2020届高考数学考前精练精析第11讲数列求和及其综合应用(含答案).pdf

第 11 讲数列求和及其综合应用1. 数列 1(1 2) (1 24) (1 2 2n1) 的前 n 项和为 _答案： 2n1n2 解析： 1(1 2) (1 24) (1 2 2n1) (2 2223 2n) n2(2n1) n2n1n2. 2. 在数列 an中， a1 2，an1anln11n，则 an_答案： 2lnn 解析：累加可得3. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16 S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_， _T16T12成等比数列答案：T8T4T12T84. 已知数列 an满足 a133，an1an2n，则ann的最小值为 _. 答案：212解析： an (an an 1) (an 1an2) (a2a1) a13321 2 (n 1) n2n 33，annn33n1，数列ann在 1n6，n N*时单调减， 在 n7，nN*时单调增， n6 时，ann取最小值5. 数列 an满足a12，an12an1，bnan2an1， nN*，则数列 bn 的通项公式bn_答案： 2n1解析：由条件得bn1 |an 12an 11| |2an122an11| 2|an2an1| 2bn，且b14，所以数列 bn是首项为4，公比为2 的等比数列，则bn42n12n1. 6. 设 a1，a2， a50是从 1、0、1 这三个整数中取值的数列，若a1a2a3 a509， 且(a11)2 (a21)2 (a501)2107， 则 a1， a2， ，a50中数字 0的个数为 _答案： 11 解析：(a11)2(a21)2 (a501)2107，则(a21a22 a250) 2(a1a2 a50)50107， a21a22 a25039，故 a1，a2， a50中数字 0 的个数为503911. 7. 设 Sn1234 ( 1)n1n，则 S9 S12S21_答案： 10 解析：相邻两项合并得S9，S12，S21. 8. 设数列anlog(n 1)(n 2) ，nN*，定义使a1a2a3 ak为整数的实数k 为中国梦吉祥数，则在1 ，2 014 内的所有中国梦吉祥数之和为_答案： 2 026 解析： a1 a2 a3 aklog23log34 log(k1)(k 2) log2(k 2) ，仅当k2n2 时，上式为中国梦吉祥数9. 如图所示， 矩形 AnBnCnDn的一边 AnBn在 x 轴上， 另两个顶点Cn、Dn在函数 f(x)x1x(x0) 的图象上，若点Bn的坐标为 (n，0)(n 2， nN*) ，矩形AnBnCnDn的周长记为an，则 a2a3 a10_答案： 216 解析：由Bn的坐标为 (n ，0)(n 2， nN*) ，得Cn的坐标为n，n1n，故 Dn的坐标为1n，n1n，故 an2n1n2n1n4n，故 a2a3 a104(2 3 10) 216. 10. 已知数列 an 满足 a1m(m为正整数 ) ，an1an2，当 an为偶数时，3an1，当 an为奇数时 .若 a61，则 m所有可能的取值为_答案： 4，5，32 解析：显然， an为正整数， a61，故 a52， a44，若 a3为奇数，则43a31，即 a31；若 a3为偶数，则a38. 若 a31，则 a22，a1 4，若 a38，则 a216，a15 或 32. 11. 设数列 an 是公差不为0 的等差数列， Sn为其前 n 项的和，满足：a22a23a24a25，S77. (1) 求数列 an 的通项公式及前n 项的和 Sn；(2) 设数列 bn 满足 bn2an，其前 n项的和为Tn，当 n 为何值时，有Tn512. 解： (1) 由an 是公差不为0 的等差数列，可设 an a1(n1)d ，则由a22a23a24a25，S77，得（a1d）2（ a12d）2（ a13d）2（ a14d）2，7a1762d7，整理，得2a1d5d20，a13d1，由 d0，解得a1 5，d2，所以 an a1(n1)d 2n7，Snna1n（n1）2d n26n. (2) 由(1) 得 an2n7，所以 bn2an22n 7，又bnbn122n722n 94(n2)， b12a1125，所以 bn是首项为125，公比为4 的等比数列，所以它的前n 项和 Tn125（ 14n）141325(4n 1)，于是由 Tn512，得 4n3471，所以 n8时，有 Tn512. 12. 数列 an 满足 an2an12n1(n N*，n2) ，a327. (1) 求 a1，a2的值；(2) 是否存在一个实数t ，使得 bn12n(ant)(n N*) ，且数列 bn为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由；(3) 求数列 an 的前 n 项和 Sn. 解： (1) 由 a327，得 272a2231， a29. 9 2a1221， a12. (2) 假设存在实数t ，使得 bn 为等差数列，则2bn bn1bn1(n 2且 nN*) 2 12n(ant) 12n1(an 1 t) 12n1(an 1t) ， 4an4an1an1t ， 4an4an2n122an2n 11t ， t 1. 即存在实数t 1，使得 bn 为等差数列(3) 由(1) ，(2) 得 b132，b252， bnn12， an n122n1(2n 1)2n11，Sn(3201) (5211)(7221) (2n 1)2n11 352722 (2n 1)2n1n， 2Sn32522723 (2n1)2n2n，由得Sn322222223 22n 1(2n 1)2nn1212n12(2n 1)2nn(1 2n)2nn1， Sn(2n 1)2nn1. 13. 已知数列 an 是各项均不为0 的等差数列，Sn为其前 n 项和，且满足a2nS2n1，令 bn1anan1，数列 bn的前 n 项和为 Tn. (1) 求数列 an 的通项公式及数列bn 的前 n项和 Tn；(2) 是否存在正整数m ，n(1 m n) ，使得 T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由解： (1) n1 时，由a21S1a1，且 a10，得 a11. 因为 an是等差数列，所以ana1(n 1)d 1(n 1)d ，Snna1n（n1）2d nn（n1）2d. 于是由 a2nS2n1，得1 (n 1)d2 2n1 (2n 1)(n 1)d ，即 d2n2(2d 2d2)n d22d12dn2(23d)n d1，所以d22d，2d2d22 3d，d22d1d1，解得 d2. 所以 an 2n1，从而 bn1anan11（2n 1）（ 2n1）1212n112n1所以Tn b1 b2 bn121131213151212n112n112112n1n2n1. (2) ( 解法 1)T113， Tmm2m 1， Tnn2n1， 若 T1， Tm， Tn成等比数列， 则m2m 1213n2n 1，即m24m2 4m 1n6n3. 由m24m24m 1n6n3，得3n2m24m1m20，即 2m24m 10，所以 162 m 162. 又 m N*，且 m 1，所以 m 2，此时 n12. 因此，当且仅当m 2，n 12 时，数列 Tn中的 T1，Tm，Tn成等比数列( 解法 2) 因为n6n3163n16，故m24m2 4m 116，即 2m24m10，所以 162m 162( 以下同上 ) 滚动练习 ( 三) 1. 设集合 U Z，Ax|x2x20， xZ，则 ?UA_( 用列举法表示) 答案： 0 ，1 2. 设ABC的三个内角 A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且acosAcsinC，那么A _. 答案：4解析：由正弦定理asinAcsinC，得 sinA cosA， tanA 1， 0 A，A4. 3. 已知在等差数列an中， a13a8a1560，则 2a9a10_答案： 12 解析：由a13a8 a1560，得 5a135d60，即 a812，则 2a9a10a812. 4. 若函数 f(x) 3sin ( x)( 0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2，则_. 答案：12解析：由题知周期是4，2412. 5. 已知定义在R上的奇函数f(x) 满足 f(x) x2x(x 0)， 若 f(4 a2) f(3a) ，则实数a 的取值范围是_答案： ( 4，1) 6. 已知变量x、y 满足条件x1，xy0，x2y90，则 zxy 的最大值是 _答案： 6 解析：本题考查线性规划知识7. 函数 yx2(x0) 的图象在点 (ak，a2k) 处的切线与x 轴交点的横坐标为ak1，k 为正整数，a116，则 a1 a3 a5 _. 答案： 21 8. 若ABC的三个内角 A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m(a c，ba) ，n(a c，b)，若m n，则 C _答案：3解析： m n， (a c)(a c) b(b a) 0，a2b2c22ab12， cosC 12，C3. 9. 设f(x)是 定 义 在R 上 且 周 期 为2 的 函 数 ， 在 区 间 1 ， 1 上 ， f(x)ax1，1x 0，bx2x1，0 x1，其中 a、b R. 若 f32f12，则 a3b 的值为 _答案： 10 10. 已知函数f(x)12x24x3lnx 在 t ，t 1 上不是单调函数，则t 的取值范围是_答案： (0 ，1) (2， 3) 11. 已知函数f(x)lnx mx(mR) 在区间 1 ，e 上取得最大值4，则 m _答案： 3e 解析： f (x) 1xmx2，m 1 时， f(x) 在1 ，e 上单调减， f(1) 4，无解； em1，1an 111an（an1）1an11an，所以1an1an11an1 1，1a11a21a2 0121a1 11a2 013 12，a2 0131a1132a1，a2 0131 得32a11，a2 0134a1112 （64a1）164a1112272. 当且仅当a154 1，32时取等号13. 设函数 f(x) sinxcosx 3cos(x )cosx (x R) (1) 求 f(x) 的最小正周期；(2) 若函数yf(x) 的图象向右平移4个单位后再向上平移32个单位得到函数yg(x)的图象，求y g(x) 在 0，4上的最大值解： (1) f(x)12sin2x 3cos2x12sin2x 32(1 cos2x) sin2x332， f(x)的最小正周期为T22 . (2) 依题意得g(x) fx432sin2(x4) 3 3232sin2x63，当 x 0，4时， 2x6 6，3， 12 sin2x632，2312g(x) 332， g(x)在0，4上的最大值为332. 14. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1) 用 d 表示 a1、a2，并写出an1与 an的关系式；(2) 若公司希望经过m(m 3)年使企业的剩余资金为4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值 ( 用 m表示 ) 解： (1) 由题意得a1 2 000(1 50%)d3 000 d，a2a1(150%)d32a1d，an1an(1 50%) d32and. (2) 由(1) 得 an32an1d322an232dd 3232an2d d32n 1a1d13232232n 2. 整理得 an32n1(3 000 d) 2d32n 1132n 1(3 000 3d) 2d. 由题意， am4。