第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚.ppt

第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：这里比容v=V/N,平均热波长 易逸度z的定义为 ，其中μ为化学势对波色气体 ，我们有： ， 由定义知显然成立； 可由动量为0的态的平均占据数 确定函数 一般地由下式确定：当z取0至1的值时， 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的值 ）对于n>1有这是黎曼Zeta函数当 ， 发散• 产生凝聚的条件： 把比容的方程改写为： 凝聚要求 当 时，这必然成立（因 是增函数） 这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为零 的粒子组成分割面方程由 确定，由此可得临界温度 和临界比容 (固定温度T时):当 （v一定）或 （T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。

即低温和高密度是 产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数 量级• 大V极限下的易逸度z： 对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形 由 我们可反解出z: 因此在大V极限下我们有：• 填布数 与温度和比容的关系（大V极限下）：利用 和上面的 结果可得：粒子在动量空间里凝聚T=0时所有粒子都占据p=0态• 物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 ，它最多是 的量级 ，对大系统可忽略因此物态方程为物态方程在 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变• 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：熵：定容比热：在T=0附近我们有 ，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同而在 处 比热是连续的（因 发散），比热的导数不连续。

5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体 碰撞在一级近似下，系统哈密顿量为：这里我们把势能项看作微扰 设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 其中 为单粒子态中粒子的填布 数在一级近似下，系统能量为：成立条件为 k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度即粒子只能激发到动 量较小的态上面最后一个等式的推导见杨展如书93-95页 在基态，我们让 ，而其它所有 为零，基态能量为： 而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达 式可进一步近似为：下面我们要找到物态方程我们考虑极低温的情况，即 并用n代表 ， 能量的动能部分记为 ，记 ，配分函数为：其中 为理想波色气体的配分函数。

是对理想波色气体的统计平均每个粒子的自由能为：压强可由自由能得到：作近似 后可得：这个相变是二级相变5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态1995年：三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色- 爱因斯坦凝聚现象实验的基本原理有两个： （1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光 频率 ，这里 是原子最低激发频率，可使得原 子在多次吸收激光后，动量不断减小： 原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通 过自发辐射退激发（无方向性）2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）： 在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子 通过两束沿z轴相对运动的激光激发激 光频率小于原子无磁场时的跃迁频率( ) 这样，不论在z>0还是z<0区域内只能吸收向坐 标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的 辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的 简谐势阱中5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚详见杨展如书98-102页。

5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作 用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞 S-波 散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为:因此在外界简谐势场 中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：这个方程可在平均场近似下求解关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留 波夫近似)： 均匀空间情形： 理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子 占据零动量态，而 的态的占据数很少我们假定这对近理想波色气体仍然成立 令 为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有故 这表明在这种近似下我们可以忽略 的非对易性，把它们当作非算符的量（C数） 这样场算符可以写为两部分：推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有：这里 ， 是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）带入到上面的 方程即得（GP方程）：用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。

凝聚部分的哈密顿量为：统计平衡时系统的 的平均值有极小值，故有 ，从上式代入并解之得：5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量在相变点附近，它是 唯一重要的热力学量理想波色气体系统： 我们考察单粒子密度矩阵：这里 表示系综平均 ， 为正则系综统计算符， 为单自由粒子场算符（可用 平面波展开）， 分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符上式表示如在y处失去 一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证：另一方面，直接计算可得：因此对这种系统我们有于是当r=|x-y|→∞时，上式中的积分为零因此在这个极限下 与空间位置无关物理意义：在系统里存在着恒定密度的零动量粒子这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志 有相互作用的系统：单粒子动量不是一个好量子数， 与哈密顿量不对易，上面的计算不适用Penrose和 Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:这里 称为超流序参量，若 则说明存在动量空间的有序，即波 色-爱因斯坦凝聚。

非零序参量的出现表征系统中出现了“对称破缺”5.7 陷阱中波色-爱因斯坦凝聚的激发态在5.6节我们把一般的场算符分为了两部分： ，并考虑 了C数部分Φ(r,t)的贡献，这里我们将考虑涨落算符 的贡献 涨落算符的对易关系与常算符的相同，因此有：哈密顿量为： ，其中上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项由上可知粒子数密度为：故总粒子数为：而 实际是一个C数由此我们可写出涨落算符的动力学方程（海森堡方程）：把 的表达式带入，可得： 方程求解： 把涨落算符用一套简正模集合 来展开（波戈留波夫变换）：同时令 ，并设 ， 遵守等时波色对易关系带入 到方程中得：解之即得 和相关的本征值。

相应地，通过上面的展开式 也可简单地表示成：即 可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达，它是能量为 的各种假想的无相互 作用的波色粒子的能量之和，这种粒子称为准粒子 第六章 波色系统：超流性6.1液He⁴中的超流相变自然界中的氦有两种稳定的同位素： 和 是费米子， 是玻色子氦原子间相互作 用很弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可 保持液态在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体液He⁴有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度 Tλ=2.18K和比容vλ=46.2Å/原子处发生He I到He II的相变相变无潜热和体积变化，在相变点 比热以对数形式趋于无穷大，表明这是二级相变比热线很像λ，因此此相变又称为λ相比 ，曲线AB称为λ线在T=0附近，比热以 规律趋于零6.2 液He II的特性 二流体模型液He II的特性： 1.液He II能沿极细的毛细管流动而不呈现任何粘滞性，这称为超流性而且存在一个临 界速度，在这个速度以上，超流性被破坏。

2.如用一细丝悬挂一薄圆盘浸泡在液He II里，并让圆盘作扭转振动，可以用来测粘滞系 数结果比“毛细管”法测得的大10⁶倍（与正常相的相似）且测得的系数强烈依赖于 温度，随T0K而趋于零 3.当液He II由容器A通过多孔塞（或极细的毛细管）流出时，A内液He II的温度升高（见 右下图）这称为机械热效应，其逆过程称为热机械效应 4.液He II的热导率很大，数量级为室温下铜的800倍，而且其热导与通常流体不同，并不正比于温度梯度二流体模型的解释： 1.液He II由正常流体和超流体两种成分组成 超流体没有粘滞性，熵也为零；正常流体具 有粘滞性和熵，用 和 表示超流体和正常 流体的质量密度，速度场为 和 ，则总质 量密度为： ，总质量流为：2.T=0K时，全部液体为超流体； 时，全部为正常成分二者之间时 是温度的 函数 3.超流成分的速度场是无旋的，即 且两种流体成分可以相对流动而彼此间 无摩擦（无动量交换）只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一； 只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二； 机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走。