喷泉形状的探讨.doc

姓名：方梦学号： PB06203160班级： 06 物理三班喷泉形状的探讨一个问题：地面上一只喷泉， 泉口半径 r0 ，水流喷出初速度 v0 ,问任一时刻， 空中的水量是多少一种想法是，计算喷泉中第一滴水从喷出到落地所用的时间，即2v 02 r 2 v 02g ，再乘以单位时间流量即可，答案gv02r 2另一种想法，计算出喷出水柱高度2g ，再乘以水柱截面积，由r2 v2于还有下降的水柱，乘以 2，结果0g1第二种想法所得的结果是第一种的2 ，究竟哪一个对呢？应该是第一种想法对 第二种想法忽略了一个重要事实： 喷泉在空中并非圆柱体那么空中的喷泉到底是什么形状呢？这个问题看似很复杂， 但我们这里只探讨一种简单情况， 并作一些假定，就可以得到一个直观的了解我们假定：水是不可压缩的，无粘滞性的液体，可看作很多具有一定的弹性小球，并且忽略空气阻力以上的假定是具有一定道理的， 比如我们利用这些假定可以解释为什么水流冲到墙体上会产生水压以下就是这个问题的解决：由于对称性，空中喷泉的截面必为圆形 设喷口 h 截面半径 r 0 ，水流初速度 v0 ，空中某一高度 h处喷泉截面半径 r,水流速度 v。

由水不可压缩，有r02 v0 r 2 v ⋯⋯⋯⋯⋯⋯①由机械能守恒，有r 0r图 1v v0 2 2gh ⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由上述①②可得v2r040h1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (*1) ( 见图 1)2gr显然， (*1)表示的图像过（ r 0 ,0）点，大体上呈管口向上的喇叭形这里产生了 3 个问题：v2a) 由(*1) 可见，当 h0时，r=+ ∞,这也就是说，喷泉的顶端将会2g是无限宽广且十分平整的，而这是不可能的b) 方程中并未提供有关喷泉下落的信息喷泉将如何下落呢？c) 现实中的喷泉不会具有如此整体的形状，它很可能是分叉的，或者在空中散射成雾状如何解决？对此，我们可以从两个方面入手：1．对①②两式进行修正：考虑外侧一水滴，由 (*1) 可见，随着高度的增加，截面圆逐渐扩大，该水滴逐渐沿截面半径方向向外侧移动喷泉轮廓线在顶端趋于水平，也就是说，水滴的水平方向速度将比数值方向速度大很多！这时，我们在②这个机械能守恒h的式子中就不得不考虑水平方向速度的因素了v1v2记外侧某水滴竖直方向速度 v1 ，水平方向速度 v2 有r2 v0r2 v01 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯③v2v2v 22gh ⋯⋯⋯⋯⋯⋯④120r 0rv2dr图 2vdh ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤1由③④⑤可得dr2gh4rdh121 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (*2) ( 见图 2)v0r0于是，我们可以定性地了解到：a）(*2) 表示的喷泉将比 (*1)表示的粗短，因为 (*2) 的模型中，水滴需要消耗一部分动能作水平方向的运动。

b）(*2) 中，可将 r 0 用不同的初始值代入，得到的喷泉轮廓高度将有差别，呈现为 r 0 越小，喷泉越高这其实是研究初始位置不同的水滴，得到的不同的轨迹于是， (*2) 不仅可以表示外侧水滴的运动情况，还可以表示喷泉上每一个质元的运动状况 这与事实比较相符， 因为它所描述的图像不再是 (*1)中的那种水平顶端了c）(*2) 仍未提供水滴如何下落的信息， 但我们可以从 (*2) 中定性地看出，初始值 r 0 不同的水滴，将有不同的极限高度从水滴达到极限高度的那一刻起，可以假定水滴作平抛运动于是，喷泉周围都将有水滴落下2. 对假定进行修正：我们假定水不具有粘滞性，无空气阻力，这是与事实有差距的，尤其在这个模型中，它们会起相当一部分作用若考虑这些因素，模型会更完善一些综上，我们对之前提出的问题都提出了想法或者解决方法。