量子力学复习题答案与题解.doc

1量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理P22动量算符的定义P27写出单粒子薛定谔方程P27写出多粒子薛定谔方程P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程P39写出线性谐振子的能级表达式P40写出波函数应满足的三个基本条件P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义P542量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示P56写出轨道角动量算符的各分量表达式P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系P63解： ),()1(),(ˆ22 lmlmYlYLllz其中 l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数对应于一个 l 的值，m 可以取（2l+1）个值，从-l 到+ l。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？( 3 分) ( 3 分)0.5Aa1.6eVE可见光的能量不超过 3.26eV, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离 4 分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程P65写出氢原子能级的表达式及其简并度P68s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定P83写出力学量平均值的积分表达式P84两个算符可对易的充要条件是什么？p89写出 X 方向坐标与动量的不确定关系P92什么是 Q 表象？p108久期方程带来的好处是什么？p1133写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式P117写出幺正变换的两个重要性质P118应用微扰法的限制条件是什么？p135写出用非简并微扰法解题的基本步骤P136写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤P145写出黄金规则公式，并解释其含义P154什么是量子力学中的共振现象？p157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么？p197电子自旋的取值有何特点？p196写出泡利矩阵P202写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）P198C-G 系数是如何定义的？其中各参数的含义是什么？p209在角动量耦合问题中，j 1 和 j2 给定后，j 的取 值范围是什么？p210写出全同性原理。

P217什么是费米子？什么是玻色子？P220写出全同玻色子体系的波函数表达式，并说明其中各量的含义P223什么是自旋单态和三重态？P223 根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量—动量关系， “推4导”单粒子薛定谔方程P27 推导定态薛定谔方程P32 一个质量为 m 的粒子置于宽度为 a 的无限深势阱中：0()xVx其 它求该系统的能量本征值P34 ∞∞0 a解：设系统波函数为 ()x当 时，薛定谔方程可以写为x(1)2()()Em当 时，薛定谔方程可以写为0,xa2()()()Vxx当 时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得 x ()0x令 ，可将(1)式化为2mEk(2)22()()0x则方程(2)的解可以写为()sincosAkBx由波函数的连续性可得5()0a即 ，得 (3)sincosAkBasin0AkaB由于当 ， 时，系统波函数 ，与粒子的存在相矛盾，所以 A，B 不能0()x同时为 0，所以(3)式的解为 B＝0，sin ka＝0，由此有 ( n = 0，±1，±2，±3，…)ka因为 n＝0 对应 ，故舍去， n 取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样，)x故只取正整数即可，因此 ，再结合 得，ka2mEk即系统能量本征值为2mEn(n=1，2，3，…)。

2a 证明厄米算符的本征值是实数P56 证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在 X 方向上两算符满足P87ˆ,xpi 证明：在 Q 表象中, 算符本身的表示矩阵是对角的P110ˆ 试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程P131 一电荷为 e 的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿正 x 方向用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求能量修正P137 用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出？其中各量是何含义？尝试波函数如何选取？p1466 写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设P196(1) 每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：； 2zs(2) 每个电子具有自旋磁矩 ，它和自旋角动量 S 的关系是 ，式中SMSeM-e 是电子的电荷， μ 是电子的质量 在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象？什么是耦合表象？写出两种表象基矢的关系式P208 写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理P223 写出坐标表象下，产生、湮灭算符的表达式，并证明 。

P125ˆ[,a†]1 由坐标表象下的薛定谔方程推导 Q 表象下的薛定谔方程（分量形式和矩阵形式） P113 证明自旋算符满足： ，其中 P1982ˆ[,s]0z2ˆsx2yˆzs 对泡利矩阵证明:（1）[ ] ;（2） 的本征值为 , 并yxziz1求出相应的归一化本征矢；（3） 在 的两个本征态中的平xˆz均值皆为 0P202答：泡利矩阵: （3 分）1,x0,yi10,z（1） 10[,] 2100xyxyx ziiii（3 分）（2） ，由此得久期方程：z aub即7解得 （4 分）210101 设平面波具有如下一般形式： ()(,)ittAekrr其中 A 为常数， k 和 满足 1) 试验证平面波满足2/mk自由粒子薛定谔方程2) 解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子1）2(,))(,ittmrr左边 = 2() ()()()()it itit itiAeiAeAeAet m kr krkr kr右边 = 2 2 2() () ()()()()it it iteieemm kr 2kr kr左边 = 右边 （2）平面波不满足平方可积条件2*(,)(,)ttdAdr上述积分的涵义是粒子存在的总几率，应当是有限值。

所以平面波不能严格代表一个自由粒子◇(a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the superposition state of two energy eigenstates: . What result would be obtained 12|||cwhen measuring the energy of the system? (10 marks) 解：（a）一个可观察量可以用一个厄米算符表示，它的本征函数组成完备系，对它进行测量的结果，只可能是它的本征值之一若体系处于本征态，则测量值即为本征值 （6 分）（b）当系统处于由 所描述的态时，对系统能量的测量21C结果只可能是态 和 所对应的能量本征值 ， 之一并且测得 的概12 12i率为 （其中 i =1，2） （4 分）2iC。