第二章--应力状态和应变状态(给学生).doc

第二章 应力状态和应变状态§2.1 应力状态（一）应力张量及其分解、应力不变量图2.1 物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：由剪应力互等定理知：用下标表示法，（i，j =1，2，3）令x=x1，y=x2，z=x3，应力张量可表示为：= （2—1）由弹性力学知，每一点上存在三个互相正交的主平面，在其上只有正应力而没有剪应力，其上的正应力称为主应力图2.2图2.2所示微元四面体由三个坐标面和一个斜面所组成其中：dF：斜面面积，lx，ly，lz：法线n的方向余弦，简记为li（i=1，2，3）p：斜面上的总应力px，py，pz：p沿三个坐标轴的分量，简记为pj（j=1，2，3）l1dF，l2dF，l3dF：微元体三个坐标面的面积由微元四面体的平衡方程可得：pj=σijli （2—2）斜面上的正应力σn为总应力P沿法线n方向的分量，它应当等于各分量pj沿n方向投影之和，即σn= pjlj （2—3）（2—2）代入（2—3）得：=lilj= （2—4）斜截面上的剪应力τn为： （2—5）若斜截面是主平面，则τn = 0 p =σn=σ，即p沿n的方向，且等于σ。

故每一pj等于σ在该方向上的投影：pj=σlj （2—6）（2—6）代入（2—2），得到对于方向余弦的一组齐次线性方程：σijli－σlj=0 （2—7）∵=1 （2—8）∴l1，l2，l3不能同时为零∴（2—7）式的系数行列式必为零即=0 （2—9） 由此得：= 0 （2—10）式中， （2—11）（2—10）有三个实根，对应三个主应力显然，这些根仅与该点的应力状态有关，与坐标轴的选择无关∴I1，I2，I3也与坐标轴的选择无关分别称为应力张量（2—1）式的第一、第二、第三不变量以任一个主应力σj（j = 1，2，3）代入（2—7），三个方程只有两个独立，利用其中的任意两个方程与（2—8）联立可解出主应力σj（j = 1，2，3）的方向余弦，从而确定σj所在的主平面的方位可以证明，三个主平面的方位互相垂直当x，y，z轴和三个主轴方向一致时： （2—12）平均应力： （2—13）由§1.4中Bridgman的试验结果可知，在各方向同时作用有大小为的应力时，相当于静水压力（或反向的静水压力），它不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的分离出来，对于研究塑性变形更为方便，即 （2—14）令： （2—15）则（2—14）变成： （2—16）：Kronecker符号，其定义为： （2—17）：应力球张量，表示三向相等的正应力；：应力偏张量，简称应力偏量。

应力偏张量也是一种可能单独存在的应力状态，也有自己的不变量J1，J2，J3表示应力偏张量的第一、第二、第三不变量，仿照（2—11）式可得： （2—18） 当x，y，z轴方向和主轴重合时： （2—19）而应力偏张量第一不变量为零，即 （2—20）可得： （2—21） （2—22） （2—23）利用（2—21）、（2—22）及（2—23）式还可将（2—18）式的后两式写为较简单的张量表示形式： （2—24） （2—25）在后面的第三章可以看到，应力偏量的第二不变量在研究塑性本构关系时具有特殊的重要意义由于是对称张量，（2—24）式也可以写为： （2—26）（二）几种特定截面上的应力求得一点处的主平面的方向和主应力大小以后，可以求得通过该点任意倾斜方向截面上的正应力和剪应力。

选三个主应力方向1、2、3为坐标轴，设任意斜截面的法线为n，它对于1、2、3轴的方向余弦为l1，l2，l3图2.3所示的微元四面体即由三个与主平面一致的坐标面及一个斜截面组成设斜截面上的总应力p分解为沿三个主轴的分量p1，p2，p3，由微元体的平衡得到 图2.3 图2.4 （2—27）则斜截面上总应力沿法线n的分量（即斜截面上的正应力σn）应等于p1、p2、p3在法线n方向投影之和，即 （2—28）（2—27）式也可直接由（2—4）式令得到斜截面上的剪应力τn可由下式求得： （2—29）现在来研究几种特定截面上的正应力和剪应力在图2.4中，主平面用Ⅰ表示，Ⅱ表示与三个主轴成相等倾斜角的斜截面，称为八面体面（或等倾面）其方向余弦为： （2—30）设八面体面上的正应力、总应力和剪应力分别为σ8、 p8和τ8将（2—29）式代入（2—27）式得： （2—31） （2—32）（2—31）式和（2—32）式代入（2—29）式，得所以 （2—33）以（2—33）式和（2—19）式第二式对比可得 （2—34）在这里还可以定义几个有关的量，定义 （2—35）为等效应力或应力强度。

也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为σi的单向应力状态来代替在单向拉伸时σ1≠0，σ2=σ3=0，代入（2—35）式即得σi=σ1还可以定义（2—36）T～等效剪应力或剪应力强度其意义是，原来的应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为T的纯剪切应力状态来代替也就是说，纯剪切状态，的剪应力强度等于T，而实际应力状态的剪应力强度也等于Tσi、T和J2一样，在塑性本构关系中起重要作用它们之间的换算关系如下：表2.1 、T之间换算表甲量换算因子f乙量 T1111T11表中：乙量 = 换算因子f ×甲量斜面Ⅲ上的应力：每个斜截面Ⅲ都平行于一个主应力方向而又与另外两个主应力方向各成 45°角这些面上的剪应力分别是： （2—37）它们分别是平行于某一主应力轴的所有截面中剪应力最大的截面τ1、τ2、τ3中绝对值最大的一个将是在该点处的最大剪应力如果σ1≥σ2≥σ3，则 （2—38）（三）三维应力圆 表示应力状态特征的参数图2.5表示三维应力圆令OP1=σ1，OP2=σ2，OP3=σ3，分别以P2P3，P1P3，P1P2为直径作圆A，圆B及圆C。

圆A代表平行于σ1的所有截面上的正应力和剪应力，圆B和C分别代表平行于σ2和平行于σ3所有截面上的正应力和剪应力（见图2.6）阴影区表示不与任何主应力平行的斜截面上的正应力和剪应力由图2.5可见，如在已知应力状态上叠加一个静水压力，则使三向应力圆产生沿σ轴的平移,对圆本身的大小、形状并无影响，由于坐标原点O在σ轴上的位置的移动，只相当于叠加上大小不同的静水压力，故对塑性变形不产生影响可以在σ轴上取OM=σm，并将τ轴移至过M点处，则在以M为原点的σ、轴上，此三维应力圆即为应力偏张量的应力圆此时有图2.5 图2.6MP1 = MP2 = MP3 = 三维应力圆以及应力偏张量是由P1、P2，P3三点的相对位置来确定的所以有必要引入一个参数来表示它们之间的相对位置取B圆（P1P3为直径）的圆心O1，则然后用O1P2与O1P1之比表示应力状态的特征，则 （2—39）称为应力状态的Lode参数几种特殊应力状态的特征参数：（1）单向拉伸：，有=－12）纯剪切：，有=03）单向压缩：，有=1§2.2 应变状态（一）应变张量及其分解、应变不变量在直角坐标系空间问题中，物体内的一点的应变状态由九个分量来表示。

在小变形情况下，应变分量与位移分量的关系为： （2—40）因为，所以，决定应变状态的独立应变分量有六个形成对称的应变张量： （2—41）用u1、u2、u3表示位移分量u、v、w，则应变 张量的各个分量与各位移分量的关系为： （2—42）下标中的“，”表示求导与应力张量类似，应变张量也有三个不变量：（2—43）当x，y，z轴和三个主轴方向一致时，用ε1、ε2、ε3表示主应变，则有： （2—44） 应变张量的第一不变量就是该点的体积应变，而 （2—45）叫平均线应变与应力张量类似，可以把应变张量分解为球张量及偏张量：（2—46）令： （2—47）则（2—46）式可写为： （2—48）在变形过程中，如体积不变，则=0，应变偏张量与应变张量相等： （2—49）应变偏张量也是一种可能单独存在的应力状态，所以，它也有自己的不变量分别以J1，J2，J3表示应变偏张量的第一、第二、第三不变量，则有： （2—50）当x，y，z轴方向和主轴重合时： （2—51）可写成张量形式： （2—52） （2—53）（二）几种特定截面上的应变八面体面上的正应变ε8和剪应变γ8为： （2—54） （2—55）由（2—55）和（2—5`）式第二式得 （2—56）定义： （2—57）εi称为等效应变或应变强度。

若体积不变（即泊松比μ=），则在单向拉伸时ε1≠0，ε2 =ε3=，代入（2—57）式即得εi=ε1定义 Γ= （2—58）Γ称为等效剪应变或剪应变强度在纯剪切时代入（2—50），（2—56），（2—57）式，得Γ=γ。