102 排列与组合.docx

§10.2 排列与组合取新考纲考情考向分析1•理解排列的概念及排列数公式，并能利用 公式解决一些简单的实际问题.2•理解组合的概念及组合数公式，并能利用公 式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常 以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考 查分析、解决问题的能力，题型以选择、填 空为主，难度为中档.基础知识自主学习— 回扣星础知识 训势星珊砸目 一t知识梳理1. 排列与组合的概念名称定义排列从n个不同兀素中取出m(mWn) 个兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2. 排列数与组合数(1) 排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排列数，用Am表示.(2) 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cm表示.3. 排列数、组合数的公式及性质公式…. . .… -. ... n!(1) Am一n(n — 1)(n — 2)・・・(n—m + 1)一 / 、.n (n_m)!,、一 Am n(n —1)(n—2)・・・(n—m+1) n!(2) Cn Am m! m! (n_m)!性质(3) 0 !=1； An=n!(4) Cm — Cn m； Cm 一—Cm + C _1' / n n n+1 ~n n■基础自测题组一 思考辨析1. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“厂或“X”)(1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(X )(2) 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( X )(3) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(V )(5) 若组合式Cn=Cm，则x=m成立.(X )(6) kC汁nC 仁[.(V )题组二 教材改编2. [P27A 组 T7]6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 答案 D解析 “插空法” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A?二4 X 3 X 2二24.3. [P19 例 4]用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A. 8 B. 24 C. 48 D. 120答案 C解析 末位数字排法有人2种，其他位置排法有a4种，共有A1A4二48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三 易错自纠4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ()A. 192 种 B. 216 种C. 240 种 D. 288 种答案 B解析 第一类：甲在左端，有A? = 5X4X3X2X1二120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A4 = 4X4X3X2X1二96(种)排法.所以共有120 + 96二216(种)排法.5．为发展国外孔子学院，教育部选派6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每 个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为（ ）A．180 B．240C．540 D．630答案 C故不同的选派方案种数为90 + 360 + 90二540.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A, B, C, D,E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己 车票相符座位的坐法有 种. （用数字作答）答案 45解析 设5名同学也用A,B,C,D,E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法， 设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票 相符座位的坐法有9X5= 45（种）.题型分类深度剖析 酉贬典题深廈剖折迈点逬点辛诡揀究 题型一 排列问题■■■■■■"" 丄「匚耳1. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言. （用数字作答）答案 1 560解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全 班共写了 A20 = 40X39 = 1 560（条）留言.2. 用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ）A. 18 B. 108C. 216 D. 432答案 D解析 根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C2A2种排法；第二步，将 2,4,6排成一排，共A3种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共人4种 排法•综上，共有C3A2A3A2 = 3X2X6X12 = 432(种)排法，故选D.3．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、 丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )A．1 108 种 B．1 008种C．960 种 D．504 种答案 B解析 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人•将6人全排列有A2A6种排法；将甲排在排头，有 A2A5种排法；乙排在排尾，有a2a5种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有a2a4种排法•则 甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有 A22A66－A22A55－A22A55＋ A22A44= 1 008(种)．思维升华 排列应用问题的分类与解法(1) 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法．(2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法.题型二组合问题 「J—'.典例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3 种．解 (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234= 561(种)取法，•°•某一种假货必须在内的不同取法有561种.⑵从34种可选商品中，选取3种，有禺种或者C35 -C34二C34二5 984（种）取法.•某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．⑶从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有q0C25二2 100（种）取法.•恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．⑷选取2种假货有C10C?5种遗取3种假货有C35种，共有选取方式C10C?5 +住二2 100 + 455二 2 555（种）.•至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．（5）方法一 （间接法）选取3种的总数为C?5，因此共有选取方式C35 - Cj5 二 6 545 - 455 二 6 090（种）.•至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二 （直接法）共有选取方式 C20 + C20C15 + C2°C15 二 6 090（种）.•至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：（1） “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2） “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “至少”与“至 多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法 分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练 （1）在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运 动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有 1 个不相同的选法种数 为（ ）A．30 B．36C．60 D．72答案 A解析 因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C4C4种.其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C?种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C4C4 - C4 = 30（种）.故选A.A．60 种 B．63 种C．65 种 D．66 种答案 D解析 共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C4 + C4 + C5C4二66（种）.题型三排列与组合问题的综合应用命题点 1 相邻、相间及特殊元素（位置）问题 答案 60解析2位男生不能连续出场的排法共有他二A3 X A4二72（种），女生甲排第一个且2位男生二 60.不连续出场的排法共有N2二A§XA2二12（种），所以出场顺序的排法种数为N二竹-N2A. 18 种 B. 24 种C．36 种 D．48 种答案 B解析 根据题意，分两种情况讨论：① A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三 个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C2 X C2 X q二12（种）乘坐方式；② A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲 车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C3XC2XC1二12（种）乘坐方式，故共有12 + 12 = 24（种）乘坐方式，故选B.命题点 2 分组与分配问题典例 （1）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生毕业后要分到相应的地区任教．现有6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有 种不同的分派方法．答案 90答案 36解析 先把4名学生分为2,1,1共3组，有CA2®二6（种）分法，再将3组对应3个学校，有A22A二6（种）情况，则共有6X6二36（种）不同的保送方案.思维升华 （1）解排列、组合问题要遵循的两个原则① 按元素（位置）的性质进行分类；② 按事情发生的过程进行分步•具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先 满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）．（2）分组、分配问题的求解策略① 对不同元素的分配问题a •对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后 一定要除以An（n为均分的组数），避免重复计数.c•对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不 需要除以全排列数．② 对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种答案 D答案 660解析 方法一 只有1名女生时，先选1名女生，有q种方法；再选3名男生，有c6种方 法；然后排队长、副队长位置，有A4种方法•由分步乘法计数原理知，共有qC6A2二480（种） 选法．有2名女生时，再选2名男生，有$种方法；然后排队长、副队长位置，有A4种方法•由 分步乘法计数原理知，共有C6A2= 180 （种）选法•所以依据分类加法计数原理知，共有480 + 180二660（种）不同的选法.方法二 不考虑限制条件，共有A2C6种不同的选法， 而没有女生的选法有AgC4种，故至少。