第七章 化归、反演、模型方法.ppt

第七章 化归、反演、模型方法,第一节 化归方法,什么是化归方法呢？,问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”,回答：“壶中灌水→点燃煤气→把壶放灶上．”,追问：“如果水壶中已经有了水，其它的条件不变化，那你又应当怎样去做？”,再答：“点燃煤气→把壶放灶上提问者：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则不会这样做化归方法是指把待解决的问题，通过转化，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法化归-------转化和归结,实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向如学生已经掌握了一元二次方程的求根公式和韦达定理，因此，一元二次方程就是一个数学模式，而将双二次方程 ax4+bx2+c=0(a≠0) 通过换元，化归为一元二次方程就是将该问题模式化，规范化化归方法包括三个要素：　　 化归对象------即把什么东西进行化归；　　 化归目标-------即化归到何处去；　　 化归途径-------如何进行化归上面所举的例子中， 化归的对象----双二次方程；化归的目标----一元二次方程；化归的方法----换元法,化归方法的基本原则： （1）简单化原则---将复杂的问题通过变换转化为 简单的问题. （2）熟悉化原则---将陌生的问题转化为我们熟悉的问题. （3）直观化原则---将较抽象的问题转化为比较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化）. （4）正难则反原则---若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.,（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等 式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析 式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获 得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决 的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式 转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.,常见的转化方法,（6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把 问题变为易于解决的问题. （7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决 几何问题是转化方法的一个重要途径. （8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论， 易于确定. （9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的 形式进行解决.  （10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把 原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体 问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集 UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.,一、 常量与变量的转化与化归例1 设f（x）是定义在R上的单调增函数，若 f（1-ax-x2）≤f（2-a）对任意a∈［-1，1］恒成 立，求x的取值范围. 思维启迪 本题为抽象函数的单调性的应用问 题，应转化为大家熟悉的一元二次不等式（或一 元一次不等式来解决）.  解 因为f(x)是R上的增函数， 所以1-ax-x2≤2-a，a∈［-1，1］. （*） 方法一 （*）式可化为：a(1-x)≤x2+1. ①,典型案例,（1）当1-x>0时，①式变为 对任意a∈［-1，1］恒成立，只要 ∴0≤x＜1或x≤-1. （2）当1-x＜0，①式变为： 对任意a∈［-1，1］恒成立， 只要 ∴ x>1. （3）当1-x=0,①式显然成立. 综上所述，实数x的取值范围是： x≤-1 或 x≥0.,方法二 （*）式可化为：a(x-1)+x2+1≥0, 对a∈［-1，1］恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1. 则当且仅当 解之，得x≥0或x≤-1. 即实数x的取值范围是 x≤-1 或 x≥0.  探究提高 通过以上两种方法的比较可以看出， 若按常规方法求解，问题较麻烦；若将变量与参 数变更关系，a为主元，转换思考的角度，使解答 变得容易.这种处理问题的思想即为转化与化归的 思想.,变式训练1 设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在 ［-2，2］上变化时, y 恒取正值,求x的取值范围. 解 设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, 则f(t)是一次函数，当t∈［-2，2］时，f(t)>0恒 成立. 则由 解得log2x＜-1或log2x＞3, ∴x的取值范围是,二、正难则反的转化与化归例2 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3, y=x2+(a- 1)x+a2, y=x2+2ax-2a 中至少有一条与x轴相交，求 实数a的取值范围. 思维启迪 三条抛物线中至少有一条与 x 轴相交 的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相 交，只有一种情况.  解 令y=0，由,解得 ∴满足题意的a的取值范围是 探究提高 本题若从正面讨论则需分类讨论求 解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x 轴相交”着手，求出a的取值范围，再求其补集， 则使问题简单得多了.一个题目若出现多种成立的 情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考 虑，在排列组合中有较多这样的问题.,变式训练2 一个自动报警器由雷达和计算机两部 分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就 失灵.若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为 0.1，计算机失灵的概率为0.3，且两部分失灵与 否是独立的，求这个报警器使用100小时后失灵的 概率. 解 先考虑报警器不失灵的概率，即求雷达和计 算机均不失灵的概率.记“使用100小时后雷达失 灵”为A，记“使用100小时后计算机失灵”为B， 由于A与B相互独立，则报警器使用100小时后失灵 的概率为,三、以换元为手段的转化与化归例3 已知a∈R，求函数y=(a-sin x)(a- cos x）的最小值. 思维启迪 本题考查函数的最值问题、化归思想 及运算能力. 观察到等式右边是关于sin x·cos x 与sin x+cos x的三角式,可设t=sin x+cos x,则 原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题. 解 函数可化为 y=sin x·cos x-a(sin x+cos x)+a2. 设 t=sin x+cos x， 则 而,于是, y=f(t) 原问题化归为求二次函数 在　　　　　　上的最值问题。

（1）当 时，若t=a， （2）当 　　　 　时，f(t)在 　　　上单调递减，,（3）当 　　 时，f（t）在 　　上单调递增. 探究提高 此类问题换元后将问题化为熟知的二 次函数问题, 这种做法常被采用，在一个代数式中 若sin x·cos x与sin x+cos x 同时出现时，常设 t=sin x+cos x进而表示出sin x·cos x，原式转 化为含有t的代数式进行求解，使问题顺利解决.,变式训练3 已知奇函数f(x)的定义域为实数集 R, 且 f(x)在［0,+∞)上是增函数,当 时,是否存在这样的实数m,使f(cos2 -3)+f(4m-2mcos )>f(0)对所有的 均成立? 若存在, 求出所有适合条件的实数m; 若不存在,请说明理由. 解 因为f(x)在R上为奇函数,又在［0,+∞)上是增函数,故f(x)在R上为增函数,且f(0)=0. 由题设条件可得, f(cos 2 -3)+f(4m-2mcos )>0.,又由f(x)为奇函数,可得 f(cos 2 -3)>f(2mcos - 4m). ∵f(x)在R上为增函数, ∴cos 2 -3 >2mcos - 4m, 即cos2 - mcos +2m-2>0. 令cos =t, ∴0≤t≤1. 于是问题转化为对一切0≤t≤1, 不等式t2-mt+2m-2>0恒成立. ∴t2-2>m(t-2), 即 恒成立. 又 有界 ∴存在实数m满足题设的条件,,四、等与不等的转化与化归例4 若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都 有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2010)= . 思维启迪 通过两个不等关系,转化为f(x+1)= f (x)+1这个等量关系.  解 ∵f(x+1)≤f(x+3)-2≤f(x)+3-2=f(x)+1, f(x+1)≥f(x+4)-3≥f(x+2)+2-3 ≥f(x)+4-3=f(x)+1, ∴f(x)+1≤f(x+1)≤f(x)+1. ∴f(x+1)=f(x)+1. ∴数列{f(n)}为等差数列, 且公差为1.∴f(2010)=2010.,探究提高 恰当运用题设，由函数的性质推得 f(x)+1≤f(x+1)≤f(x)+1，即f(x+1)=f(x)+1，从而 实现了由“不等”向“等”的转化.在不等式中存在着相等的可能；反之，相等关系也必然是不等关系的临界情况.这也正是我们利用不等条件求值和利用相等条件求范围的出发点.,变式训练4 若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求 ab的取值范围. 解 方法一 （看成函数的值域）∵ab=a+b+3， 即a>1或a<-3,又a>0, ∴a>1,故a-1>0.,当且仅当 即a=3时取等号. 又a>3时， 是关于a的单调增函数. ∴ab的取值范围是［9，+∞）. 方法二 （看成不等式的解集）∵a，b为正数，,方法三 若设ab=t,则a+b=t-3, ∴a，b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根. 从而有： 解得t≥9,即ab≥9. ∴ab的取值范围是［9，+∞）.,现代数学教育理论认为： 数学教育目的不仅是传授知识，更重要的是培养能力和发展学生的思维；考察一个人的数学文化素养，主要表现在用数学思想去观察、分析、处理现实中的数学问题。

因此，加强数学中最基本的思想方法——化归方法的教学是非常必要的化归方法在教学中的应用,（1）利用化归方法学习新知识　　数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法 比如，有理数的定义（引进）是建立在整数（或自然数）的基础上的，有理数运算法则和大小比较的确定，其基本思想是将其化归为整数（自然数）的运算和大小比较。