两个向量组等价(PPT课件).ppt

第11讲 向量组的极大无关组 n主要内容：n1. 两个向量组等价n2. 向量组的极大无关组3.3 向量组的极大无关组 n3.3.1 两个向量组等价nDef 3.7 设A和B是两个向量组，若向量组B中的每个向量可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示(B linearly expressed by A). 若向量组A与向量组B可相互表示，则称向量组A与向量组B等价(equivalent Vector sets).n设向量组A: 1, 2, m, 向量组B: 1, 2, n. 若向量组B可由向量组A线性表示，则下列每个线性方程组n都有解，利用上面的等式对(A, B)进行矩阵的初等列变换可以将其化成(A, O)，进而有R(A) = R(A, B).n反过来,若R(A) = R(A, B), 则向量组B可由向量组A线性表示.nTheorem 3.2 向量组B可由向量组A线性表示的充要条件是R(A) = R(A, B). n对于矩阵方程AX = B，例如n它有解的充要条件就是向量组B可由向量组A线性表示，即R(A) = R(A, B). 该结论推广了第1章定理1.1:n Ax = b有解的充要条件是R(A) = R(A, b).n根据上述定理知，向量组A可由向量组B线性表示的充要条件是R(A) = R(B, A). = R(A, B). 于是有nCorollary 1 向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B).n若R(B) = R(A, B),因为R(A) R(A, B), 所以有nCorollary 2 若向量组A可由向量组B线性表示，则R(A) R(B).n例3.9 设向量组 An证明：向量组B可由向量组A线性表示.nProofnR(A) = R(A, B) = 2.n因为定理3.2的结论不容易记住，主要是R(A) = R(A, B)和R(B) = R(A, B)容易混淆. 可直接根据定义验证向量组B的三个向量是否可由向量组A线性表示. n例3.10 下列两个向量组等价:nProof n显然向量组i, j, k可由向量组R3线性表示. nR2?n对于下列向量组A和B,由于3 = -21 + 2 ,所以向量组A与向量组B等价. n线性方程组n的增广矩阵的三个行向量分别为1, 2, 3 . 由于将第1个方程两边乘以-2加到第2个方程，就得到第3个方程，即3 = -21 + 2 , 因此上述线性方程组与线性方程组n同解. n所以，两个线性方程组同解又称为这两个线性方程组等价，是指增广矩阵的行向量组等价，这也是考虑向量组等价的一个原因.n向量组之间的等价关系具有以下3条性质，其证明是显然的.n(1)自反性 任意向量组A与A本身等价.n(2) 对称性 若向量组A与向量组B等价，则向量组B与向量组A等价.n(3) 传递性 若向量组A与向量组B等价且向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C等价.n3.3.2 向量组的极大无关组n1. 向量组的极大无关组的定义n在一个向量组中，总希望在其中找出一个所含向量个数最多的线性无关的向量组. 例如在向量组nDef 3.8 给定向量组A，若存在部分组B，满足n(1) 向量组B线性无关. n(2) 任意真包含B的部分组均线性相关.n则称B是A的极大线性无关组，简称极大无关组(maximal subset with linear independence).n只有零向量的向量组不存在极大无关组. 换句话说，含有非零向量的向量组均存在极大无关组.n下述定理在进一步的讨论中至关重要.nTheorem 3.3 设向量组1, 2, n线性无关，向量组1, 2, n, 线性相关，则可由向量组1, 2, n线性表示且表示形式是唯一的.nProof 由于向量组1, 2, n, 线性相关, 则存在一组不全为0的数k1, k2, kn, k,使得 n k = 0?n k 0:n假设 n例3.11 设向量组1, 2, 3线性相关，向量组2, 3, 4线性无关，证明n(1) 1可由2, 3线性表示.n(2) 4不能由1, 2, 3线性表示.nProof (1)由于向量组2, 3, 4线性无关,于是2, 3线性无关.又因为1, 2, 3线性相关，根据定理3.2知， 1可由2, 3线性表示.n(2) (反证法) 如果4能由1, 2, 3线性表示,再根据(1)得4能由2, 3线性表示.根据定理3.1知，2, 3, 4线性相关. C!n向量组与其极大无关组是等价的. n由于向量组之间的等价关系满足自反性、对称性和传递性，根据定理3.4知，等价向量组A和B的极大无关组也是等价的. 特别地，同一个向量组A的两个极大无关组也是等价的.n2. 向量组的秩n下面将证明等价向量组的极大无关组所含的向量个数相同，先证明nTheorem 3.4 设向量组1, 2, r线性无关且可由向量组1, 2, s线性表示，则rs.nProof 假设r s. 根据已知条件有 n若k11+ k22 + + krr = 0.nr s:有非零解, C! nCorollary 1 若向量组1, 2, r可由向量组1, 2, s线性表示，且r s, 则1, 2, r必线性相关.nCorollary 2 等价向量组的极大无关组所含的向量个数相同.nProof 设向量组A和B等价, 1, 2, r和1, 2, s分别是A和B的极大无关组，则1, 2, r和1, 2, s等价. n例3.12 证明：任意m + 1个m维向量必线性相关.nProof 由于m个m维标准单位向量线性无关:n任意m + 1个m维向量构成的向量组1, 2, m , m+1可由它们线性表示，故之.n根据推论2知，向量组A的两个极大无关组所含的向量个数是相同的. 正因为这样，将向量组A的极大无关组所含的向量个数称为向量组A的秩(rank of the vector set A). n只有零向量的向量组不存在极大无关组，其所含向量个数为0，这时它的秩为0. n显然，任意两个等价的向量组有相同的秩.n下面证明 nTheorem 3.6 向量组A的秩等于由它们作为列向量所构成的矩阵A的秩.nProof 设矩阵A的秩为r，则矩阵A存在一个不为0的r阶子式. 因为其所在的r个列构成的矩阵(1, 2, r)的秩亦为r，根据命题3.2知线性无关. 任取包含1, 2,r, 的r +1个向量，由于矩阵的秩为r，由命题3.1知它们线性相关，因此1, 2, r是向量组A的极大无关组，故向量组A的秩为r.nCorollary 设向量组A的秩为r，若A存在r个线性无关的向量1, 2, r, 则1, 2, r是A的极大无关组.nProof 任取 A, 因为1, 2,r, 的的秩为r，所以1, 2,r, 线性相关,进而1, 2, r是A的极大无关组. n3. 向量组的极大无关组的计算n下面结合例子给出利用矩阵的初等行变换求一个向量组的极大无关组的方法.n例3.13 求下列向量组的极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示出来.n分析 将所给向量组中的向量作为列向量构成矩阵n假定存在一组常数使得k1, k2, k3, k4, k5使得k11+ k22 + k33 + k44 + k55 = 0: n对A实施矩阵的初等行变换相当于对向量组1, 2 , 3, 4 ,5 相应的分量作变换，于是得到的列向量组1, 2 , 3, 4 , 5满足k1 1+ k2 2 + k3 3 + k4 4 + k5 5 = 0.n关键是其中的k1, k2, k3, k4, k5是保持不变的.例如，交换矩阵A的第1行和第2行，下等式仍成立n实施矩阵的另外两种初等行变换仍然如此. 于是，若1, 2 , 3, 4 ,5线性相关，则1, 2 , 3, 4 , 5线性相关.反之亦然. n上面的结论对于向量组A的部分组也是成立的. n通过以上的分析知，矩阵的初等行变换不改变(列)向量组及其部分组的线性相关性. n可以结合下列例3.13之求解过程的每一步进行逐一分析，以加深对该方法正确性的理解.nSolution of Example 3.13n这时，令。