高考数学复习点拨三角函数图象的对称性.doc

三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚．　　一、结论　　１．函数的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），的对称中心是，，对称轴为．特殊地，原点是其一个对称中心．的对称中心是，，对称轴为，．特殊地，轴是其一条对称轴．　　2．函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１　函数 的对称轴方程是（　　）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解：令，得．故选（Ａ）．说明：对于函数的对称性，可令，转化为函数的对称性求解．例2　由函数，与函数的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形的面积，所以封闭图形的面积．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３　函数的图象关于原点中心对称，则（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：∵函数图象关于原点中心对称，且，∴函数图象过原点，即．，即．故选（Ｂ）．3．综合运用例４　已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值．解：是偶函数，轴是其对称轴，即轴经过函数图象的波峰或波谷，，又，．由的图象关于点对称，，即，又，．当时，，在上是减函数；当时，，在上是减函数；当时，，在 上不是单调函数．综上所述，或．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．的图象关于点对称亦可转化为，再令得到，再得到．用心 爱心 专心。