元调第22题圆的证明与计算(精编版).docx

元月调考第 22 题——《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积） ；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比） 知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点） ；②直线与半径的关系是互相垂直在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线 l 过⊙O 上某一点 A，证明 l 是⊙O 的切线，只需连 OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直.例 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证：EF 与⊙O 相切.例 2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：即 OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：即 OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 于 D，DM⊥AC 于 M求证：DM 与⊙O 相切.例 4 如图，已知： AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且∠CAB=30 0，BD=OB ，D在 AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线例 5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且 OA2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.例 6 如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CE⊥OC 即可得解.证明：方法二：若直线 l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明 l 是⊙O 的切线，只需作OA⊥l，A 为垂足，证明 OA 是⊙O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”(一般用于函数与几综合题）例 1：如图，AB=AC，D 为 BC 中点，⊙D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与⊙D 相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例 2：已知：如图，AC，BD 与⊙O 切于 A、B，且 AC∥BD，若∠COD=90 0.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：证明二：O证明三：说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1= ∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明 A、O、B 三点共线. ODCBAOEDCBAFOED CBAFOE DCBA课后练习：（1）如图，AB 是⊙O 的直径， BC⊥AB，AD∥OC 交⊙O 于 D 点，求证：CD 为⊙O的切线；（2）如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O，交斜边 AC 于 D，点 E 为 BC 的中点，连结 DE，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O，交底边 BC 于 D，交另一腰于 F，若DE⊥AC 于 E（或 E 为 CF 中点） ，求证：DE 是⊙O 的切线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径， AE 平分∠BAF，交⊙O 于点 E，过点 E 作直线 ED⊥AF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C，求证：CD 是⊙O 的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长） ；射影定理：所谓射影，就是正投影其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项公式 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高,则有射影定理如下 :：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型（已知线段长度） ；⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;找不到，找相似○ 6（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系典型基本图型：图形 1：如图 1：AB 是⊙O 的直径，点 E、 C 是⊙O 上的两点，基本结论有：（1）在“AC 平分∠BAE” ； “AD⊥CD” ；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一2）如图 2、3，DE 等于弓形 BCE 的高；DC=AE 的弦心距 OF（或弓形 BCE 的半弦 EF） 图1OEDCBAF图2A BCDEOF图3A BCDEOK图4A BCDEO（3）如图（4）：若 CK⊥AB 于 K，则：①CK=CD；BK=DE；CK= BE=DC；AE+AB= 2BK=2AD;21②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当 BG⊥CD于 E 时（如图 5） ，则：①DE=GB；② DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG= =DC2 41DG图形 2：如图 ： Rt⊿ABC 中，∠ACB=90°点 O 是 AC 上一点，以 OC 为半径作⊙O 交AC 于点 E，基本结论有：（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“A图2EGOFDCBAH图3ABCDFOGE图1EODCBAG图5A BCDEOB是⊙O的切线”;“BD=BC”。

四个论断中，知一推三2）①G 是⊿BCD 的内心； ②；③⊿BCO∽⊿CDE BO•DE=CO•CE= CE2；1（3）在图（1）中的线段 BC、 CE、 AE、 AD 中，知二求四4）如图（3） ，若①BC=CECG=GD，则：② ADE=21=tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H， ,则BH=2EH图形 3：如图：Rt⊿ABC 中，∠ABC=90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于 D，基本结论有：如右图：（1）DE 切⊙O E 是 BC 的中点；（2）若 DE 切⊙O，则：①DE=BE=CE；②D 、 O、 B、 E 四点共圆 ∠CED=2∠A③CD·CA=4BE 2, BCDR图形特殊化：在（1）的条件下如图 1：DE∥AB ⊿ABC 、 ⊿CDE 是等腰直角三角形；如图 2：若 DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F，若 AB=BF，则：① ;②31EFD21RBOEA BCDACDOEB图1图2FBD EOCA图形 4：如图，⊿ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O ，交 BC 于点 D，交 AC 于点F，基本结论有：（1）DE⊥AC DE 切⊙O；（2）在 DE⊥AC 或 DE 切⊙ O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形；②EF=EC；③D 是 的中点。

④与基本图形 1 的结论重合⑤连 AD，产生母子三角形图形 5：：以直角梯形 ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于 Ｅ ，基本结论有：FE DCBOABF图1OEDCBA图2FAB CDEO图3GFAB CDEO（1）如图 1：①AD+BC ＝ CD；②∠COD =∠AEB =90°；③OD 平分∠ADC（或 OC 平分∠BCD） ；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）④AD·BC＝ 2=R2；AB4（2）如图 2，连 AE、 CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R 2(与基本图形 2 重合)（3）如图 3，若 EF⊥AB 于 F，交 AC 于 G，则：EG=FG.图形 6：如图：直线 PR⊥⊙O 的半径 OB 于 E，PQ 切⊙O 于 Q，BQ 交直线 PQ 于 R基本结论有：（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)；（2）在“PR⊥OB ”、 “PQ 切 ⊙O” 、 “PQ=PR”中，知二推一（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2图形 7：如图，⊿ABC 内接于⊙O，I 为△ABC 的内心基本结论有：（1）如图 1，①BD=CD=ID ；②DI 2＝ DE·DA；③∠AIB =90°+ ∠ACB;2（2）如图 2，若∠BAC=60 °，则：BD+CE=BC.QR PEOBAQR PEOBQRPEOBAQRPEOB图1EOIDCBAAB CD IO E图2图形 8：已知，AB 是⊙O 的直径， C 是中点，CD⊥AB 于 D。

BG 交 CD、 AC于 E、 F基本结论有：（1）CD= BG；BE=EF=CE；GF=2DE2(反之，由 CD= BG 或 BE=EF 可得： C 是 中点)1（2）OE= AF，OE ∥AC；⊿ODE∽⊿AGF（3）BE·BG=BD·BA（4）若 D 是 OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；②范例讲解：例题 1：△ ABP 中，∠ ABP=90°，以 AB 为直径作⊙ O 交 AP 于 C 点，弧 = ，过 C 作 AFFB的垂线，垂足为 M， MC 的延长线交 BP 于 D.（1）求证： CD 为⊙ O 的切线；（2）连 BF 交 AP 于 E，若 BE=6， EF=2，求 的值AFEHOGFEDCBABC=CG=AGBG例题 2：直角梯形 ABCD 中，∠ BCD=90°， AB=AD+BC， AB 为直径的圆交 BC 于 E，连 OC、 BD交于 F.⑴求证： CD 为⊙ O 的切线⑵。