2006考研数三真题及解析.doc

limn1n2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题1、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分，请将答案写在答题纸指定位置上nfx⑵设函数f(x)在x2的某领域内可导，且fXe,f21,则f2122⑶设函数f(u)可微，且f0—,则zf4xy在点(1,2)处的全微分dz122，21厂⑷设矩阵A,E为2阶单位矩阵矩阵E满足BAB2E,则B2(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则PmaxX,Y1⑹设总体X的概率密度为fx1e"2⑹设总体X的概率密度为fx1e"2x，为％,……Xn为总体x的简单随机样本,其样本方差S2，则ES2=二、选择题：9-14小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内•⑺设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0,5为自变量x在x处的增量，汕与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若込x0,则()(A)0dx仝y.(B)0二ydy.(C)fdy0.(D)dy二y0fh2(8)设函数fx在x0处连续，且lim-h0h21,则()(A)f00且f'0存在(B)f01且f'0存在(C)f00且f'0存在(D)f01且f'0存在(9)若级数an收敛,则级数()n1n1n1(A)an收敛(B)1nan收敛n1n1(C)a.an1收敛(D)anan1收敛(10)设非齐次线性微分方程(10)设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)有两个的解％x,y?x,C为任意常数,则该方程通解是()(A)Cy1xy?x(C)Cy1xy?x(B)y1xCy1xy2x(D)y1xCy1xy2x0,已知^),y0是fx,y在约束(A)若fxx°,y°0,则fyx0,y°0(B)若fxx°,y°0,则fy冷』。

0(C)若fxx°,y°0,则fyx0,y°0(D)若fxx°,y0,则fyxg,yo0(11)设fx,y与x,y均为可微函数，且yx,y条件x,y0下的一个极值点，下列选项正确的是()(12)设1,2,"…，s均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是()(A) 若1,2,…,s线性相关，则A1,A2/\As线性相关.(B) 若1,2,…，s线性相关，则A1,A2,…，As线性无关•(C) 若1，2,…,s线性无关，则A1,A2,…，As线性相关•(D) 若1,2,…，s线性无关,A1,A2/t,as线性无关•(13)设A为3阶矩阵將A的第2行加到第1行得B，再将B第一列的-1倍加到第2列得C,1 10记P010,则()001(A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPtAP(D)CPAPt三、解答题：15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定的位置上证明过程或演算步骤•(15)(本题满分7分)y彳.x1ysin设fx,yy,x0,y0,求1xyarctanx(I)gxlimfyx,y;(II)xin0gx.(14)设随机变量X服从正态分布N1PX11PY21,则必有(A)12(B)12221,随机变量Y服从正态分布N2,2,且()(C)12(D)12•解答应写出文字说明、(16) (本题满分7分)计算二重积分..y2xydxdy,其中D是由直线yx,y1,x0,所围成的平面区域D(17) (本题满分10分)证明：当0ab日寸，bsinb2cosbbasina2cosa(本题满分8分)在XOY坐标平面上，连续曲线L过点M1,0,其上任意点Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)(I) 求L的方程；(II) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为8时,确定a的值.3(本题满分10分)1n1x2n1求幕级数的收敛域及和函数s(x).n1n2n1(本题满分13分)TTT设4维向量组11a,1,1,1,22,2a,2,2,33,3,3a,3,T44,4,4,4a问a为何值时1,2,3,4线性相关？当1,2,3,4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出(18) (本题满分13分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量T1,2,1T0,1,1是线性方程组Ax0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量线性方程组Ax0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量(II)求正交矩阵Q和对角矩阵(II)求正交矩阵Q和对角矩阵，使得qtaqA;36(III)求A及(AE)6,其中236(III)求A及(AE)6,其中2E为3阶单位矩阵(22) (本题满分13分)设随机变量X的概率密度为设随机变量X的概率密度为fx丄,040,其它2,令丫X2,Fx,y为二维随机变量X,Y的分布函数，变量X,Y的分布函数，求：(I)丫的概率密度fYy(II)(II)covX,Y;(III)2,4.(23)(本题满分13分)X的概率密度为fx,0,1其它2,其中未知参数1,X1,X2,……Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值X1,X2,……Xn中小于1的个数，求:(I)的矩估计；(II)的最大似然估计2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题⑴【答案】1n【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有(1)，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。

1)n,则所以limnlimn⑵【答案】u2nu2nlimunn2e3limnlimn2n1(1)2n2n)(空)(1)2n'2n1limn2n1(右)1lim(n2n1百)1利用题目已知的函数关系式进行求导便ef(x)f(x)e2f(x)【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数f(x)f(X)、由f(x)e，有f(X)(e'丿)所以f(x)(e2f(X))e2f(x)(2f(x))2e2f(x)f(x)2e3f(x)以x2代入，得f(2)2e3f⑵2e3.⑶【答案】4dx2dy【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：方法1:由微分形式不变性，有222222dzf(4xy)d(4xy)f(4xy)(8xdx2ydy)dz(1,2)f(0)(8dx4dy)4dx-2dy方法2：求偏导数,z22zf(4xy)8x,f(4x22y)(2y).xy以x1,y12,f(0)—,代入dz—dx-zdy便得如上结果2xy⑷【答案】2【详解】由已知条件BAB2E变形得，BA2EBB(AE)2E,两边取行列式,B(AE)2E其中，AE2,2E22E因此,B2EAE2.(5)【答案】19【详解】根据独立性原理:若事件A,,…，A独立则am门…nA,pap事件max{X,Y}1X1,Y1X1门丫，而随机变量X与Y均服从区间［0,3］上的均匀分布1-dy031.又随机变量3X与Y相互独立，所以,Pmax(x,y)1Px1,Y1⑹【答案】2.【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量E(S2)D(X),故只要计算D(X)即可.X概率密度函数f(x)是偶函数则xf(x)为奇函数，所以E(X)xf(x)dx0222所以E(S)D(X)E(X)[E(X)]2E(X)f(x)dx20x2f(x)dxx2exdxx2dex0x|0exdx202x1xeI02xdex0x|02xexI。

2exdx0(1)2.二、选择题⑺【答案】A【详解】方法1:图示法.因为f(x)0,则f(x)严格单调增加；因为f(x)0,则f(x)是凹函数,又x0,画f(x)x2的图形结合图形分析，就可以明显得出结论:方法2:用两次拉格朗日中值定理△ydyf(x)^x)0dy^y.f(x°)f(x0)^x(前两项用拉氏定理)f(^xf(x°"x(再用一次拉氏定理)f()(xj也X,其中人由于f(x)0,从而△ydy0.又由于dyf(x3”x0,故选[A]方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式:皿(xX0)nRn,n!f(x)f(x0)f(Xo)(XX)f(x0)(xX)22!(n1)f(X)/n其中Rn(xxj.此时n取1代入，可得(n1)!ydyf(X0x)f(X0)f(X0)x)(x)2又由dyf(x0)x0选(A)(8)【答案】C【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下:换元令Xh2,由题设可得..f(h2)「f(x),lim2lim1.h0hx0x于是limf(x)limf(x)x100x0x0x因为函数f(X)在点X0处连续，故f(0)limf(x)0,进而有方法1数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛这表明f(0)1limf(x)x0x0且f(0)存在.limf(x)f(0)x0x0故应选(C)•f(0)(9)【答案】D【详解】因为an收敛所以a,,也收敛,所以佝需)收敛，从而亘4^也收敛.选D.ni(1)n，则an收敛•但nn1n11l,(p级数,p1级数发散)；ni/n2n1方法2：记a(p级数,p1级数发散)均发散。

由排除法可知，应选D.n1,nIn1a,a,in1(10)【答案】B【详解】线性方程解的性质与结构：1.由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；2.线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解因为％(x)y2(x),所以(yi(x)y2(x))是齐次微分方程的一个非零解，c是任意常数,所以C(yi(x)y2(x))是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解,[B].已知(xo,y°)o,由(x,y)o,在(xo,yo)邻域，可确定隐函数yy(x),满足y(x))丫史一dxx(x),yo)是f(x,y)在条件(x,y)o下的f(x,y(x))的极值点dz个极值点xxo是dxxxofx(xo,yo)fx(xo,yo)f(xo,yo)它的必要条件是f(xo,yo)dyo,则fy(Xo,y)o,则fy(xo,y°)ydx。