第三章 非线性方程求根.docx

第三章 非线性方程求根 其次章 非线性方程的求根方法 其次章 引言 非线性方程的求根方法 方程求根的二分法 迭代法及其收敛性 Newton迭代法 2.1 引言 方程是在科学讨论中不行缺少的工具； 方程求解是科学计算中一个重要的讨论对象；几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程 的求解公式； 但是，对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精 确解法； 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法； 因此，讨论非线性方程的数值解法成为必定 非线性方程的一般形式： f(x)=0 代数方程： f(x)=a0+a1x+……+anxn (an 0) 超越方程 ：f(x)中含三角函数、指数函数、或其 他超越函数 用数值方法求解非线性方程的步骤： (1)找出隔根区间；(只含一个实根的区间称隔根 区间) (2)近似根的精确化从隔根区间内的一个或多个 点动身，逐次靠近，寻求满意精度的根的近似值 2.2 方程求根的二分法 定理1(介值定理)设函数f(x)在区间[a,b]连续， 且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一 个根。

二分法的基本思想：假定f(x)=0在[a,b]内有唯一单实根x*,考察有根区间 [a,b],取中点x0=(a+b)/2,若f(x0)=0,则x*= x0 ,否则， (1)若f(x0)f(a)0,则x*在x0右侧，令a1=x0, b1=b; (2)若f(x0)f(a)0,则x*在x0左侧，令a1=a, b1= x0 以[a1, b1]为新的隔根区间，且仅为[a, b]的一半，对 [a1, b1]重复前过程，得新的隔根区间[a2, b2],如此二分下去，得一系列隔根区间： [a, b] [a1, b1] [a2, b2] …… [ak, bk] ……其中每个区间都是前一区间的一半，故[ak, bk] 的长度： 1 bk ak k (b a ) 2当k趋于无穷时趋于0 即若二分过程无限连续下去，这些区间最终必收敛于 一点x*,即方程的根 每次二分后，取有根区间的中点xk= (ak+bk) /2作 为根的近似值，则可得一近似根序列： x0, x1, x2, … 该序列必以根x*为极限 实际计算中，若给定充分小的正数 0和允许误差 限 1,当|f(xn)| 0或bn- an 1时，均可取x* xn。

二分法性质： f(an) n)0; f(b bn – an = (b – a)/ 2n 定理2 设x*为方程f(x)=0在[a, b]内唯一根，且f(x)满意f(a)f(b)0,则由二分法产生的第n个区间[an, bn] 的 中点xn满意不等式 b a xn x * n 1 2证明： bn an b a xn x * n 1 2 2 二分法求解非线性方程的优缺点：计算过程简洁，收敛性可保证； 对函数的性质要求低，只要连续即可 收敛速度慢； 不能求复根和重根； 调用一次求解一个[a, b]间的多个根无法 求得 2.3 迭代法及其收敛性 不动点迭代法不动点的存在性与迭代法的收敛性 迭代收敛的加速方法 迭代法的基本思想：迭代法是一种逐次靠近的方法，用某个固定公式 反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最终得到 满意精度要求的结果例：求方程 x3-x-1=0 在 x=1.5 四周的一个根 解：将所给方程改写成 x 3 x 1假设初值x0=1.5是其根，代入得x1 3 x0 1 3 1.5 1 1.35721 x1≠x0,再将x1代入得x2 3 x1 1 3 1.35721 1 1.33086 x2≠x1,再将x2代入得x3 3 x2 1 3 1.33086 1 1.32588 如此下去，这种逐步校正的过程称为迭代过程。

这里用的公式称为迭代公式，即 xk 1 3 xk 1 k=0,1,2,…… 迭代结果见下表：k0 1 2 3 4 xk1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 k5 6 7 8 xk1.32476 1.32473 1.32472 1.32472 仅取六位数字，x7与x8相同，即认为x8是 方程的根 x*≈x8=1.32472 2.3.1 不动点迭代法 将连续函数方程f(x)=0改写为等价形式：x= (x) 其中 (x)也是连续函数，称为迭代函数 不动点：若x*满意f(x*)=0,则x*= (x*);反之，若 x*= (x*) ,则f(x*)=0 ,称x*为 (x)的一个不动点 不动点迭代： xk 1 ( xk ) (k=0,1,……) 若对任意 x0 [a, b],由上述迭代得序列{xk},有极限 lim xk x *k 则称迭代过程收敛，且x*= (x*)为 (x)的不动点 几何意义： x (x) y x y (x)y=x y (x) x2 x1 x0 但迭代法并不总令人满足，如将前述方程x3-x1=0改写为另一等价形式： x x 133 建迭代公式： xk 1 xk 1 仍取初值x0=1.5, 则有x1=2.375, x2=12.396,x3=1904, 结果越来越大。

此时称迭代过程发散 y x y x y (x ) y (x ) 收敛O x * x2 x1 ( x)在x * 四周较平缓y x y x x0 O x1 x3 x * x2 x0 y (x ) 发散y (x ) O x2 x1 x0 x * O x3 x1 x * x0 x2 ( x)在x * 四周较陡峭 2.3.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 定理3(存在性) 设 (x) C[a, b]且满意以下 两个条件： (1)对于任意x [a, b],有a≤ (x)≤b; (2)若 (x)在[a, b]一阶连续，且存在常数 0L1,使得对任意x [a, b],成立 | (x)| ≤L 则 (x)在[a, b]上存在唯一的不动点x* 不动点的存在性证明：证： 若 (a) a 或 (b) b 明显 (x) 有不动点； 否则，设 (a) a 则有 (b) b (a) a (b) b (因a≤ (x)≤b) 记 ( x) ( x) x 则有 (a) (b) 0 故存在x*使得 ( x*) 0 即 ( x*) x * x*即为不动点。

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