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现代数学和物理的关系周坚西湖青年数学论坛嘉兴/杭州, 04年4月21日-23日“中国人的数学能力是不容置疑的——陈省身“我认为我一生最重要的贡献是帮助改变了中国人自己觉得不如人的心理——杨振宁“我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙构成的最好语言在21世纪，我们将无法区别下面的学科：物理学：量子力学，广义相对论，弦理论几何学：示性类，指标公式非线性椭圆、抛物方程、双曲系统、混合型方程拓扑、代数几何、数论——丘成桐我们从以下两个方面可以看出现代数学和物理的关系：一杰出华人数学家和物理学家的一些主要贡献；二一些Fields奖获得者的数学工作与物理学的关系列举比较以上三位华人科学大师的一些贡献：陈省身：Chern-Weil理论、Chern-Simons理论杨振宁: 央-Mills理论, 央-Baxter方程丘成桐: Calabi-Yau空间、Schoen-Yau正质量定理• 他们三人都同时对几何学和物理学做出了巨大贡献陈：几何学大师，其数学理论在物理学中有广泛应用杨：物理学大师，其物理研究用到深刻的数学工具丘：数学物理大师，其研究横跨几何学和物理学• 物理学认为自然界中有四种基本作用力：引力、电磁力、强相互作用、弱相互作用• 现代物理学对它们的研究需要运用现代数学特别是几何学的深刻结果。

在这过程中出现了数学和物理学的多次交相促进，近年来已成为数学发展的重要动力之一a) Newton的古典引力理论只用到微积分Einstein的狭义相对论用到简单的线性代数，数学家Minkowski几乎同时得到类似结果Einstein的广义相对论则需要用到Riemann几何来研究时空和引力从数学上，Hilbert也得到Einstein方程b) Maxwell的电磁学方程也只用到多元微积分但数学家Weyl、Cartan对引力和电磁力的统一理论的研究（1920年代开始）促进了微分几何的发展，导致了向量丛、主丛上联络理论的出现1940年代Chern-Weil理论的出现标志着微分几何与代数拓扑的完美结合（联络理论与示性类理论的统一）c) 1950年代央-Mills规范理论提出后，逐渐成为统一后三种作用力的理论基础1970年代发现这种理论对应着几何学中的联络理论d) 1960年代出现的超弦理论在1970年代作为可能统一广义相对论和规范理论的终极理论得到大量研究数学上1970年代由于丘成桐证明Calabi猜想而得到的大量Calabi-Yau空间是超弦理论中主要的研究对象之一超弦理论的研究涉及数学的许多主流分支，是数学和物理学相互促进的重要领域而受到广泛关注。

几几几何何何工工工程程程(geometric engineering)是超弦理论中提出的一个重要理论：从超弦理论得到规范场论：从从从Calabi-Yau到到到央-Mills由此可以发现以上三位大师的理论是相互关联的：1物理方法（Vafa和合作者）：先从Calabi-Yau几何到Chern-Simons，再到央-Mills数学方法（LLLZ）：先从Calabi-Yau几何到Kac-Moody代数，再到央-Mills这里所牵涉的数学或物理结果大多可追溯到陈先生的工作以下分别简述指指指标标标理理理论论论和和和模模模空空空间间间Atiyah和Singer等人发展的指标理论可追溯到Riemann-Roch定理和Gauss-Bonnet-Chern定理，其发展依赖Chern-Weil示性类理论各种量子场论（如量子引力、量子规范场、非线性σ-model等）牵涉到各种模空间上的积分模空间的结构需要用指标理论来研究，而其上的积分则要用以下的谈到的局部化方法来研究场论中的各种反常（如gravitional anomaly, chiralanomaly)也需要用指标理论来研究1970年代Atiyah和Singer用指标理论研究规范场论中instanton的模空间1980年代Donaldson将他们的结果发展为研究四维流形的全新工具，启发了Witten的拓扑量子场论概念的引入。

1990年代a. Witten引进Seiberg-Witten方程及其模空间b. Gromov-Witten理论(全纯映射模空间理论）开始盛行c. 镜像对称(Calabi-Yau空间两种模空间的对偶性）被提出并得到广泛研究2等等等变变变上上上同同同调调调和和和局局局部部部化化化方方方法法法几何学中有许多局部与整体关系的结果如Poincare-Hopf定理：流形的Euler数可由向量场的奇点算出Lefschetz不动点定理：映射的Lefschetz数可由映射的不动点算出陈先生的关于Gauss-Bonnet定理的工作利用了Poincare-Hopf定理推广到复的情形有Bott residue theorem由Chern-Weil理 论 发 展 出equivariant cohomol-ogy和Atiyah-Bott localization theorem在指标理论里有Atiyah等人发展的一般的Lefschetz不动点定理这些局部化结果是研究带对称的数学或物理系统的有力工具，在数学和物理中都有广泛的应用在拓扑量子场论中由等变上同调理论也发展出了的Mathai-Quillen formalism.局部化方法也是超弦的数学理论中的重要方法。

连文豪、刘克峰、丘成桐用它证明了著名的镜像原理去年由刘秋菊、刘克峰和我证明的Mari˜ no-Vafa猜想及其推广，以及在Gromov-Witten理论中的应用都是以这种方法为基础的物理学家也广泛使用这种方法，如在几何工程的研究中Chern-Simons理理理论论论和和和扭扭扭结结结不不不变变变量量量产生与1970年代的Chern-Simons理论根源在1940年代陈先生的工作中Chern-Simons理论意想不到的在物理中有很多应用1980年代，Witten发现a. Chern-Simons理论可用来构造三维流形上不依赖度量的场b.它 与 共 形 场 论 （conformal field theory)中的WZW model的关系，在数学中这种模型对应于Kac-Moody代数的表示理论c.它与量子群(quantum group), 对应于物理中央-Baxter方程的解，有很大关系d. 以上两种代数结构都可以用来构造扭结不变量，如Jones polynomial和HOMFLY polynomial.可以用以下图表来表示：Chern-Simons理论央-Baxter方程Kac-Moody代数link invariants再次列举比较三位华人科学大师：陈省身：Chern-Weil理论、Chern-Simons理论杨振宁: 央-Mills理论, 央-Baxter方程丘成桐: Calabi-Yau空间、Schoen-Yau正质量定理它们都在认识自然界的终极理论的最前沿的探索中起着关键作用。

我们的近期成果：除了正质量定理以外，其他五项成果都是相互关联的是否随着超弦的数学理论理论进一步发展，这六项成果全部可以统一呢？事实上，物理学家已经开始用超弦理论研究引力和黑洞，如Strominger-Vafa对Bekenstein-Hawking熵做了弦理论解释Hawking（霍金）在杭州的演讲题目A brane newworld中的brane就是超弦理论中发展出来的如果相信超弦理论确实能统一引力理论和规范场论的话，可以预见，这第六项与其他五项的统一是迟早的事这有待在座的各位年轻人来实现Fields奖与物理学该奖项每四年一次，在“国际数学家大会”上颁发给40岁以下的杰出数学家目前共有45位得奖者，其中一人为华人• 超弦理论用到以下19位Fields奖的数学工作：Ahlfors, Kodaira, Serre, Atiyah, Grothendieck,Hironaka, Novikov, Mumford, Deligne, Quillen,Connes, 丘成桐，Donaldson, Faltings, Drinfeld,Jones, Witten, Borcherds, Kontsevich.他们工作的数学领域是复分析、代数几何、代数数论、算子代数、微分几何、有限群、可积系统、数学物理等。

• 其中以下得奖者现在仍活跃在数学物理的研究领域中：Atiyah, Deligne, Connes, 丘成桐，Drinfeld, Wit-ten• 在这6人当中，Atiyah, Deligne原先的研究出发点与物理无关，后来积极倡导数学与物理的交流• 在前面提到的19位得奖者中，以下8位的部分得奖工作的问题或方法来源于物理：Novikov, Connes, 丘成桐，Donaldson, Drinfeld,Witten, Borcherds, Kontsevich• 还有1位得奖者Freedman, 原先研究低维拓扑，后去微软公司，研究量子计算他提出的算法要用到物理学家Witten提出的用Chern-Simons理论构造扭结的Jones不变量的方法前面提到这也出现在我们的工作中）为了造出能够运行他的算法的计算机，他正在与搞凝聚态物理搞材料的物理学家合作西湖论坛有感仰怀曾慕倚天啸俯首常羡屠龙手高明满座论数理大师小生聚杭州谢谢大家！。