新人教版高中数学选择性必修第一册第三章椭圆及其标准方程培优练习题.pdf

3.1椭 圆3.1.1 椭圆及其标准方程第 1课时 椭圆及其标准方程(一)学习指导核心素养1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2 .经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.1.数学抽象：结合教材实例理解椭圆的定义及应用.2 .逻辑推理、数学运算：椭圆标准方程的推导及求解.必备知识工落实知识点一椭圆的定义(1)定义：我们把平面内与两个定点R,用的距离的和等于赏数(大于旧声2|)的点的轨迹叫做椭圆.(2)焦点：两个定点Q,Fi.(3)焦距：两焦点间的距离尸砂2|.(4)几何表示：眼理+附尸2|=次常数)且2 a|F i F2|.做 点 拨-(D 椭圆的定义中提到的“常数”一般用2 a 表示，焦距一般用2 c 表示.设点M(x,y)是椭圆上任意一点，则椭圆的定义的数学表达式为|M F i|+|M F 2|=2 a(2 a|FIF2|).(2)当2 a =|F i 刑时，点的轨迹是线段BFi.(3)当2 0 历尸2|时，点的轨迹不存在.即时训练判断正误(正确的打J ，错误的打 X )(1)已知尸1(一4,0),F2(4,0),平面内到尸1,放两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.()(2)已知人(一4,0),F2(4,0),平面内到尸1,3 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.()(3)平面内到点尸1(一4,0),尸 2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到点用 的距离之和的点的轨迹是椭圆.()(4)平面内到点E(4,0),乃(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.()解析：(1)X.因为2。

7|冏=8,动点的轨迹是线段尸砂2,不是椭圆.(2)X.2 a 2=1(加0,0,2工)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m,n的值即可.(),H 0,所以所求椭圆的方程为5+4)=1,故椭圆的标准方程为4X2-1-5+考点二椭圆的定义及其应用例12如图所示，已知过椭圆条+器=1的右焦点尸2的直线A B交椭圆于A,B两点，F 1是椭圆的左焦点.若曰|A|十|乃=12,试求弦A B的长.【解】由 椭 圆 方 程 费+晶=1可得5,故由椭圆定义有依川+|4仍|=210,|8尸1|+|8园=210,又北园+|8正2|=AB,所以|A B|=(|A F i|+|AF2|+|BFI|+|B F2|)-(FiA+FB)=2012=8.故弦AB的长为8.11题 技 巧-椭圆定义的双向运用”跟踪训练判断（正用）符合定义中到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）这一条件的点的轨迹为椭圆求值（逆用）椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a1.椭 圆 金+=1上的一点M到左焦点Q 的距离为2,点N是MFi的中点，则|川等于.解析：设椭圆的右焦点为尸2,则由|MFi|十|MB|=8,知|MB|=8 2=6.又因为点。

为RE2的中点，点N为M B的中点，所以QN|=T|MB|=3.答案：32.若椭圆的两个焦点的坐标分别是（0,2）,（0,2）,并且椭圆经过点（一|,则 椭 圆 的 标 准 方 程 为.2;V2/解析：椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为7=1（分 0）.由椭圆的定义，知2一+Q+2）乎+邛=2 ,所以 a=yld.又因为 c=2,所以 =/，=104=6,?2所以所求椭圆的标准方程为常+套=1.答 案:m+?=考点三椭圆标准方程的识别国 已 知 方 程 松+为=1表示焦点在轴上的椭圆，求t的取值范围.【解】因 为 方 程 六 三 十 占 =1表示焦点在x轴上的椭圆，O I I J(8 /0,所以0,、8 t t3,解得3VfV?.所以1的取值范围是(3,y圜 题 技 巧-根据椭圆方程求参数的取值范围m 0,7 9(1)给出方程5+?=1,其表示椭圆的条件是j 0，其表示焦点在X轴6w，上 的 椭 圆 的 条 件 是 其 表 示 焦 点 在y轴上的椭圆的条件是n m 0.(2)若给出椭圆方程A t 2+3 y 2=c,则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式5+=再研究其焦点的位置等情况.。

跟踪训练1.“o v t v i”是“曲线，+=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件p 0,?2解析：选B.曲线9+/=1表示椭圆等价于1一0,解得0 0,方程2依2+%y 2=变形为亍+=,所 以:_-L=16,I 2k义 课堂巩固工自1测解 得 仁 圭 答案：r2 v21.若 椭 圆 张+呆=1上一点P到焦点乃的距离为6,则 点P到另一个焦1O ZJ点放的距离是()A.2B.4C.6D.8解 析:选B.由椭圆定义知|PFi|+|P尸2|=2a=2X 5=10,则 曰 项=106=4.2.椭圆9+4/=1的 焦 距 为()A.坐B.小C.273 D.小解析：选B.由椭圆的方程V+得/=,/=；.又由/二标一，得/=(,解得坐,所以焦距2C=5.故选B.3.(2022北京怀柔区高二期中)已知椭圆的焦点为(0,4),(0,-4),椭圆上一点到两焦点的距离之和为1 0,则椭圆的标准方程为()2 2 2 2A.*+髭=1 B.+f =1C +得=1 D.祭+看=1解析：选D.由已知，椭圆的焦点在y轴上，且c=4.由椭圆定义得，2a=10,2 9则a=5,则。

3,从而椭圆的标准方程为=+，=1,故选D.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(l)a+c=10,ac=4；(2)焦点在y轴上，焦距是4,且经过点M(3,2).解：(1)由 a+c=10,a c=4,得a=7,c=3.所以=2 02=40.9 2 2故 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 言+苏=1或金(2)由题意知c=2,且焦点坐标分别为=(0,-2),尸2(0,2).由|M F i|+MFi=2a,即 2a =yj(3-0)2+(2+2)2+yl(3-0)2+(2-2)2=8,可得a=4,所以从=层一0 2=64=12.v2 v 2又焦点在y轴上，所 以 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 记+五=1.课后达标k检 测A基础达标1.已 知 椭 圆,+p=1 3知 0)的右焦点为尸(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则 椭 圆 的 方 程 为()C.27+5=/=18,b29,a21=9,解析：选D.由题意可得1 90+证b-=1，/V2故椭圆的方程为五十 =1.2 22.已知椭圆C：仔厂+1 =1的焦点在x轴上，且焦距为2啦，则13 2?m 1 vm=()A.2 B.3 C.4 D.5解析：选C.因为椭圆。

是焦点在x轴上的椭圆，所 以/=13 2，序=机1.又 2c=2，,所以 13 2m(m 1)2,解得机=4.2 23.(20 21 新高考卷I )已知Fi,尸2是椭圆C：+7 =1的两个焦点，点M在上，则 冏 的 最 大 值 为()A.13 B.12C.9D.6?9解 析：选 C.由椭圆 C:5 +，=1,得|MFI|+|MF2|=2X3=6,则|MFI|-|MF2|a2=2 5,所以所求椭圆方程为止+武-120 十 25-5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2、万,则此椭圆的标准方程为.解析：由已知 2a=8,2c=2-l5 ,所以 a=4,cy/15 ,所以 tr c c1v2=1615=1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为m+x2=l.答案：吃+/=16.（2022江苏省侯集高级中学高二期末）已知ABC的顶点3,C在椭圆可+V=i上，顶 点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在8C边上，则AABC的周长是.解析：设另一焦点为尸，由点尸在8C边上，所以aABC 的周长/KABI+IBCI+ICAHIABI+IBQ+ICFI+ia iX Z/+2小=4事.答案：4 s7.已知方程一 髭+J-=1.“十9 25 m（1）若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；（2）若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.|25-/?J0,解：（1）依题意，有，机+9 0,解得一9?8.z+9 0,（2）依题意，有，25 2 0,解得一9 加 （）,则C是椭圆，其焦点在轴上B.若m0,则C是椭圆，其焦点在x轴上C.若 机=0,则C是圆，其半径为gD.若?=0,0,则C是两条直线v 2 y2 I 1解析：选A D.若 2 0,则储+町i可化为1+丁=,其中帚0,则加%2+y 2=1可化为2+,2=、，此时曲线。

表示圆心在原点，半径为据 的圆，故 l nC错误；若m=0,n 0,则m x2+n y2=1可化为y2=,即y=r,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正 确.故 选A D.1 0.椭圆的焦距为由，则人的值为.解析：因为2 c =6,所以.因为椭圆的标准方程为+宁=1,k所以当焦点在X轴上时，2=,/=:,那 么/=1：=；,所以攵=2;1 1 1 2当焦点在y轴上时，/=1,从=,那 么/=7 1=5 ,所以上=1.综上可得=2或|.答案：2或:1 1 .已知四(一1,0),尸2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过尸2且垂直于X轴的直线交于A,8两点，且|A B|=3,则椭圆C的标准方程为.13 3解析：易知lA B H|A B|=,内 乃=？.由椭圆的定义，得|A Fi|=2 a-.在R t A 4 B B中，河1|2=依 附+尸 典2=1|)-+2 2=号.由 得2,所以 =/产=3.故椭圆C的标准方程为，+看=1.答案：Z+.=11 2 .求满足下列条件的椭圆的标准方程：(l)c ：5 ：1 3,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为2 6；9 2(2)过点(一3,2)且与椭圆方+：=1有相同焦点.解：(1)由题意知，2 =2 6,即a=1 3.又 c：a=5：1 3,所以 c=5,所 以。

2 =/=1 3 2 5 2=1 4 4,因为焦点所在的坐标轴不确定,2 2 、2 r2所以所求椭圆的标准方程为扃+七=1或 高+击=1.（2）依题意，知椭圆的焦点坐标为（士 小，0）.v 2 v2设所求方程为浸+鼻-5）,将点（-3,2）代入，得 =1 5,则 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 育=1.第2课时 椭圆及其标准方程（二）（关 键 能 力r 即）考点一椭圆中的焦点三角形问题题 F 已 知P为 椭 圆 片+=1上一点，Fl,尸2是椭圆的焦点，Z FIPF2=6 0,求b i P/72 的面积.【解】由已知得c=3,所以在P F1F2 中，|Fi F2|2=P F|2+|P F2|2-2|PFIHPF2|-COS 6 0 ,即 3 6=P F|2+|P F2|2-PF-PFI.由椭圆的定义得|P R|+|P F2|=4小，即 4 8 =1 P B i 2 +P F21+2P Fi-P F2.由得I P/HP刑=4,所以 5 /工=；|P Fi|-|P F2|-si n 6 0 -V 3 .一 题 多 变（变 条 件）若 将 本 例 中“/为尸尸2 =6 0 ”变 为“NFIPF2=9 0。

求F1 P F2的面积.X2 V2解：由椭圆瓦+左=1知|P R|+|P B|=4小 仍 网=6.因为NK P F2 =9 0所以|PFI|2+|P尸2产=I F1 F2 I2=3 6.所以|尸四卜|尸园=6.所以 1 F,P F,=l PF1-PF2=3.I 题技巧-焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2 a+2 c.(2)在 MFi B 中，由余弦定理可得|R F 2|2=|M FIF+|MP2|2 2|M FI|M F 2|COS仇Z F 1 M F 2).(3)焦点三角形的面积5 明 1=；IM F iU M Isin 0(0=AFxMFi).|B C|=8,得点A 的轨迹是以点8,C为焦点的椭圆.设椭圆方程为正+/则c=4,a=6,所以从=/一，=220,所以椭圆方程为去+去=1.又因为A,B,C三点要构成三角形，所以。