工程数学基础教程课后习题答案[共65页].doc

工 程 数 学 基 础习 题 解 答1习 题 一A一、判断题1. √；,2. √；3. ×；4. ×；5. ×；6. ×；7. ×；8. √；9. √；10. ×.二、填空题1. ;C CA B 2.1 1D ( f ) { 1,2,3,4}, R ( f ) { a,b, e}, f ( A ) { a, b, e} , f (B) { 1,4}, f (b) {2,3};13.满; 4.sup E 2 ,inf E 3; 5. 0; 6.0; 7. n ; 8.Y .B1. 证 y f ( A B) , x A B 使 得 y f (x) . 由 x A B , 得 x A , 且 x B 故y f (x) f (A) 且 y f (B),即 y f (A) f (B) ,因此 f (A B) f (A) f (B) .当 f 是单射时 ,只需证明 f ( A) f (B) f ( A B) 即可：y f A f B R f由f 是单射知 1x X,使得 y f( x) . y f( 且A) , y f( B( ) ( ) ( )x A且x B,即x A B,从而y f (x) f (A B), 故 f (A) f (B) f (A B).是可能的,例如 ,2f : x x ,取A [ 2, 0], B [ 1, 3], 则A B [ 1, 0]. 于是f (A B) f ([ 1,0]) [0, 1], 而f (A) f ( B) 0, 4 [0, 9] 0, 4 . 从而有 .2. 证（1） n N ,有[ 2 1 , 2 1] ( 2, 2)n n,故[ 2 1 1], 2 ( 2, 2)n n n1.另一方面 , x ( 2, 2) , k N ,使 [ 2 1 , 2 1]x ,故k k[ 2 1 2 1]x , ,于是n n n1( 2, 2)[ 2 1 2 1],n n1n.因此 ,( 2, 2)[ 2 1 , 2 1]n n n1.（2） n N ,有[ 2, 2] ( 2 1 , 2 1)n n,故[ 2, 2]1 1( 2 , 2n n n1).另 一 方 面 , 对 任 意 x [ 2, 2] , 即 x 2 , k N , 使 得 2 1 2 x , 即k21 1x ( 2 , 2 ),从而k k1 1x ( 2 , 2 ) ,故n n n11 1( 2 , 2n n n1) [ 2,2 ].因此 ,[2 ,2] ( 2n 11n,21n).3. 证 设sup A ,且 sup A ,要证 sup A唯一,只需证明 即可.因为 sup A是最小上界 ,而 是A的上界,故 ,又因为 sup A是最小上界 ,而 是A , ; .的上界 故 因此类似地可以证明 inf A是唯一的.4. 证 设Y 是线性空间 X 的一族子空间 ,要证DD Y 也是 X的线性子空间 .显然 DY ,z只需证明 Y 对X的线性运算是封闭的 .事实上, x, y Y 及 K , ,从而对每一个 D ,D D有 x, y Y ,故 x y Y , x Y .于是,x y Y ,Dx Y .因此,DDY 是 X 的线性子空间 .5. 证 显然W包含零多项式 ,故非空；又 f , g W,及 ,有( f g)(0) ( f g) (0) f (0) g (0) f (0) g (0) [ f (0) f (0)] [ g (0) g (0)] 0 0 0,即f g W;( f )(0) ( f ) (0) f (0) f (0) [ f (0) f (0)] 0 0,即 f W.所以, W是P [0, 1]的线性子空间 .nn n 1 n 1f W P [0, 1], f ( x) a x a x a x a , f (x) na x 2a x a .设 则 由n n n 1 1 0 n 2 1n n 1 2f (0) f (0) 0, a a 0, a a , f ( x) a x a x a x a ( x 1).得 即 故1 0 0 1 n n 1 2 12 3 n由上可知 ,(x 1,x , x , , x )是W的一个基 ,故dim W n.6.1(1“) ”: 因为T是线性的 ,故有T (0) 0.于是, 若T( x) 0,则由T 存在知 T 是单射 , 从而有 x 0.1“ ”: 要证T 存在, 只需证明 T是单射：x1,x2 X ,当T( x1 ) T (x2),即T( x1 x2 ) T (x1 ) T (x2) 0时,由条件得 x1 x2 0,即x1 x2,故T是单射 .1 1(2) y , y Y及 , K , x ,x X ,s.t. y Tx , y Tx ,即x T ( y ), x T (y ).于是有1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1 1T ( y + y ) T [ T (x ) T (x )] T [T( x x )] x x T ( y ) T ( y ),1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2故T Y X 是线性的1 : .7.2 2 2 2解 首先验证 : 是线性的 ,然后求其在即 B下的矩阵 A.2 2X1, X 2 , k1,k2 ,由 的定义,有B1 0 0 1 0 0 0 0( ), , ,0 0 0 0 1 0 0 1(k X +k X ) A (k X +k X ) k A X +k A X k ( X )+k (X ),1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 0 1 2 0 2 1 1 2 22 2 2 2故 : 是线性的 .1 0 0 1 0 0 0 0关键是求基元 E E E E 的像在基 下B的坐标：, , ,1 1 1 2 2 1 2 20 0 0 0 1 0 0 1a b 1 0 a 0TE aE 0E cE 0E ,即 E a 0 c 0 ,11 11 12 21 22 11c d 0 0 c 0a b 0 1 0 aTE 0E aE 0E cE ,即 E 0 a 0 c ,12 11 12 21 22 12c d 0 0 0 ca b 0 0 b 0TE bE 0E dE 0E ,即 E b 0 d 0 ,21 11 12 21 22 21c d 1 0 d 03a b 0 0 0 bTE 0E bE 0E dE ,即 E 0 b 0 d ,22 11 12 21 22 20c d 0 1 0 da 0 b 0A0 a 0 bc 0 d 0.0 c 0 d习 题 二A一、判断题1.√；2.× ；3.√；4.√；5.× ； 6.√；7.× ；8.× ；9.√；10.√；11.× ；12.× .二、填空题2 0 0 2 0 01. x ；2.n ；3.2,( 1) , i, i ；4. 1, 1；5.；6. ；7.O ；0 0 4 0 2 00 1 4 0 1 28.O ；9. 1；10. 6 .三、单项选择题1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a).B1.解（1） E A002120012 [1,2 ][ 2,3 ]1200120022 1 210001(2 022)2332122100010((0 22) 32)3 1212210001000( 2)32 111, 3( 2)3d1( ) d2 ( ) 1, d3 ( ) ( 2) .（2） E A1111111,311111123 111 1 1 1 10 1 1 0 1 01 13 22 2 3 20 1 1 0 1 24100110(01)(12)3112 ,17 1( 1)( 2)d , d2( ) 1, d3 ( ) ( 1)( 2) .1( ) 1（3） E A0051040130012104013001200510000130012204 510000100001232234511,14 3 22 3 4 54 3 2d1( ) d2 ( ) d( ) 1, d ( ) 2 3 4 5 .43 1 0 0 1 3 0 0（4）E A4 1 0 0 1 4 0 01,27 1 2 1 1 7 2 17 6 1 6 7 11 3 0 0 1 0 0 0 2 1 13 14 1 62 20 2 1 0 0 0 ( 1) 0 02 1 3 1 10 4 2 1 0 ( 4) 2 10 6 11 1 0 6 11 11 0 0 0 1 0 0 02 20 ( 1) 0 0 0 ( 1) 0 04 32 30 6 2 1 0 6 2 120 6 10 1 0 10 ( 1) 01 0 0 01 0 0 04( 1)20 ( 1) 0 0 0 0 01 10 [4 ( 10)] [2 4 ( 1) ]20 0 0 1[2 4 6 ] [4 1 ] 0 0 0 1[3 4 2 ] 2( 1)20 1 0 ( 1) 0 1 0101051 0 0 0 140 0 ( 1) 0 12,42( 2 ) 3,40 0 0 1 1[3 2 ]10,40 1 0 0 ( 1)4d1( ) d2 ( ) d3 ( ) 1 ,d4( ) ( 1) .2. 解 (1)∵4det A( ) 。