二重积分计算方法.pdf

二重积分计算方法l利用直角坐标系计算1. 1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对千一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数f(x,y)在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1)，即D={(x,y)队(x)~x气(x),a~x ~b}，其中(f)1(x)，(f)2(x)在［a,b]上连续，则有ff f(x,y)da-=『dx厂f(x,y)dy;ll'I(x) D (1) 若D 为y型区域（如招2)，即D={(x,y)忆(y):s;y :s; f// 2(y)，c:s;y:s;d}，其中肌(y)，胚(y)在[c,d]上连续，则有肛x,y)dCY=「叫动）f(x,y)dx.[I] c. D 叽(y)中i(x}` ` I.b .. x 图1y 巳.U . • I • . V. .. ,r,r cl« ( 2 ) 例l计算ff~心dy，其中D是由x=2,y=x，及xy=l所围成．X 2 D 分析积分区域如图3所示，为x型区域D t (x ~ ~ l:;x ± ~ 2 ~, }．确定了积分区域然后可以利用公式(1)进行求解解积分区域为x型区域D={(x,y)I区x~2,：勺y~x}则。

X 图2+iy2 y=x 2 X fIY 产rdy=［叶气yD ; x 寸12:！dx寸12（千归尸＝匠心］三l. 2积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x型或y型区域，不能图3y 图4X 直接使用公式(1)或者(2)进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x型或y型区域，然后利用公式ff f(x,y)dcr= ff f(x,y)dcr+ ff f(x,y)dcr+ ff f(x,y)dcr (3) 9乌D进行计算，例2计算二重积分II应，其中D为直线y=2x,x=2y及x+y=3所围成的区域分析：积分区域D如图5所示，区域D既不是x型区域也不是y型区域，但是将可D划分为D1 ={(x,y)I肛xsl，王sys2x}2 均为x型区域，进而通过公式（3)和（1)可进行计算．D2叶(x,y)IIs x s 3,2y sys 3-x} 解D划分为D,={(x,y)[o气l,；声2x},D2叶(x,y)ll::;立3,2 y ::; y ::; 3－叶则JJ da = lj da+ lj da = f~ dxft dy+ f dxf;-x dy D D,乌2y x=2y X 心X一产f(3-X一护卢］产主］：分1. 3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例3计绊二重积分JJRdxdy,其中D为区域1中1,0至店2分析由千被积汤数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为D,=｛卢卢2,D2=｛肛y釭2两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以—1三x三l—l三x三ly DI x 化为基本函数，其原函数很容易求得．。

图6解区域D如医6可分为D1UD2,其中D2 =｛归y 三x2—1 ~x~ 1 Dl ={x2三y三2—l 5x三l由公式（3)则ijRdxdy＝匠汇dxdy＋匠扣玉xdy寸1dx[.2卢办＋f：ldxf飞二办＝曰2利用变量变换法计算定理1设f(x,y)在有界区域D上可积，变换T:x=x(u,v),y = y(u,v)，将u,v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域A一对一地映成x,y平面上的区域D,函数x(u,v),a(x,y) 克比行列式J(U, V ) = ~ -;/:. 0 , (U, V) E ~ 则a(u,v) y(u,v)在A内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅归x,y)d(J'=fj小（u,v),y(u, v))IJ(u, v)ldudv (4) (4)式叫做二篮积分的变量变换公式，2. 1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．x-v 例4求ffex+y心dy,其中D是由x=O,y=O,x+y=l所围曲线（图7)D y D x 图7分析由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变堂，简化被积函数，如果做替换T:u=x+y,v=x-y．在变换T作用下区域D的原像A如图8所示，根据二重积分的变量变)) VV + I .uu 了（（l-21_2 == 单xy 简别l•• T 算十、V换变分积做, 式解公以换所V 1 J (U, V ) = ~ > 0 2 u 竺巴lllv II 妒~dxdy=ff矿—dudv=~ f叫e-;;duD 2 2。

VA ,0 图8叶I；中－e-1伈一le-e = 4 2.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有u= f(x,y), v = g(x,y)且m~u~n,a~v~/3，则把xy平面上的积分区域D对应到UV平面上简单的矩形区域A，然后根据二重积分的变罹变换公式(4)进行计算．例5求抛物线y2= mx,y2 = nx和直线y =ax,y=/3x所围区域D的面积µ(D).分析D的面积µ(D)=ff心dy.实际是计算二重积分Jfdxdy,其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，2 2 2 观察积分区域不难发现m=y y —,n=—,a= y y y ; a=l,/3＝2，如果设u=—,v＝一，则有m~ u ~ n, a~ v ~ fJ, X X X X X X 解 D的面积µ(D)= ff dxdy D 作变换所以T [f, A=[m,n]x[a,fJ] u u J(u,v)=了,（u,v)E ~ V 心）＝ffdxdy= ff华udv=f/J勺'1udu=（矿－m2)（/3厂矿）V“V n1 6a3/J3 D A 3x 例6求II勹——呐dy.D :.xy = l, xy = 3, y2 = x, y2 = 3x所围区域D y +xy y 分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T:u=xy,v=—-，它把xy平面上的区域D对应到UV平面X 上的矩形区域A.解令xy2y_x == UV LV、. T 在变换T作用下，区域D的原像1 ~ ={(u,v)II:::;u:::;3,1:::;v:::;3}, J(u,v)=f-:/=-0 3v 所以肛归心dy=JJ~·idudv= f dvf ~ =%ln2 2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f(x归y2)、．f(：）或JU)形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换T:｛x=rcosO,0SO

2冗d0f气(rcos0,rsin0)rdrC7) D (3)如果原点0在积分区域D的边界上，则A为o::;;r::;;r(0), a::;;e勺J3那么ff f(x,y忱dy=t/3d0l1位）f(rcos0,rsin0),,drC8) D 例7计算1=JI dCY D ［二，其中D为圆域：XL+YL ~ 1 分析观察到积分区域为圆域，被积涵数的形式为f(x2+ y勹，且原点为D的内点，故可采用极坐标变换T: ｛x=rcosO,0三r三l，可以达到简化被积函数的目的．y = r sin 0, 0.:::; 0.:::; 2冗解作变换T:｛x=rcosO,0三r三l,y=rsine,o:::;0:::;2兀则有l= JJ心才可11 D二0 d0j0~rdr 2”[－汇］；d0=i2兀d0=2冗例8计算二重积分Jfydxdy,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2,以及曲线x=-✓闪尸了气所围成的平面区域．分析首先根据题意，画出积分区域，由千积分区域D与趴一起围成规则图形正方形，且趴为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解积分区域如图9所示，D+DI为正方形区域，DI为半圆区域，则有ff ydxdy = ff ydxdy -ff ydxdy, D D+D, D, 而y D x 图9ff ydxdy=『dxf:dy=4, -2 JO D+D, 又冗DI :0幻r:::;2sin0,－勺O＜冗2 故原式ff ydxdy= I冗rd0厂0rsin-rdr = ~ f; sin40d0 Dl 了°f 3 Ji ＝气(1-2cos20+~尸3x4 2 2 J 2 2.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：x = ar cos 0, 0 ~ r ~ oo T:｛y=brsin0,0平2冗并且雅可比行列式J(u,v)=abr 同样有(9) 例9计算l＝护D 分析ff J(x,y卢[y= ff J (ar cos 0, br sin 0 ~brdrd 0 D I 2 2 ／dxdy，其中D~ { (x,y il o,; y,; b曰，Q,;x,;a}x =arcos0,0s rs I 根据给出衱积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换T{ 冗，可y =brsin0,0s 0s7 2 以达到简化积分区域和被积函数的目的．解作广义极坐标变换, l冗一2<-<-rO <-<-00 9,0, OSm CS rr ab ____ xy ,Vj .. T J(u,v)=abr 由（9)知c ffD __ I I.. 2. 2斤l－兰－乌dxdy= i了d0f1c汇了abrdra b。

" = abcl了d0Jlr汇了dr=互abc0 J O 6 3某些特殊函数的计算3. 1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果 D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关千某点对称）的两部分DI和D2,那么有如果f(x,y)在 DI上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么JI f(x,y如＝0D 如果f(x,y)在从上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么ff f(x,y如＝2fff(x,y如＝2ffJ(x,y如(3]D D,乌例10计算Jfx2y心办，其中D为双曲线x2-y2 =1及y=O,y=l所围成区域D 分析首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到f(x,y)=x沙为x的偶函数，另一方面D关于y轴对称，且f(x,y)在队在D2上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解积分区域如图10所示：D!为D在第一象限内的部分，D关于y轴对称，又f(x,y)=x2y为x的偶函数，由对称性有lI入c2ydxdy = 2 ff x2 ydxdy D D 宜选择先对x后对y的积分次序故原式1.rR 妒芦护2小2ydYd y =2i。

叶x2ydx＝：心(1+y2)；小＝言(1+y2归节（磷－1)y D2 I D1 x 10 3.2分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的阳形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例1 1求Jflx2+ y2-41dxdy,其中D为x2+ y飞9围成的区域．分析被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得x2 +l-4习0及x2+y2-4~0的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解为去绝对值号，将D分成若干个子区域，即D1 :x2+y2生4D2 :4立＋y2巠9在D1内lx2+ y2 -41 =4-x2 -y2 在D2内忙＋y2-41=x2+y2-4 故原式Jflx2 + yz -41 dxdy D = ff(4-x2子）dxdy+ff厅＋y2-4)dxdy,D, D2 利用极坐标计算有Jf (4-x2了）dxdy=1互叶(4- r2) rdr = 8兀D, II伬＋y2-4)dxdy=『”可（产－4)rdr＝鸟D2 Ol 2 25 41 故原式＝8冗＋—冗＝—兀2 2 e-(x+y),x > 0,y > 0 例12求Jjf(x,y)dxdy，其中J(x,y)＝{, D由0，其他x+ y=a,x+y=b,y=O和y=b+a所围成(b>a>O)分析首先划出积分区域，将区域D分解为如图所示三个区域，根据被积函数的形式分别计算出每个积分区域上的积分，再利用二重积分对区域的可加性再相加即得解如图11，并由J(x,y)表达式可得D=D,UD2 UD3-在从上有f(x,y)=O，则因而ff f(x,y)dxdy = 0. 乌l = ff e一(x+y)dxdy+ff e一(x+y)dxdy0, D3 寸产寸勹．e一回）dy+r d.x!。

忙Xe--{，+y)dy= ae-a -be-b +e一”-e-ba X 11 。