高等数学第五版第一章.ppt

极限运算法则极限运算法则求极限方法举例求极限方法举例小结小结 思考题思考题 作业作业第五节第五节 极限运算法则极限运算法则第一章第一章 函数与极限函数与极限1定理定理1证证 (1)无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系一、极限运算法则一、极限运算法则极限运算法则极限运算法则2即常数因子可以提到极限符号外面即常数因子可以提到极限符号外面.由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得(2)极限运算法则极限运算法则的特例是的特例是][][b ba a+ +± ±+ +BA+ +± ±= =][BA][b ba a± ±= =± ±\\)]()(lim[xgxf3定理定理2 2那末那末如果如果极限运算法则极限运算法则4定理定理3证证由定理由定理1(1),由保号性定理由保号性定理,即即故故有有极限运算法则极限运算法则有有5 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要注意条件: 参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限都它们的极限都商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.存在存在,极限运算法则极限运算法则6解解例例二、求极限方法举例二、求极限方法举例极限运算法则极限运算法则7 小小 结结则有则有则有则有极限运算法则极限运算法则8解解商的法则不能用商的法则不能用由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,例例极限运算法则极限运算法则得得9解解例例 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限. 方方 法法极限运算法则极限运算法则分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子10例例解解无穷小因子分出法无穷小因子分出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大. 方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出以分出再求极限再求极限.求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,极限运算法则极限运算法则11 小小 结结例例解解极限运算法则极限运算法则12例例解解先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式=不能用运算法则不能用运算法则. 方方 法法极限运算法则极限运算法则13例例解解“根式转移根式转移”法法化为化为 型型不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则. 分子有理化分子有理化极限运算法则极限运算法则14解解 原式原式=解解原式原式=极限运算法则极限运算法则15例例解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,左右极限为左右极限为极限运算法则极限运算法则是函数的分段点是函数的分段点,16极限运算法则极限运算法则设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,有定义有定义,若若且存在且存在有有则则定理定理4 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)证证 有有对上述对上述 有有取取故故取取证证及及同时成立同时成立, 即即)]([xgfy = =)(ufy = =)(xgu = =)]([xgfy = =,)(0uxg¹ ¹h h< <- -0)(uxg0)(0¹ ¹- -uxg0)(uxg- -17极限运算法则极限运算法则定理定理4 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,有定义有定义,若若且存在且存在有有则则注注定理中定理中,把把或或而把而把)]([xgfy = =)(ufy = =)(xgu = =)]([xgfy = =,)(0uxg¹ ¹18化为化为极限运算法则极限运算法则如果函数如果函数满足满足该定理的条件该定理的条件,那么作代换那么作代换可把求可把求例例求极限求极限: :解解可看作可看作与与复合而成复合而成. .并且并且因而因而19例例解解原式原式= 这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法.极限运算法则极限运算法则故故20推论推论例例例例则则极限运算法则极限运算法则211.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法: 对某些不能直接利用四则运算法则的极限对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法有时可采用下述方法:(1) 利用利用无穷小与无穷大互为倒数的关系无穷小与无穷大互为倒数的关系;(2) 利用利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质的性质;(4) 无穷小因子分出法无穷小因子分出法;(3) 消去零因子法消去零因子法;三、小结三、小结极限运算法则极限运算法则22(6) 直接利用无穷大的概念判断直接利用无穷大的概念判断;(5) 根式转移法根式转移法;(7) 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 为了对求极限的方法有全面的了解为了对求极限的方法有全面的了解,指出指出(8) 利用夹逼定理利用夹逼定理;(9) 利用连续函数的性质利用连续函数的性质;(10) 利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换;(11) 利用未定式求极限法利用未定式求极限法.极限运算法则极限运算法则还有下述方法还有下述方法:23思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？极限运算法则极限运算法则解答解答没有极限．没有极限．假设假设由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误．．有极限，有极限，为什么？为什么？(1)24试确定常数试确定常数解解 令令则则使使即即极限运算法则极限运算法则(2)0)1(lim33= =- -- -¥ ¥®®xaxx25作业作业习题习题1-5(481-5(48页页) ) 1.(1) (3) (5) (7) (9) (12) (14) 2.(1) (3) 3.(2) 极限运算法则极限运算法则26。