北师大版九年级数学上思维特训(二)含答案：中点四边形.docx

思维特训(二)　中点四边形中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．中点四边形的形状只与原四边形对角线的位置及数量关系有关．(1)若原四边形对角线不垂直也不相等，则所得中点四边形为平行四边形；(2)若原四边形对角线垂直但不相等，则所得中点四边形为矩形；(3)若原四边形对角线不垂直但相等，则所得中点四边形为菱形；(4)若原四边形对角线垂直且相等，则所得中点四边形为正方形． 类型一　连接四边形各边中点得到的中点四边形1．如图2－S－1，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(　　)图2－S－1A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形2．已知：如图2－S－2，分别以BM，CM为边，向△BMC外作等边三角形ABM和CDM，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)猜测四边形EFGH的形状；(2)证明你的猜想；(3)△BMC形状的改变是否对上述结论有影响？图2－S－23．观察探究，完成证明和填空．如图2－S－3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)请你探究并填空：当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是________；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是________；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________．(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的．图2－S－3类型二　连接对角线或其他线段中点得到中点四边形4．如图2－S－4，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形(不要求证明)?图2－S－45．如图2－S－5，E，F，G，H分别是线段AB，CB，CD，AD的中点，连接E，F，G，H，判断四边形EFGH的形状，并说明理由．图2－S－56．如图2－S－6，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE＝CF，连接AE，BF，EF，AF，G，H，M，N分别是边AB，AF，EF，BE的中点．(1)猜想四边形GHMN的形状，并说明理由；(2)若AB＝4，CF＝2，求四边形GHMN的面积．图2－S－67．如图2－S－7，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．(1)求证：MN与PQ互相垂直平分；(2)连接MP，MQ，NP，NQ，若PQ＝6，MN＝10，求四边形MPNQ的面积和AB的长．图2－S－7详解详析1．D　[解析] A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EH∥FG，EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误．故选D.2．解：(1)四边形EFGH是菱形．(2)证明：如图，连接AC，BD，∵△ABM和△CDM是等边三角形，∴AM＝BM，CM＝DM，∠AMB＝∠CMD＝60°，∴∠AMC＝∠BMD.在△AMC和△BMD中，AM＝BM，∠AMC＝∠BMD，CM＝DM，∴△AMC≌△BMD，∴AC＝BD.∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．(3)△BMC形状的改变对上述结论没有影响．3．解：(1)证明：如图，连接BD.∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD，EH∥BD.同理，得FG＝BD，FG∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)矩形　菱形　正方形(3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定的．4．解：(1)四边形EFGH是平行四边形．证明：∵在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝AC，同理有GH∥AC，且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．5．解：四边形EFGH为平行四边形．理由如下：连接AC，BD，如图所示：∵E，F，G，H分别是线段AB，CB，CD，AD的中点，∴HG为△DAC的中位线，EF为△BAC的中位线，HE为△ABD的中位线，GF为△CBD的中位线，∴HG∥AC，EF∥AC，HE∥BD，GF∥BD，∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．6．解：(1)四边形GHMN是正方形．理由如下：∵正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE＝CF，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.又∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴AE⊥BF.∵G，H，M，N分别是边AB，AF，EF，BE的中点，∴GN＝HM＝AE＝BF＝GH＝MN，GH∥BF，GN∥AE，∴四边形GHMN是菱形，∠HGN＝90°，∴四边形GHMN是正方形．(2)∵BE＝CF＝2，AB＝4，∠ABE＝90°，∴在Rt△ABE中，AE＝＝2 ，∴GN＝×2 ＝，∴正方形GHMN的面积为GN2＝5.7．解：(1)证明：如图，连接MP，PN，NQ，QM.∵M，P分别是线段AD，BD的中点，∴MP是△ABD的中位线，∴MP∥AB且MP＝AB.同理，NQ∥AB且NQ＝AB.∴MP∥NQ且MP＝NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．∵P，N分别是线段BD，BC的中点，∴NP是△BCD的中位线，∴NP＝CD.又∵AB＝CD，∴NP＝MP，∴平行四边形MPNQ是菱形，∴MN与PQ互相垂直平分．(2)如图，设MN与PQ相交于点O.由(1)知，平行四边形MPNQ是菱形．∵PQ＝6，MN＝10，∴四边形MPNQ的面积＝PQ·MN＝×6×10＝30.又∵由(1)知，MN与PQ互相垂直平分，∴OP＝3，OM＝5，且OP⊥OM，∴由勾股定理得到MP＝＝.∴AB＝2MP＝2.。