一元二次不等式的解法课件.ppt

正确理解一元二次不等式的概念． 掌握一元二次不等式的解法． 理解一元二次不等式，一元二次方程及二次函数之间的关系,2.1 一元二次不等式的解法,§2 一元二次不等式,【课标要求】,1．,2．,3．,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，能借助二次函数的图像解一元二次不等式．(重点) 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(难点),【核心扫描】,1．,2．,一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式：形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式． (2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的______叫这个一元二次不等式的解． (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．,自学导引,1．,ax2＋bx＋c＞0(≥0),ax2＋bx,x的值,所有解,＋c＜0(≤0)(其中a≠0),一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表：,{x|x＜x1或,{x|x≠x1},R,{x|x1＜x＜x2},∅,∅,x＞x2},2．,想一想：一元二次不等式ax2＋bc＋c＞0(a≠0)何时解集为R或∅. 提示 当a＞0，Δ＜0时，解集为R当a＜0，Δ≤0时，解集为∅.,一元二次不等式的解法 (1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图； ③由图像得出不等式的解集． 对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．,名师点睛,1．,深入理解“三个二次”的关系 “三个二次”是指一元二次方程、二次函数、一元二次不等式，它是以二次函数为中心，运用二次函数的图像、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构． “三个二次”中，最重要的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况．它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y＞0或y＜0时，就转化为一元二次不等式．可见，二次函数是一元二次方程和一元二次不等式的综合．,2．,题型一 解一元二次不等式,求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x＞6 (2)4x2－4x＋1≤0 (3)－x2＋7x＞6 [思路探索] 先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据情况结合二次函数图像，写出解集． 解 (1)由x2－5x＞6，得x2－5x－6＞0. ∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，,【例1】,(3)由－x2＋7x＞6，得x2－7x＋6＜0. 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6. ∴不等式x2－7x＋6＜0的解集为{x|1＜x＜6}． 规律方法 1.若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，可以直接由符号及不等号方向判断不等式的解集． 2．若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值完全平方式始终大于或者等于零．不等式的解集易得． 3．若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．,解下列不等式： (1)－2x2＋x－6＜0; (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x(7－x)＞0; (4)13-9x20 解 (1)原不等式可化为 2x2－x＋6＞0， ∵方程2x2－x＋6＝0的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，,【训练1】,图①,∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图①)． ∴观察图像可得，不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0， 即(x－3)2≤0， ∴原不等式的解集为{x|x＝3}．,(3)原不等式可化为x(x－7)＜0， 方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7， 函数y＝x(x－7)的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)，(7,0)(如图②)． 观察图像，可得不等式解集为{x|0＜x＜7}．,图②,图③,解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.,【例2】,题型二 含参数的一元二次不等式的解法,解 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； (2)当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a， 此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； (3)当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；,(4)当a＝0时，有x≠0； ∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； (5)当a＝1时，有x≠1， 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； 综上可知： 当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．,规律方法 含参数一元二次不等式求解步骤： (1)讨论二次项系数的符号， 即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数； (3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小； (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．,设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0. 解 (1)m＝0时，－3＜0恒成立，所以x∈R. (2)m＞0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)＜0，,【训练2】,审题指导 (1)一元二次不等式解集的两个端点值(不是＋∞或－∞)是对应一元二次方程的两个根． (2)已知一元二次不等式的解集确定不等式中参数的值时可借助根与系数的关系给出含参数的方程组求解．,【例3】,题型三 三个“二次”关系问题,整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．(12分) 【题后反思】 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．,已知关于x的不等式ax2＋bx＋a2－1≤0的解集是 (－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a，b的值．,【训练3】,解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0. [错解] 当a＞0时，Δ＝－12a＜0.所以解集为R，,误区警示 解一元二次不等式盲目套结论致错,【示例】,二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，有的同学认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题目没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．,[正解] 当a＝0时，原不等式等价于3＞0恒成立，所以x∈R. 当a＞0时，Δ＝(－2a)2－4a(a＋3)＝－12a＜0.不等式解集为R.,在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式来判断，在处理形如ax2＋bx＋c的问题时，要注意对x2系数的讨论．,。