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II．非平衡态统计物理第一章 气体运动方程第一节 玻尔兹曼方程全同粒子，近独立体系，粒子数不变空间单粒子微观状态用（）描述，（）张开的空间称平衡态系统的微观状态可用分布函数描述 为单粒子能量——处于（）处的粒子数的密度分布思考题：与正则系综理论的关系，例如，如何写出配分函数非平衡态粒子数密度与时间t有关 关键：如何求f ？ 显然，如果t是微观时间，求解的难度和解微观运动方程差不多所以，t一般是某种介观时间或宏观时间· 先试图写下f的运动方程· 再讨论如何求解如果粒子不受外力，没有粒子间的碰撞，我们有粒子流守恒方程如何来的？对积分 左边： 中单位时间粒子数的增加右边： 单位时间流入的粒子数 注意：的方向为向外的，至少在局部是常数，所以，是从dS流入的粒子数，因为 另一方法：没有外力，至少在局部是常数 时刻处于处的粒子 ＝t时刻处于的粒子因为在内粒子移动 如果粒子受外力，但互相不碰撞如果粒子相互碰撞 玻尔兹曼方程为由粒子碰撞引起的粒子数密度的变化假设· 只有两体碰撞· 边界条件不重要· 外力只对单粒子运动起作用，不影响碰撞· 不同相空间点的f没有关联· 时间标度远大于分子碰撞时间 空间标度远大于分子尺度二体碰撞 入射 出射 能量守恒 动量守恒 逆过程也类似 出射 入射 能量守恒 动量守恒 · 在处，t时刻由产生的概率为 在处增加的粒子数为 在t时刻，在处减小的粒子数为 注意：这里我们假设t是介观时间，已略去分子碰撞细节。

习题：假设 ，计算出中对的积分第二节 一些简单例子1、平衡态“平衡” （这似乎是充分条件） 设 即为平衡态的解的形式, 还必须受到限制，如等思考题：为什么？（因为 ）2、没有碰撞，没有外力解为 为t＝0时粒子数分布例如：t＝0时，温度为T的气体凝聚于原点即 归一化常数思考题：为什么取这样的形式？注意：原点为宏观原点，微观粒子还在运动 是Boltzmann分布计算t时刻的粒子数分布率 因为对粒子系统，单粒子积分限可取为 粒子随时间扩散，经t时间后，处粒子由t＝0时动量为的粒子而来3、没有碰撞，有外力 例如：二维稀箔电子气 为平均粒子数密度注意：* 因为空间尺度远大于分子尺度，所以，体积元之间的力也是‘外力’ * 如粒子均匀分布，体积元之间的相互作用力抵消 * 库仑力力程较长，所以没有碰撞设 ， 是常数 （习题） 假设较小，取一级近似， 即这是一个 Ansatz，一个时间空间较均匀的分布当然，平衡态的分布更均匀，但我们希望研究离平衡态不远的较均匀的非平衡态。

注意：这里已略去这高阶项无关 此时没有平衡态注意： · 还是的函数，而不是 · 是由引起的粒子数分布解的条件，或说震荡的条件是 当 小，即空间比时间更均匀些， 由对称性： ∴ ～ 这是所谓色散关系比较自由粒子，第三节 碰撞与扩散假设没有外力，电子之间不碰撞，但会和晶体中的杂质碰撞碰撞是一种特殊的力的作用，力程较短能量守恒 杂质 动量不守恒 为的方向，为散射率设体系离平衡态不远 · 假设杂质分布空间均匀，所以有因子· 但和杂质的碰撞不一定在时间方向均匀，所以不一定有 注意：是解的参数，不是动量变量由玻尔兹曼方程 （*） 由于的大小不变，所以只是的方向的函数方程（*）有点象量子力学中Schrodinger方程，只是相互作用有点怪，但是至少还是线性不妨用类似方法求解习题：证明为线性方程定义内积（也即矢量乘法） 的方向矢量因此所有构成一线性空间 设 的本征值和本征矢为 则一般解为 假设非常小（离平衡态不远，因为平衡态趋向均匀），可对作微扰展开。

先解的本征方程显然 是一个解注意到不是的函数，所以任何积分为零的函数的本征值为（散射率） 是球谐函数考虑到，这便是所有解，因为构成完备系定态微扰论，对展开 代入本征方程 可以逐阶计算 由非简并微扰论 类似地 设和的夹角为，即取为的z轴方向，则，所以，唯一的非零项来自于 为平均自由时间当t增大，的贡献迅速消失，但对，当很小，下降十分缓慢，这是粒子数守恒的结果因为当，与无关，对的积分即为总粒子数，但对的积分为零，所以即代表总粒子数 当t足够大，略去的项 这是典型的扩散方程越大，D越小，扩散越快第四节 碰撞与声波、粘滞系数、热传导没有作用力设 由玻尔兹曼方程 说明： 为自由部分 为高阶项，略去一阶项为 因子左右两边消去 一阶项为 ∴ 由能量守恒 定义内积若能求解本征方程 则 仍然先解的本征方程，再对作微扰展开的本征值的大小大约可以从估计* * （碰撞率）由粒子数守恒、能、动量守恒，有，以及相应的五个本征矢其中 为对的平均说明：1、＝常数，显然 2、则 由能量守恒 ～ 0这里是为了正交归一化 （否则 不正交）3、则 由动量守恒 ～ 0按照量子力学中的微扰论，一阶微扰矩阵为 的本征值即为取为z方向（即方向）显然，由于正交性，的矩阵元全部是零。

对其他三个指标 说明： 是显然的，因为为奇函数 因为 为偶函数 由于为偶函数，所以 和 亦非零的本征值为 结论：在一阶近似下，没有得到非零的实部，需要进行二阶计算，较复杂结果：二阶近似 其中 代表 方向的声波 如果没有碰撞，没有声波这里的物理意义十分清楚 代表粒子动量的改变 正比于粘滞系数代表能量的改变和密度的微弱变化这是扩散或说热传导思考题：为什么是复数？。