 CS 理论中, 通过稀疏变换得到信号的稀疏基字典 ψ 后, 需要设计观测矩阵Φ, 其设计目的是通过采样获取稀疏信号的大部分信息并保证从中尽可能精确地重构出长度为 N 的信号 γ.获得观测值 ζ (M×1) 的方法本质上就是 M×N 的观测矩阵 Φ 的每个行向量 ϕi (i=1, 2, …, M) 与稀疏信号 γ 的内积, 其中ζ j=〈ϕ i, γ〉 (j=1, 2, …, M) , 记观测向量 ζ=[y 1 y2…yM].本文的观测矩阵设计用随机高斯矩阵[11].2.4 重构算法对于一个逆问题, 目标是用观测值 ζ 通过算子 A 来估计原始信号或图像 γ.当A 是线性的, 则该问题为线性逆问题 (Linear Inverse Problem, LIP[7]) .对于一系列 LIP, 定义一个凸优化函数 f其中:A:γ→ζ 是线性算子;γ 和 ζ 是实 Hilbert 空间;τ∈[0, +∞) 是一个正则化参数;Θ (·) 是一个正则函数.在以下算法讨论中 Θ (·) 为全变分正则化函数.2.4.1 子空间阈值追踪 (STP) [12]STP 算法是一种新的迭代贪婪算法, 它是子空间阈值追踪和迭代硬阈值算法的简单结合, 具体步骤如下.在执行 STP 之前可以调整参数 μ.这种步骤选择集合 ΔS 与一个或几个最大条目相对应的索引在 Φ (y-Φx) 中, 然后合并 ΔS 和支持估计 S.然后在步骤 (3) 中, STP 求解最小二乘法问题近似原始信号 x 。