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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟270一、选择题问题:1. 设在(-∞，+∞)内连续，且，则 A．存在，不存在． B．不存在，存在． C．与都存在． D．与都不存在．答案:C[详解] 由f(0)有定义可知，a＞0，又，即b＜0． 于是，故应选(C)．问题:2. 设常数ai＞0(i=1，2，3)，λ1＜λ2＜λ3，则方程A.没有根．B.正好有1个根．C.正好有2个根．D.正好有3个根．答案:C[详解] 令，则易知x=λ1，x=λ2，x=λ3是f(x)的无穷间断点． 又，则除x=λ1，x=λ2，x=λ3三点外f'(x)＜0，即函数f(x)在区间(-∞，λ1)，(λ1，λ2)，(λ2，λ3)，(λ3，+∞)内均单调递减． 当x＜λ1时，f(x)＜0，则方程f(x)=0在区间(-∞，λ1)内无根； 因为，所以由零值定理可知方程f(x)=0在区间(λ1，λ2)内有一根； 同理，，所以方程f(x)=0在区间(λ2，λ3)内有一根； 当x＞λ3时，f(x)＞0，则方程f(x)=0在区间(λ3，+∞)内无根． 故本题应选(C)． 问题:3. 若在[0，1]上有f(0)=g(0)=0，f(1)=g(1)=a＞0，且f"(x)＞0，g"(x)＜0，则的大小关系是A.I1≥I2≥I3．B.I3≥I2≥I1．C.I2≥I3≥I1．D.I2≥I1≥I3．答案:C[详解] 由题设可知f"(x)＞0，f(x)为凹函数，g"(x)＜0，g(x)为凸函数， 且f(0)=g(0)=ax|x=0=0，f(1)=g(1)=ax|x=1=a． 于是当x∈[0，1]时，g(x)≥ax≥f(x)，从而有I2≥I3≥I1．故选(C)． 问题:4. 设函数f(x)在[-1，1]上有定义，在x=0处可导，则f'(0)=0是级数收敛的A.充分条件．B.必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分也非必要条件．答案:B[详解] 如果级数收敛，则，且有 如果f'(0)≠0，不妨设f'(0)＞0，则由极限保号性，当n充分大时，，且当n→∞时，与是同阶无穷小，所以由比较判别法，级数发散，出现矛盾． 同理，当f'(0)＜0时，级数也发散． 故f'(0)=0是级数收敛的必要条件． 如果f'(0)=0，不一定能得到f(0)=0及，所以不能得到级数收敛． 因此，f'(0)=0是级数收敛的必要而非充分条件，故选(B)． 问题:5. 设向量组α1，α2，α3是线性方程组Ax=0的基础解系，若存在常数l，m，使得lα2-α1，mα3-α2，α1-α3也是Ax=0的基础解系，则A.lm=1．B.lm≠1．C.lm=2．D.lm≠2．答案:B[详解] 因为α1，α2，α3是基础解系，所以线性无关，若lα2-α1，mα3-α2，α1-α3也是基础解系，必线性无关， 则，即lm≠1，故选(B)． 问题:6. 已知矩阵A和B相似，其中 则 A.x=0，y=2．B.x=0，y=-2．C.x=0，y=-3．D.x=1，y=-3．答案:B[详解] 因为B为对角矩阵，又A～B，所以A有特征值-1，2，y， 而特征方程为 |λE-A|=(λ+2)[λ2-(x+1)λ+(x-2)]， 将λ=-1代入得x=0，又由trA=trB，即-2+x+1=-1+2+y，得y=-2． 故选(B)． 问题:7. 设随机变量X和Y独立且在(0，θ)上服从均匀分布，则E(min{X，Y})等于 A．． B．θ． C．． D．． 答案:C[详解] 由题设可知，且Z=min{X，Y}的分布函数为 于是Z的密度函数为 故．故选(C)． 问题:8. 设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，都服从正态分布N(1，1)，且服从χ2(n)分布，则k和n分别为 A．． B．． C．． D．． 答案:A[详解] 因为 所以．故应选(A)． 二、填空题问题:1. 曲线y=x3+3x2-5上与直线2x-6y+3=0垂直的切线方程为______．答案:3x+y+6=0[详解] 设切点为(x0，y0)，则切线斜率为：． 又因为直线2x-6y+3=0的斜率为：， 所以，解之得x0=-1，y0=-3． 故所求切线方程为：y+3=-3(x+1)，即3x+y+6=0． 问题:2. 设f(u，υ)具有一阶连续偏导数，且满足，又g(x，y)=，则=______.答案:[详解] ， 故 问题:3. 将函数展开成傅里叶级数，其系数an=______．答案:0[详解] 因为所给的函数为奇函数，所以an=0．问题:4. 设Σ是曲面x2+y2+z2=a2的外侧，cosα，cosβ，cosγ是其外法线向量的方向余弦，则=______.答案:4π[详解] 由两类曲面积分的关系，得 问题:5. 已知n阶矩阵A满足2A(A-E)=A3，则(E-A)-1=______．答案:A2-A+E[详解] 2A(A-E)=A3A3-2A2-2A=O，设法分解出因子E-A． -A3+2A2+2A=O-A3+2A2+2A+E=E(E-A)(A2-A+E)=E， 故有(E-A)-1=A2-A+E． 问题:6. 设X～B，Y服从[0，3]上的均匀分布，且X与Y独立，则行列式的概率为______．答案:[详解] ，于是所求概率为 p=P{(X-1)(Y-2)＞0} =P(X-1＞0，Y-2＞0}+P(X-1＜0，Y-2＜0} =P{X＞1}P{Y＞2}+P{X＜1}P{Y＜2} 三、解答题问题:1. 设函数f(x)在点x=0的某邻域内具有二阶导数，且求f(0)，f'(0)，f"(0)及．答案:因为， 所以 由无穷小比较，可知及． 从而，其中，即f(x)=2x2+o(x2)， 因此可得f(0)=0，f'(0)=0，f"(0)=4，并有 设f(x)，g(x)为连续可微函数，且ω=yf(xy)dx+xg(xy)dy． 2. 若存在u，使得du=ω，求f-g；答案:由于ω=du，且f，g连续可微，故 令s=xy，得 ， 即，由此解得， 或，其中C为常数3. 若f(x)=φ'(x)，求u，使得du=ω．答案:当f(x)=φ'(x)时，由上题，有 由于与积分路径无关，故 其中C，C0是任意常数． 问题:4. 设函数f(x)在区间[0，+∞)上可导，且0≤f(x)≤． 证明：存在ξ＞0，使．答案:令，由于f(0)=0，所以F(0)=0 又因为，所以 故由罗尔中值定理，必有ξ∈(0，+∞)，使F'(ξ)=0，即 故．问题:5. 试求由球面与平面z=1所围成的密度为1的均匀体Ω对原点处单位质点的引力．答案:， ， 由对称性知：，其中G为引力常数， 故所求引力为．问题:6. 求幂级数的和函数，并指出其收敛区间．答案:令，则 于是可得该幂级数的收敛区间为x∈(-∞，+∞)．而 可知y"=y，即y"-y=0，解之得 y=C1ex+C2e-x． 又因为y(0)=1，y'(0)=0，代入上式可得， 故． 已知矩阵有零特征值，又矩阵使方程组AX=B有解．7. 求a，b，c的值；答案: AX=B有解 由 8. 求X.答案:因为方程组Ax=β1，Ax=β2，Ax=β3的通解依次为 故矩阵方程的解为 设矩阵，已知A的一个特征值为3．9. 求y的值；答案:因为3为矩阵A的特征值，所以|3E-A|=0，即 解之得y=2， 于是 10. 求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．答案:(AP)T(AP)=PT(ATA)P，而是对称矩阵． 考虑二次型 令y1=x1，y2=x2，，y4=x4，得 令，则有 问题:11. 段[0，1]上任取n个点，试求其中最远两点的距离的数学期望．答案:设Xi为在[0，1]中任取的第i个点的坐标，i=1，2，…，n．则X1，X2，…，Xn独立同服从[0，1]上的均匀分布，其分布函数为 令则最远两点的距离为X=X(n)-X(1)， 于是E(X)=E[X(n)]-E[X(1)] 因为 于是 从而 故 设总体X的概率密度函数为，其中θ＞-1为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的容量为n的简单随机样本．试求：12. θ的矩估计量；答案:总体X的数学期望为 设为样本均值，令，可解得未知参数θ的矩估计量为 13. θ的最大似然估计量．答案:设x1，x2，…，xn是相应于X1，X2，……，Xn的样本值，则似然函数为 当0＜xi＜1(i=1，2，…，n)时，L＞0，且 令，解得θ的最大似然估计值为 从而得到θ的最大似然估计量为．。