不同坐标系之间的变换.doc

§10.6不同坐标系之间的变换10. 6. 1欧勒角与旋转矩阵对于二维直角坐标，如图所示，有:COS0-smOsin&COS& 儿（10-8）在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成如图所示，设旋转次序为:① 绕OZ］旋转角，OX］,OY］旋 转至OX\OY\② 绕O丹旋转匂角OX °, OZ］旋 转至 ox2,oz°;③ 绕OX2旋转£x角，OY°,OZ°旋 转至OYjOZ》055芒z为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与它相对应的旋转矩阵分别为:100/?]3x）二0COS6\sin0 --sin^xCOS6\COSgy 0— singy7?2 （切）=010sin 20COSgyz（10-10）（10-11）cos^z sin 8Z 07?3(£z)= ~sin^zCOS^z令 R（）= R\x ）尺2 （勺）^3 （*Z ）则有：%丫2=R] (sx )R2 (勺)R3 (sz )=/?0Z-Z-代入:COS® COS£zR{} = -cosf v sin£z +sin^v sin^r cos£zsin sin e7 + cos£v sin sY cos^zcos® sin 巳cos£x cos£z + sin £x sin sY sin s7-sin£x cos£z +cos£% sin£$ sin s7(10-12)(10-13)(10-14)-sin£rsin^x cos%,COS£V cos®一般5疋丫疋z为微小转角,可取:COS6\ = COSEy = COS^Z = 1 sin£*x sin£*x二 £\，sin匂二匂，sin = 8a sin sY = sin £x sin 邑=sin 匂 sin 乞=0于是可化简~SYR°Sx£x1(10-16)上式称微分旋转矩阵。

10. 6. 2不同空间直角坐标之间的变换当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转 又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参 数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一 个尺度变化参数，共计有七个参数相应的坐标变换公式为:° 巧丫2=(1 + m)+~£z °£y ~£x~£y■ax0"£x+AK00乙AZ10-17)上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有7个转换参数， 为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可 按最小二乘法求得个参数的最或是值10. 6. 3不同坐标系的变换对于不同坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个 尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同坐标 系的换算公式由(7-30)式(N + H)cosBcosLY——(N + //)cosBsinLZ[N(l —护)+ /7飞血3取全微分得式中axdL葩-aLaz-aL- 一dXdYdZ(10-19)一(N + H)cosBsin 厶一 (M +H)sinBcos LcosBcosL(N + H)sinBcos 厶~(M +H)sinBsinLcosBcosL0(M + H)cosBsinBX 一 Qy 一 Qz 一 aax乔竺加az乔一 -A—cosBcosL a一cosBsin L—(l-e2)sinfia(10-20)cosBcosLsin2 B\-a"cosBsin Lsin2 B \-a"sin B(1 + cos2 B-e~ sin2 B) \-a(10-21)上式两端乘以厂并加以整理得:clL~dX~■-J-[AdadB=厂'clYdadHdZ—(10-22)式中dXX2X\dY=—乙dZZ2Z\dLl2厶dB—§dHH\顾及(10-21)式及sin LcosL0(N + //)cosB sin BcosL(N + H)cosB sin Bsin LcosBM+H cosBcosLM+H cosBsin LM+H sin B(10-22)式可写为:(1LdB =dH(10-23)sin L(N + H)cosB 卩sin BcosL “一 pM+HcosBcosLcosL(N + H)cosB 卩sin Bsin L “— pM+HcosBsin LcosB PM+H sin BAX0△纭AZ。

/gBcos L-sin LN(r sin BcosBsin LfgBsin LcosLNe~ sin BcosBcosL-100£x£Z0———e2 smBcosBpffM+H7V(l-e2sin2B) + HN , (T sin BcosB// (M+H)a^(l e2sin2B) a0M(2-g2sin2B)(M+H)(l_a)sin BcosB/ZdadaM\-a(l-e2sin2B)sin2B(10-24)上式通常称为广义坐标微分公式或广义变换椭球微分公式如略去旋 转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的坐标微分公式根据3个 以上公共点的两套坐标值，可列出9个以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8个转换参数。