级数收敛的巧妙判定.ppt

级数收敛判别法8/31/20241内容提要•常数项级数复习和判敛法•函数项级数和一致收敛•求和号下取极限•幂级数与Taylor展开•三角级数与Fourier展开•Weierstrass定理8/31/20242常数项级数定义复习•级数定义：对于数列 , 称为级数(无穷和). 称 为级数 为前n项和或第n个部分和, 简称部分和; 称 为级数 的部分和序列. 数列中的项也称为级数的项.8/31/20243常数项级数收敛复习•级数收敛: 如果部分和序列 收敛就说级数 收敛, 并且定义部分和序列 的极限为级数 的和, 记为 8/31/20244常数项级数发散复习•级数发散: 如果部分和序列 发散就说级数 发散. 特别当部分和序列发散向+或-，记为或8/31/20245收敛级数的线性性质•若级数 和 收敛, 则级数 收敛, 且8/31/20246级数的敛散性与级数的前有限项无关•设N是一个给定的正整数, 则级数 的敛散性(即收敛与否)与级数 的敛散性相同.证明: 习题#8/31/20247常数项级数的分类• 按级数各项的符号分为正项级数(如果级数的每一项都非负)和变号级数(如果有的项为正,也有的项为负.• 对收敛级数按其绝对值级数 是否收敛分为绝对收敛 级数和条件收敛 级数8/31/20248常数项级数的收敛准则•Cauchy准则: 级数 收敛的充分必要条件是: , N, m>n>N•推论: 如果绝对值级数 收敛, 则级数 收敛.8/31/20249例题一•判断下列级数的敛散性8/31/202410常数项级数收敛的必要条件•如果级数 收敛则 .•证明：记 . 注意n>1,因此 8/31/202411例题二•下列级数发散8/31/202412正项级数的收敛原理•正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界.•证明证明: 此时部分和数列单调递增的. 由单调数列收敛定理就得到结论. # 8/31/202413正项级数的比较原理•设 和 是两个正项级数, 且存在N, 当nN时, . 则下列两个结论成立: •若 收敛, 则 收敛; •若 发散, 则 发散. •证明：练习. #8/31/202414比较原理的极限形式•设 和 是两个正项级数, 存在N, 当nN时, . 如果 , 则下列结论成立.(1) 若 , 收敛, 则 收敛;(2) 若 , 发散, 则 发散. #8/31/202415例题三•讨论下列级数的敛散性8/31/202416正项级数积分判敛法•设级数 满足 , 其中是上单调下降的正函数. 则级数 的敛散性(即收敛与否)与积分 的敛散性相同. 证明：习题#8/31/202417例题四•讨论下列级数的敛散性8/31/202418两类标准级数•几何级数 : 当|r|<1时, 收敛; |r|1时,发散；•证明：直接计算#•p级数 : 当p>1时, 收敛; p1时,发散.•证明：积分判敛法8/31/202419级数的例子•Euler常数：• 不是级数 收敛的充分条件.例子：调和级数8/31/202420参照几何级数的判敛法•d’Alambert(达兰贝尔)判敛法•Cauchy(柯西)判敛法8/31/202421d’Alambert(达兰贝尔)判敛法•设级数 的各项为正, 如果极限则–q<1时, 级数收敛; –q>1时, 级数发散; –q=1 时需用其他方法#8/31/202422Cauchy(柯西)判敛法•对于任意级数 , 如果上极限则–q<1时, 级数收敛; –q>1时, 级数发散; –q=1 时需用其他方法#8/31/202423例题五•判断下列级数的敛散性：8/31/202424正项级数第二比较原理•设 和 是两个正项级数, 且存在N, 当nN时, . 则下列两个结论成立: •若 收敛, 则 收敛; •若 发散, 则 发散. •证明：练习. #8/31/202425参照p级数的判敛法•Raabe(拉贝, 1801-1859, 瑞士)判敛法:设级数 的各项为正, 如果极限–q>1时, 级数收敛; –q<1时, 级数发散; –q=1 时需用其他方法#8/31/202426拉贝判敛法证明•q>1时, 为简单起见, 设即注意到: 因此8/31/202427拉贝判敛法证明(续)•q<1时, 为简单起见, 设即因此8/31/202428例题六•判断下列级数的敛散性：8/31/202429变号级数的判敛法•Dirichlet判敛法•Leibniz判敛法•Abel判敛法8/31/202430Dirichlet判敛法•设数列 单调递减到零，级数 的部分和序列一致有界. 则级数 收敛, 并且8/31/202431Dirichlet判敛法的证明•注意等式(*)右端的级数收敛, 考虑左端级数的部分和令n趋于无穷, 就得到等式(*).8/31/202432Leibniz判敛法•设数列 严格单调递减到零，则级数 收敛.•证明：取 , 然后应用Dirichlet判敛法.#8/31/202433Abel判敛法•设数列 单调递减地收敛到A，级数 收敛. 则级数 收敛, 并且证明: 由Dirichlet判敛法(**)右端第一个级数收敛. 余下利用级数的线性性质.#8/31/202434例题七•判断下列级数的敛散性：8/31/202435。