解析函数的充要条件.ppt

第三讲第三讲 解析函数的充要条件解析函数的充要条件初等函数初等函数& 1. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件& 2. 举例举例§2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w = f (z) 在在 D内解析 本节从函数本节从函数 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？一一. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件A 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).定理定理1 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在点 z=x+iy ∈∈D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微可微，且满足，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有证明证明（（由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、、v(x, y)可微可微）。

∵∵函数函数 w =f (z)点点 z可导，即可导，即则则 f (z+ Δz)-f(z)=f  (z)Δz+ (Δz)Δz (1), 且且Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+( 1+i 2)(Δx+iΔy)=(aΔx--bΔy+ 1Δx- - 2Δy)+i(bΔx+aΔy+ 2Δx+ 1Δy)令：令：f (z+Δz) - - f (z)=Δu+iΔv，，f  (z)= a+ib，，  (Δz)= 1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 Δu=aΔx- -bΔy+ 1Δx- - 2Δy , Δv=bΔx+aΔy+ 2Δx+ + 1Δy所以所以u(x, y)，，v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微. （由函数（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f (z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）∵∵u(x，，y)，，v(x，，y)在在(x，，y)点可微，即：点可微，即：定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .A 利用该定理可以判断利用该定理可以判断哪哪些函数是不可导的些函数是不可导的. .使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个实函并不是两个实函数分别关于数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .二二. 举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则解解(2)∵∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解 (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z≠0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f (z)在在z≠0处解析，其导数为处解析，其导数为例例3 证明证明例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且f  (z)≠0，那么曲线族，那么曲线族u(x, y)=C1，， v(x, y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1 、、C2 是常数是常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、、 vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，，v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.ii) uy，，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=∞，， k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的, 它们仍互相正交。

它们仍互相正交练习练习: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2& 1. 指数函数指数函数& 2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 3. 对数函数对数函数& 4. 乘幂与幂函数乘幂与幂函数& 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数§2.3 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性性质，并说明它的解析性内内 容容 简简 介介一一. 指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：：定义定义A 这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的A 例例1例例2例例3二二. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质思考题思考题由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)定义定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质三三. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。

即，指数函数的反函数称为对数函数即，(1) 对数的定义对数的定义故故特别特别A (2) 对数函数的性质对数函数的性质见见§1-6例例4例例4四四. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义A — 多值多值— 一般为多值一般为多值—q支支 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致次根意义一致A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致意义一致解解例例5q 幂函数幂函数zb定义定义①①当当b = n (正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值为无理数或复数时，无穷多值 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P52A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂．、乘幂．作 业P67 2, 8, 15, 18。